ZFC et redondance

Bonjour à tous,
On sait que ZFC peut être écrite avec seulement 7 axiomes ou schémas : extensionnalité, réunion, parties, infini, remplacement, fondation, choix. Je suppose que AC est vrai dans l'univers ambiant, et je cherche à prouver qu'aucun de ces axiomes n'est redondant.
Pour l'extensionnalité : il existe des modèles de ZFA (avec atomes) qui satisfont tout le reste.
Pour les parties : la collection des ensembles héréditairement dénombrables est modèle de tout sauf l'axiome des parties.
Pour l'infini : $V_{\omega}$ est modèle de tout sauf l'infini.
Remplacement : $V_{\omega + \omega}$ est modèle de tout sauf le remplacement.
Choix : Là, on a même un résultat d'indépendance, mais il faut utiliser les constructibles dans un sens et le forcing dans l'autre.
Fondation : Idem, puisque $V$ est modèle de ZF, et on peut fabriquer des modèles de ZF - AF avec la technique des modèles de permutation.
Reste l'axiome de la réunion : quelqu'un a-t-il un exemple d'une structure qui serait modèle de tout sauf la réunion ?
Merci d'avance
Martial

Réponses

  • Oups je viens de voir ta question. À vue de nez je dirais que non mais ça demande réflexion. Je ne sais pas si la réponse est connue.

    Mais c'est une question simple et amusante. (tu)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Précisément la réunion serait impliquée par les autres. (C'est juste un ressenti)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Salut Christophe,
    C'est bien mon avis aussi.
    Je vois mal comment un $V_{\alpha}$ pourrait être modèle de tout sauf la réunion.
    Mais le fait que je voie mal ne constitue pas une preuve, lol… d'autant que ça pourrait être une structure autre qu'un $V_{\alpha}$.
    Peut-être aussi que personne ne s'est jamais penché sur la question, même si cela paraît difficile à croire au vu de sa simplicité.
    Affaire à suivre...
  • Comment tu énonces l'axiome de l'infini sans la réunion ?
    Enfin l'énoncé usuel s'écrit avec des $x\cup \{x\}$ il faut donc décider comment désabrévier (?) ça
  • @Maxtimax : à mon avis ce n'est pas un problème.
    Je te le fais à l'arrache :
    Axiome de l'infini : il existe x tel que vide appartient à x et pour tout y, y appartient à x implique il existe z tel que
    pour tout t, [t appartient à z ssi (t appartient à y ou t=y)] et z appartient à x.
    Ça marche ?
  • De toutes façons on s'en fout, puisque toute formule écrite dans un langage étendu (genre avec des symboles pour vide, union, paire, couples, oméga etc) est équivalente modulo ZF à une formule écrite avec les seuls symboles d'égalité et d'appartenance.
  • Oui, modulo ZF :-D c'est pour ça qu'il fallait une précision (même si elle n'est pas forcément problématique, mais là par exemple ton axiome de l'infini fournit quelques unions - on aurait pu imaginer quelque chose qui ne les fournit pas)
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