Logique bivalente et décidabilité
La logique mathématique "classique" se veut bivalente : chaque énoncé possède une valeur de vérité, et une seule, qui est soit "vrai", soit "faux".
Mais là, je me dis... il existe des énoncés indécidables, comme l'hypothèse du continu dans ZFC par exemple. En logique classique, ça veut dire, HC possède une valeur de vérité, mais on peut démontrer qu'on ne peut pas déterminer laquelle dans ZFC. Dans un certain sens, ça me paraît contradictoire... comment HC pourrait-il avoir une valeur de vérité "absolue" dans ZFC si, dans ZFC, on peut prouver que cette valeur de vérité est impossible à déterminer ? Surtout que, si j'ai bien suivi, on peut supposer HC vraie et ne pas aboutir à une incohérence, et on peut supposer HC fausse sans aboutir à une incohérence non plus. Ça me donne envie de dire que la valeur de vérité de HC n'est ni "vrai", ni "faux" du coup... Mais ça ne devrait pas marcher dans un système logique bivalent.
Qu'est-ce que je fais de faux là-dedans ?
Mais là, je me dis... il existe des énoncés indécidables, comme l'hypothèse du continu dans ZFC par exemple. En logique classique, ça veut dire, HC possède une valeur de vérité, mais on peut démontrer qu'on ne peut pas déterminer laquelle dans ZFC. Dans un certain sens, ça me paraît contradictoire... comment HC pourrait-il avoir une valeur de vérité "absolue" dans ZFC si, dans ZFC, on peut prouver que cette valeur de vérité est impossible à déterminer ? Surtout que, si j'ai bien suivi, on peut supposer HC vraie et ne pas aboutir à une incohérence, et on peut supposer HC fausse sans aboutir à une incohérence non plus. Ça me donne envie de dire que la valeur de vérité de HC n'est ni "vrai", ni "faux" du coup... Mais ça ne devrait pas marcher dans un système logique bivalent.
Qu'est-ce que je fais de faux là-dedans ?
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Réponses
Sémantiquement, ça veut dire que si tu fixes un modèle de ZFC (un univers), HC y est vraie, ou elle y est fausse. Seulement, l'option qui est vérifiée (vraie ou pas) va dépendre du modèle/univers que tu fixes : c'est le contenu des théorèmes d'indécidabilité de Cohen et Gödel.
En particulier, ni HC ni non HC n'est prouvable, bien que HC ou non HC le soit. De la même manière que "tout groupe est abélien ou non abélien" est prouvable, pour autant ni "tout groupe est abélien" ni "tout groupe est non abélien" n'est prouvable.
Mais est-ce que la valeur de vérité va être identifiable dans le modèle, ou pas forcément ?
@Homo topi: un modèle est PAR DEFINITION une fonction qui à chaque phrase associe un élément de $\{vrai; faux\}$.
J'ai souvent dit et je répète qu'il est mieux de regarder les modèles comme des théories complètes qui nomment*** tous leurs individus. L'illusion sémantique peut conduire à des contre-sens.
Ce qui signifie que si un modèle $M$ est tel que $M(\exists xR(x))=vrai$ alors il existe un nom $a$ tel que $M(R(a)) = vrai$.
C'est très simple: $P$ est démontrable dans $ZFC$ quand pour tout modèle $M$ de ZFC: $M(P)=vrai$.
En ce qui concerne HC, ce que tu as est la chose suivante:
1/ il existe un modèle de ZFC $M_1$ tel que $M_1(HC)=vrai$
2/ il existe un modèle de ZFC $M_2$ tel que $M_2(HC)=faux$
C'est tout.
Ceci n'a rien à voir avec l'intuitionnisme.
J'aimerais comprendre ces phrases.
Quand tu parles de "théorie complète" tu penses à la définition donnée par Wikipedia je pense. Dans ce cas tu veux dire quoi par des théories complètes qui nomment*** tous leurs individus ?
Je précise : ce que je sais est qu'une théorie logique du premier ordre contient des symboles de constantes, de variables, de fonctions et de relations et qu'on construit des termes et des formules avec les règles appropriées. Ayant précisé ceci, ça veut dire quoi qu'une théorie nomme tous ces individus ?
Tu écris : si un modèle $M$ (donc une fonction selon ce que tu as dit avant) est tel que $M(\exists xR(x))=vrai$ alors il existe un nom $a$ tel que $M(R(a)) = vrai$.
"$\exists xR(x)$" est une formule du langage (où $R$ est un symbole de relation unaire), M envoie donc $\exists xR(x)$ sur $vrai$, mais ton $a$ c'est quoi ? une constante du langage ?
À ce que je comprends, la théorie des corps réels clos, par exemple, a un seul modèle en son sens. Bof bof.
