Infinis existants

Polux1704@
Polux1704@
dans Fondements et Logique
Bien le bonjour à tous, je ne sais pas vraiment dans quelle catégorie écrire ce topic donc je le pose ici, c'est au sujet des ensembles en général.
Alors voilà, si on prend un ensemble X, on sait que P(X) (l'ensemble des sous-ensembles de X) est strictement plus peuplé que X, au sens ou une application de X dans P(X) ne peut pas être surjective. On peut donc affirmer qu'il n'existe pas de plus grand infini, puisqu'on construit des ensembles toujours plus grand par cette méthode.
Cependant à la manière d'une fonction croissante de R dans R tendant vers une valeur finie en + l'infini , je me demande si il n'existe pas un objet limite qui "majore" tout les infinis...
En des termes plus clairs, la grandeur des ensembles infinis (au sens défini plus tôt avec X et P(X)) s'estompe elle à mesure que les ensembles considérés grandissent ?
Merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    S'inspirer de ce qui se passe dans le domaine fini pour avoir une intuition de ce qui se passe pour les ensembles infinis est quasiment toujours une mauvaise idée. Cela t'amène ici à parler de " la grandeur des ensembles infinis" sans avoir vraiment réfléchi à ton intuition : Il n'y a pas de mesure globale de la taille des ensembles infinis, la seule chose basique est que $X$, infini) est de cardinal strictement plus petit que $\mathcal P(X)$, on ne sait même pas basiquement s'il y a des ensembles de cardinal intermédiaire (c'est indécidable dans ZFC), donc parler de "grandeur des ensembles infinis" n'a pas de sens, et dire qu'elle "s'estompe à mesure que les ensembles considérés grandissent" du pur jeu de mot, sans aucune signification.

    Cordialement.
  • raoul.S
    raoul.S
    @Polux1704@ Je ne suis pas expert en théorie des ensembles mais je crois que ta question a un lien avec la hiérarchie cumulative de von Neumann et l'axiome de fondation. Si tu lis l'article de Wikipedia en lien tu verras qu'en partant de $X=\emptyset$ (ensemble vide) et en définissant l'ensemble "suivant" comme l'ensemble des parties de l'ensemble "précédent" et en faisant l'union de tout ça on obtient... tous les ensembles.

    Plus précisément, l'axiome de fondation équivaut à dire que l'union de tous les ensembles obtenus par la construction précédente est l'univers entier (l'univers étant la collection de tous les ensembles).

    Bref Wikipedia explique mieux que moi mais il faut un peu de connaissances en théorie des ensembles pour comprendre...
  • christophe c
    christophe c
    La réponse à ta question est non au sens où "ça n'a pas d'intérêt". Je peux te détailler pourquoi.

    1/ Remarque: rien à voir avec l'axiome de fondation

    2/ Théorème: il n'existe pas de suite d'ensembles $u$ telle que $\forall n: u_n\supset P(u_{n+1})$ (exercice). Ce théorème est prouvable "en dessous" de l'arithmétique du second ordre et très général.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    Zut !
    Par contre on doit avoir l’existence de $u$ telle que :
    $\forall n: u_{n+1} \supset P(u_{n})$.
    Naïvement j’ai cru que c’était plutôt ça la question. Enfin, non, pas la question mais « l’idée sous-jacente ».
    N’y connaissant rien, je nage sur l’écume sans plonger véritablement.
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