Bon ordre, ensemble totalement ordonné

raphitek · September 2019

Bonjour à tous,
Je cherche à appliquer le lemme de Zorn à des objets catégoriques. Je pense être arrivé à peu près au bout de ce que voulais prouver à un détail près.
Il me faudrait savoir soit :
- que si $x$ et $y$ sont deux éléments d'un ensemble bien ordonné avec $x\leq y$ alors il est possible de passer de $x$ à $y$ en un nombre fini d'étapes du type $a\mapsto s(a)$ le successeur de $a$ ;
- que si $A$ est un ensemble totalement ordonné alors il existe une suite croissante $(a_n)_{n\in \N}$ d'éléments de $A$ telle que pour tout $x\in A$, il existe $n\in \N,\ x\leq a_n$.

Je n'ai aucune idée de si l'un de ces deux résultats est vrai, ni comment le montrer. Je suis en M2 de mathématiques.
Any help ?
Merci d'avance.

[Pour avoir $LaTeX$ il ne suffit pas d’écrire des commandes avec des \, il faut aussi toutes les encadrer avec des $\$$. AD]

Foys · September 2019

raphitek a écrit:

- Que si x et y sont deux éléments d'un ensemble bien ordonné avec x<=y alors il est possible de passer de x à y en un nombre fini d'étapes du type a\maptso s(a) le successeur de a.

C'est faux dans $\N \cup \{\infty\}$ (ou n'importe quel ordinal plus grand; poser $x=0$, $y=\infty$).

raphitek a écrit:

- Que si A est un ensemble totalement ordonné alors il existe une suite croissante (a_n)_{n\in N} d'éléments de A tel que pour tout x\in A, il existe n\in N, x<= a_n.

C'est faux si $A$ est le plus petit ordinal non dénombrable (toute suite y étant bornée).

Poirot · September 2019

Ta seconde propriété sera vérifiée si et seulement si la cofinalité de ton ensemble $A$ est dénombrable, ce qui n'est pas toujours le cas.

Comme l'a dit Foys, la première ne sera vérifiée que si le type d'ordre est plus petit que $\omega$, le plus petit ordinal infini.

raphitek · September 2019

Damn...
Bon, je ne sais pas comment je vais me débrouiller, mais merci du coup.

Bon ordre, ensemble totalement ordonné

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