Logique bivalente et décidabilité

@Homo Topi : ta question de l'identifiabilité de la vérité est trop vague. En tout cas, du point de vue algorithmique on connaît beaucoup de situations où on peut dire qu'on ne peut pas "identifier" quelle est la valeur de vérité de certaines formules, par exemple la formule proposée par Maxtimax, ou dans le même genre, le problème du mot dans un groupe finiment présenté.

Christophe : bien sûr, mais il est ou n'est pas trivial. La question de savoir si la réponse dépend de l'univers est une question tout à fait distincte

Non pas du tout, l'énoncé "$G$ est trivial ou ne l'est pas" est juste vrai dans tout univers :-D On n'échange pas $\forall$ et $\lor$ par contre; mais c'est une question différente.

Voici la phrase que j'avais loupée.

homo topi a écrit:

Donc en gros, une fois que j'ai fixé un modèle de ZFC

@Homo topi: un modèle est PAR DEFINITION une fonction qui à chaque phrase associe un élément de $\{vrai; faux\}$.

J'ai souvent dit et je répète qu'il est mieux de regarder les modèles comme des théories complètes qui nomment*** tous leurs individus. L'illusion sémantique peut conduire à des contre-sens.

Ce qui signifie que si un modèle $M$ est tel que $M(\exists xR(x))=vrai$ alors il existe un nom $a$ tel que $M(R(a)) = vrai$.

homo topi a écrit:

mais on peut démontrer qu'on ne peut pas déterminer laquelle dans ZFC. Dans un certain sens, ça me paraît contradictoire... comment HC pourrait-il avoir une valeur de vérité "absolue" dans ZFC si, dans ZFC, on peut prouver que cette valeur de vérité est impossible à déterminer ?

C'est très simple: $P$ est démontrable dans $ZFC$ quand pour tout modèle $M$ de ZFC: $M(P)=vrai$.

En ce qui concerne HC, ce que tu as est la chose suivante:

1/ il existe un modèle de ZFC $M_1$ tel que $M_1(HC)=vrai$
2/ il existe un modèle de ZFC $M_2$ tel que $M_2(HC)=faux$

C'est tout.

Ceci n'a rien à voir avec l'intuitionnisme.

Christophe a une définition personnelle de ce qu'est un modèle, différente de celle de "tout le monde". Je n'en vois pas l'intérêt.
À ce que je comprends, la théorie des corps réels clos, par exemple, a un seul modèle en son sens. Bof bof.

De mon téléphone : je détaillerai d'un PC mais tu te trompes GBZM. Tu oublies les constantes. :-D

Mes modèles sont les modèles usuels je fais juste remarquer que les deux paradigmes ne dont que psychologiquement différents.

De mon téléphone ce n'est pas très facile donc j'espère que toi comprendra un résumé sms mais je ferai un PC post pour les autres lecteurs.

Oui le flou de mon propos à d'ailleurs été souligné par Grthen qui croyait que j'evoquais forcément la skolemisation. La dessus tu as raison.

Mais mon souhait était de souligner (pour caricaturer) l'absence de différence clinique entre M models R(u,v) et M(R(u,v))=vrai et entre la complétude et le lemme de Zorn.

Voir par tes corps ordonnés comme des "mondes blabla" ou les voir comme une fonction envoie un ensemble de phrases dans {vrai,faux} (par exemple: IR(pi=e)= faux) ce est au fond qu'une différence psy.

C'edt pourquoi j'utilise l'expression "tous individus nommés" pour aller vite.

D'un PC je ferai un truc plus soigné.

Ça mériterait d'être un peu plus précis, mais c'est bien ça.
En quoi ça te pose problème ?

Ben un modele est une L-structure donc est notamment un quadruplet d’ensembles, un premier ensemble non vide appelé univers, une application qui envoie les constantes sur l’univers, une application qui envoie les fonctions du langage sur des fonctions à plusieurs variables sur l’univers en conservant l’arité , et une fonction qui envoie les relations blabla sur blabla fin tu connais. Un quadruplet d’ensembles est un ensemble comme un autre, il faut juste comprendre qu’on décide d’etudier la logique mathématique en tant qu’objet mathématique donc avec la logique mathématique, et on parle et on raisonne sur l’objet « logique mathématique » avec le paradigme théorie des ensembles par défaut. Dans l’absolu on ne sait pas qu’on parle de la logique mathématique avec laquelle on raisonne, c’est un pari quelque part que de penser que ma description de mes raisonnements consiste bien en l’étude du gros machin qu’est l’ensemble des formules construites par induction sur un alphabet. Tu pourrais totalement oublier que t’es en train de t’etudier avec les moyens que tu étudies en regardant toutes ces structures banalement comme tu le fais quand tu fais de la topo ou ce que tu veux. Mais je pense pas qu’un problème est déplacé, un modèle est un ensemble comme un autre et c’est clairement assumé. Quant à ensemble, ça n’a pas de définition vraiment satisfaisante (ça bouclerait un moment ou on resterait sur notre faim mais y a pas le choix confer le problème du dictionnaire avec un nombre fini de mots qui ne satisfait jamais personne)

Bon c’est du baratin de néophyte hein

Édit: enfin on peut trouver plein de définitions « équivalentes dans les faits » de modèle, mais dans tout ce que j’ai vu c’est parfaitement formel. J’imagine que celle de CC se prête mieux au paradigme « lambda calcul » où le terme non défini de base est application plutôt qu’ensemble, mais j’imagine aussi que c’est très formel aussi

Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles :

On considère une collection d'objets, collection qu'on appellera univers, et qu'on désignera par $\mathcal U$; on ne dit pas : "considérons un ensemble $\mathcal U$", car ce que nous appellerons ensembles, ce sont précisément les objets de $\mathcal U$ etc.

Les "ensembles naîfs" de raoul.S sont les collections de Krivine.

Pour ignatus : pour la sémantique dans un topos, l'univers est un objet du topos. Mais si tu ne connais rien aux topos, te voila bien avancé !

Bonjour GaBuZoMeu,

il me semble juste qu'on appelle topos une catégorie équivalente à la catégorie des faisceaux d'ensembles sur un espace topologique.
On peut parler de topos d'une catégorie en produisant un analogue d'un espace topologique, qui est une catégorie munie d'un site, le site définissant une topologie. On peut alors construire des faisceaux d'ensembles à partir des "ouverts" de la catégorie, et on appelle ça un topos.

D'après ce que tu dis, pour la sémantique d'un topos, l'univers est équivalent à un faisceau d'ensemble.

J'ai bien envie de comprendre cette relation entre théorie des modèles et topos, et notamment comment cela peut généraliser ce que l'on appelle la logique bivalente. Je peux ouvrir un fil parallèle si des bonnes âmes veulent bien me donner un peu de leur temps pour éclaircir ce problème.
Merci en tout cas.

ignatus.

@raoul.S :
Théorème : GaBuZoMeu n'est pas JLK.
Démonstration par l'absurde : JLK ne traîne pas sur ce forum.

P.S. Si tu as tout compris jusqu'au Chap 4 c'est déjà pas mal