L'implication et la déduction

Cette histoire de "condition suffisante" ne doit pas s'interpréter comme une sorte de causalité physique, du style "dire $P \Rightarrow Q$ cela veut dire que la raison qui fait que $Q$, c'est $P$" ou je ne sais quelle autre fantaisie. Beaucoup de personnes ont du mal à concilier leur intuition avec le sens mathématique réel de $\Rightarrow$.

Si $P$ et $Q$ sont des phrases, alors la phrase $P\Rightarrow Q$ est vraie
- si $P$ est vraie et $Q$ est vraie,
- si $P$ est fausse,

et elle est fausse si $P$ est vraie et $Q$ est fausse.

Il n'y a rien à essayer de comprendre. Dans ton exemple, $\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q}$ est vraie, $1\not = 0$ est vraie, et donc $\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q} \Rightarrow 1\not = 0$ est vraie. C'est tout.

@Pourtos : tu te pourris la vie à essayer d'introduire une notion de causalité qui n'a rien à faire en mathématiques. Le connecteur "implique" n'est rien d'autre que ce que t'a dit Georges.
Je développerai plus tard

Je ressors l'exercice classique.

Quatre cartes sont posées sur une table. Chaque carte porte une lettre sur une face et un nombre sur l'autre face. Les faces visibles des cartes portent B,5,12,U.
Combien de cartes au minimum, et lesquelles, faut-il retourner pour vérifier l'assertion :
"Pour toute carte sur la table, si la face lettre de cette carte porte une voyelle, alors sa face nombre porte un nombre pair."

Peut-on pour autant parler de relation de cause à effet ?

Comment démontre-t-on une implication $P\Rightarrow Q$, disons sous un ensemble d'hypothèses $H$ ?
On ajoute $P$ à notre ensemble d'hypothèses $H$ et on essaie de démontrer $Q$ sous l'ensemble d'hypothèses $H\cup\{P\}$. Si on y arrive, ça fournit une démonstration de $P\Rightarrow Q$ sous $H$ (c'est ce qu'on appelle parfois le déchargement d'hypothèse, on "décharge" l'hypothèse $P$ dans la démonstration de $Q$ pour avoir une démonstration de $P\Rightarrow Q$.
Bon maintenant, personne ne nous oblige à utiliser effectivement l'hypothèse $P$ dans la démonstration de $Q$ sous $H\cup\{P\}$.
C'est le cas par exemple si $P$ est $\sqrt2\not\in \mathbb Q$ et $Q$ est $0\neq 1$. Même si tu n'utilises pas l'hypothèse $\sqrt2\not\in \mathbb Q$ dans ta démonstration de $0\neq 1$, tu n'en a pas moins une démonstration de $\sqrt2\not\in \mathbb Q\implies 0\neq 1$.

Par ailleurs tu peux faire une démonstration de $0\neq 1$ qui utilise l'hypothèse $\sqrt2\not\in \mathbb Q$ :
Si $0=1$ alors on a $1=2$ en ajoutant $1$. Donc $2=1^2$ et $\sqrt2=1\in \mathbb Q$. Mais ceci est impossible puisqu'on a supposé $\sqrt2\not\in \mathbb Q$. Par conséquent $0\neq1$.
Par déchargement d'hypothèse, on a une démonstration de $\sqrt2\not\in \mathbb Q\implies 0\neq 1$.

@pourtos de mon téléphone

Vérifie si tu es d'accord que :

(Si A et B alors C) = (si A alors si B alors C)

Prends ton temps et considère = comme une abréviation de "a le même sens que"

Si tu es d'accord alors prends le cas particulier C:=A et demande toi pourquoi, subitement tu commencerais à douter.