Conjonction et Implication
Bonjour je suis en Terminale S, j'ai lu récemment quelques notions sur les fondements de la logique. Et je me posais la question suivante :
Soit $A,B,C$ des assertions. $\displaystyle A\ \land \ B\ \Longrightarrow C$
Cette affirmation est elle vraie :
Si $\displaystyle A\equiv V\ $ et $\displaystyle C\equiv V$ alors $\displaystyle B\equiv V$
Est ce qu'on peut en déduire : $\displaystyle A\Longrightarrow B$
Je vous remercie par avance pour vos explications.
Soit $A,B,C$ des assertions. $\displaystyle A\ \land \ B\ \Longrightarrow C$
Cette affirmation est elle vraie :
Si $\displaystyle A\equiv V\ $ et $\displaystyle C\equiv V$ alors $\displaystyle B\equiv V$
Est ce qu'on peut en déduire : $\displaystyle A\Longrightarrow B$
Je vous remercie par avance pour vos explications.
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Réponses
Tu utilises plusieurs signes sans les avoir documentés de sorte qu'on risque d'avoir peur de t'induire en erreur. Par exemple, chez toi, $\wedge$ veut-il dire "et"?
De plus, tu commences en écrivant:
Je te réponds donc comme si tu avais écrit :
Ensuite tu poses 2 questions. La première est:
<<A-t-on alors (V et =>V ? >>
La réponse est qu'on l'a même si on ne suppose rien du tout.
La deuxième est "peut-on en déduire B=V?"
Si la réponse était "oui", comme la phrase [(V et =>V] est une tautologie, cela signifierait qu'on peut prouver B=V à partir de rien.
$\displaystyle Soit\ x,y\ \in \mathbb{R}$
On pose les assertions suivantes :
$\displaystyle A:x\leq |y|\ $
$\displaystyle B\ y-x\leq |y|$
$\displaystyle C\ A\land B\ \equiv y\leq 2|y|$
On constate que $\displaystyle \forall \ y\in \mathbb{R} \ C\ est\ vraie$
Par conséquent ai-je le droit de dire :
$A$ est vraie et $B$ est vraie ?
Ma conscience me dit "Oui, d’après la définition d'une conjonction , mais comme les assertions ne sont pas quantifiées, ne dis rien"
Si $A$ est vrai alors $B$ est vraie autrement dit $\displaystyle A\Longrightarrow B$ ?
Ma conscience me dit : "pas très évident"
La réponse à ta dernière question : il suffit de lire la table de vérité de l'implication. Si $C$ est vraie, alors $A \Rightarrow C$ est vraie, quelle que soit $A$. Donc en particulier tu ne peux pas déduire du fait que $A \Rightarrow C$ est vraie que $A$ est vraie.
De plus, tu as introduit une quantification dans ton analyse de la situation. Si vraiment tu souhaites le faire, il faudra différencier $2 \leq 2|2|$ et $-\pi \leq 2 |\pi|$, en les appelant plutôt $C(2)$ et $C(-\pi)$ par exemple. Mais ça n'a pas grand-chose à voir avec la question que tu posais, qui avait à voir avec la notion d'implication, et puisque tu avais fixé $x$ et $y$ au début de celle-ci.
Enfin, pour trancher si effectivement $A \Rightarrow B$ est vraie (rappelons que $x$ et $y$ sont fixés), il faut à nouveau se rapporter à la table de vérité. L'implication sera vraie si et seulement si $B$ est vraie, ou $A$ est fausse.
EDIT : je n'avais même pas fait attention, mais suite au message de Christophe, il n'est effectivement pas vrai que $A \wedge B \equiv C$, il y a seulement implication !
Merci,
J'aurais préféré un Oui ou un Non.
Je suis pas sûr de lire correctement, est ce que pouvez réécrire votre table de vérité avec des parenthèses
s'il vous plaît.
Toujours avec les valeurs de vérité $0$ pour faux et $1$ pour vrai on a $$\begin{array}{c|c|c}A&B&A \wedge B\\\hline 0&0&0\\\hline 0&1&0\\\hline 1&0&0\\\hline 1&1&1\end{array}$$ tandis que $$\begin{array}{c|c|c}A&B&A \Rightarrow B\\\hline 0&0&1\\\hline 0&1&1\\\hline 1&0&0\\\hline 1&1&1\end{array}$$
Tu peux juste dire que si $A \wedge B$ est vraie alors $A \Rightarrow B$...
Lorsqu'il s'agit d'une implication, on a la table de vérité suivante.
$\displaystyle \begin{array}{ c|c|c}
A\land B & C & A\land B\Longrightarrow C\\\hline
0 & 0 & 1\\\hline
0 & 1 & 1\\\hline
1 & 0 & 0\\\hline
1 & 1 & 1
\end{array}$
On peut juste dire que si $C$ est vraie et que $ A\land B\Longrightarrow C$ est vrai alors $ A\land B$ peut être vrai ou faux. Étant donné que on ne connaît pas la valeur de verité de $ A\land B$, on ne peut pas déduire $ A\Longrightarrow B$.
Lorsqu'il s'agit d'une équivalence. On a la table de vérité suivante.
$\displaystyle \begin{array}{ c|c|c}
A\land B & C & A\land B\Leftrightarrow C\\\hline
0 & 0 & 1\\\hline
0 & 1 & 0\\\hline
1 & 0 & 0\\\hline
1 & 1 & 1
\end{array}$
On peut dire que si $C$ est vraie et $ A\land B\Leftrightarrow C$ est vraie alors $ A\land B$ est vraie, donc $ A\Longrightarrow B$.
Un exercice assainissant serait pour toi de prouver les énoncés suivants:
$(faux\to faux)=vrai$
$(faux\to vrai)=vrai$
à l'aide de SEULEMENT des choses dont tu étais déjà sûr en classe de cinquième. Ce n'est pas un exercice très difficile.