Assertion vraie ou fausse
Bonjour à tous,
Je ne sais plus où l'on en est...
Ne m'y étant pas mis encore franchement (à la logique), je m'interroge.
Cela concerne les assertions mathématiques, disons, depuis le primaire.
1) J'imagine qu'il s'agit de la logique dite classique. (?)
2) La consigne suivante est-elle naïve, pertinente, non pertinente, mal posée, etc. ?
Consigne 1 : "Pour chaque assertion, démontrer qu'elle est vraie ou démontrer qu'elle est fausse."
(je mets deux exemples mais ce n'est pas sur les assertions que je m'interroge, c'est sur la consigne elle-même)
Assertion 1 :
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $c$ : $a+b-c = a-c+b$.
Assertion 2 :
Quels que soient les nombres $u$, $v$ et $w$ : $u+v-w = a+w-v$.
2bis) Est-ce la même chose ou est-ce plus judicieux de la modifier en :
Consigne 2 : "Pour chaque assertion, la démontrer ou démontrer sa négation."
3) Est-ce la même chose en logique classique mais pas dans une autre logique ?
Cordialement
Dom
Je ne sais plus où l'on en est...
Ne m'y étant pas mis encore franchement (à la logique), je m'interroge.
Cela concerne les assertions mathématiques, disons, depuis le primaire.
1) J'imagine qu'il s'agit de la logique dite classique. (?)
2) La consigne suivante est-elle naïve, pertinente, non pertinente, mal posée, etc. ?
Consigne 1 : "Pour chaque assertion, démontrer qu'elle est vraie ou démontrer qu'elle est fausse."
(je mets deux exemples mais ce n'est pas sur les assertions que je m'interroge, c'est sur la consigne elle-même)
Assertion 1 :
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $c$ : $a+b-c = a-c+b$.
Assertion 2 :
Quels que soient les nombres $u$, $v$ et $w$ : $u+v-w = a+w-v$.
2bis) Est-ce la même chose ou est-ce plus judicieux de la modifier en :
Consigne 2 : "Pour chaque assertion, la démontrer ou démontrer sa négation."
3) Est-ce la même chose en logique classique mais pas dans une autre logique ?
Cordialement
Dom
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Réponses
(A noter que la logique ne parle pas du "vrai" ou du "faux", juste du "prouvable" - quand on dit "vrai" ou "faux" c'est en quelque sorte un abus de langage, ou plutôt : c'est nous qui affirmons des choses, pas "la logique")
Édit : c’est sur ce genre de chose, Maxtimax, que je me posais la question. L’abus de langage que tu pointes du doigt.
Comme le dit Maxtimax (disons comme je le comprends), la définition de « P est vrai » est un truc du genre « avec les règles (axiomes, théorèmes, etc.), on arrive à un moment donné à un “donc P” ».
Je comprends que c’est donc valable dans n’importe quelle logique.
Que dis-tu Christophe, parles-tu d’auto-référence ?
Bien sûr que si. La théorie des modèles en parle tout le temps, et la théorie des modèles fait partie de la logique, n'est-ce pas ?
En fait dans le cadre de l'arithmétique on peut associer à chaque expression $E$ un entier $\# E$ (le "numéro de Gödel" de $E$ (*)) de sorte que pour toute formule $F$ à une variable libre (on dira une "propriété formelle" dans la suite) on a une propriété formelle $F^*$ telle que pour toute propriété formelle $G$, $F^* (\#G)$ équivaut à $F\left (\#[G(\# G) ] \right )$. Par suite pour toute propriété formelle $H$, il existe un énoncé $E$ tel que $E$ équivaut à $H(\#E)$. $E$ n'est rien d'autre que $H^* \left (\# H^* \right )$ (puisque $H^* \left (\# H^* \right )$ équivaut à $H \left (\# \left [H^* \left (\# H^* \right ) \right ] \right )$ par construction).
Par exemple en considérant $H(x):=$ "$x$ est un nombre premier" il y a un énoncé $E$ qui dit exactement "le numéro de Godël de $E$ est un nombre premier" (donc in fine l'énoncé parle de lui-même). On peut passer à la négation: si $V$ est une propriété formelle, $\neg V$ aussi et $E:=(\neg V)^* \left (\# (\neg V)^* \right )$ est l'énoncé qui affirme que "le numéro de Gödel de $E$ ne possède pas la propriété $V$".
Comme $E$ équivaut à $\neg V(\#E)$, $V(\#E)$ est fausse si $E$ est vraie et vice-versa, et donc on ne pourra jamais avoir un $V$ qui signifie vraiment "ce nombre est le numéro de Gödel d'une formule vraie".
C'est ce qu'on veut dire en général quand on parle "d'indéfinissabilité de la vérité en arithmétique".
[small](*) Les énoncés et formules mathématiques s'écrivent sur un alphabet-jeu de symboles- fini; si on note $d$ le nombre de ses éléments, on peut donc leur faire correspondre un entier en base $d$ de façon unique.[/small]
Alors que quand les gens disent "énoncé vrai" ou "énoncé faux" c'est quelque chose de plus fort (indépendant d'axiomes) qui est envisagé.
Si on découvre que ZF est contradictoire, que devient la théorie des modèles? (encore qu'il y a des preuves du théorème de complétude qui ne supposent pratiquement que le lemme de Koenig).
J'ai le souvenir d'avoir vu cette démonstration jadis, disons "au mot près" mais je crois que je ne savais pas ce que je faisais vraiment. C'était un module intitulé "grammaire et langage", de mémoire.
Il me manque encore des éléments pour saisir tout cela.
J'insiste (autrement dit, je le répète pour la 135684168ième fois :-D ) pour inviter à prendre conscience que la construction historique de foys n'est pas nécessaire.
La phrase "je ne suis pas prouvable" à la différence de "je ne suis pas vraie" est bien une phrase mathématique (autant que prouvable l'est, or prouvable l'est (il y a le paramètre de la théorie c'est tout)
Ce point est trop oublié.
Tu peux te l'approprier en te demandant si la phrase "pour m'écrire, il faut 57 caractères" est transcendantale ou concrète par exemple.