[Leon Albert Henkin (1921-2006) prend toujours une majuscule. AD]
Mes modèles sont les modèles usuels je fais juste remarquer que les deux paradigmes ne dont que psychologiquement différents.
Si tes modèles sont en fait les modèles usuels, pourquoi parler "d'illusion sémantique qui peut conduire à des contresens" ?
Oui le flou de mon propos à d'ailleurs été souligné par Grthen qui croyait que j'evoquais forcément la skolemisation. La dessus tu as raison.
Mais mon souhait était de souligner (pour caricaturer) l'absence de différence clinique entre M models R(u,v) et M(R(u,v))=vrai et entre la complétude et le lemme de Zorn.
Voir par tes corps ordonnés comme des "mondes blabla" ou les voir comme une fonction envoie un ensemble de phrases dans {vrai,faux} (par exemple: IR(pi=e)= faux) ce est au fond qu'une différence psy.
C'edt pourquoi j'utilise l'expression "tous individus nommés" pour aller vite.
D'un PC je ferai un truc plus soigné.
Ben disons que ça m'intéressait de voir un modèle comme une fonction car je ne suis pas certains de comprendre la définition de "tout le monde".
Je veux dire est-ce qu'on a une "définition standard" rigoureuse de ce qu'est un modèle ?
Car en lisant dans les bouquins j'ai cru comprendre que c'est une structure où vivent les objets dont parle la théorie logique qu'on considère. Donc finalement on pense à un modèle comme à un ensemble naïf (un groupement d'objet quoi), les relations du langages étant interprétées comme des relations de l'ensemble naïf du modèle, les symboles de fonctions comme des fonctions de l'ensemble naïf du modèle, etc.
Me trompé-je ?
En quoi ça te pose problème ?
Je précise : avant de lire un quelconque texte de logique j'avais déjà étudié quelques structures algébriques (groupes, anneaux, etc.), suivis un cours de topologie etc. bref à chaque fois qu'on étudie ces théories on utilise la notion d'ensemble. En effet une structure de groupe par exemple est définie sur un ensemble, mais au début on étudie ces théories avec une idée naïve d'ensemble (car la majeure partie des fois c'est amplement suffisant). Donc en gros on voit un ensemble comme un groupement d'objets et voilà.
Puis lorsque j'ai mis un peu le nez dans la logique du premier ordre et un peu dans la théorie des ensembles pour comprendre comment formaliser correctement la notion d'ensemble j'ai été confronté à la notion de modèle et je me suis rendu compte qu'en fait mentalement on (ou en tout cas moi) a une image de ce qu'est un modèle (ou un "univers" dans la théorie des ensembles) qui est exactement la même que celle qu'on avait d'un ensemble naïf avant d'avoir lu un quelconque texte de logique.
Du coup on formalise la notion d'ensemble mais on ne se gène pas pour introduire la notion de modèle qui n'est pas du tout formalisée (ou bien ?) mais se base sur l'idée naïve classique du gros sac d'objets. En fait j'ai l'impression qu'on ne fait que déplacer "le problème".
Si quelqu'un peut m'éclairer et/ou confirmer... merci d'avance.
Bon c’est du baratin de néophyte hein
Édit: enfin on peut trouver plein de définitions « équivalentes dans les faits » de modèle, mais dans tout ce que j’ai vu c’est parfaitement formel. J’imagine que celle de CC se prête mieux au paradigme « lambda calcul » où le terme non défini de base est application plutôt qu’ensemble, mais j’imagine aussi que c’est très formel aussi
désolé de m'immiscer dans ce fil. Vous pouvez ne pas répondre si les questions vous semblent déplacé.
Qu'en est-il de la notion de modèle alors si l'on essaie de se placer dans le cadre de la théorie des catégories ?
Le fil est parti d'une question sur la notion de bivalence. Ayant écouté une conférence d' Alain Connes, que se passe-t-il si l'on se place dans le cadre des topos, dans lequel la bivalence est un cas particulier ? (Bien entendu, je ne comprends rien aux topos,...)
Merci.
ignatus.
On considère une collection d'objets, collection qu'on appellera univers, et qu'on désignera par $\mathcal U$; on ne dit pas : "considérons un ensemble $\mathcal U$", car ce que nous appellerons ensembles, ce sont précisément les objets de $\mathcal U$ etc.
Les "ensembles naîfs" de raoul.S sont les collections de Krivine.
Pour ignatus : pour la sémantique dans un topos, l'univers est un objet du topos. Mais si tu ne connais rien aux topos, te voila bien avancé !
1/ la valeurs de vérité
2/ le "Tout-L'univers-Des-Possible" où se déroule le film.
Et une "pseudo-difficulte" les notions premières (problème de poule ou l'oeuf en gros).
Bien que ce ne soit pas très dur, ça nécessite des conversations détaillées.
il me semble juste qu'on appelle topos une catégorie équivalente à la catégorie des faisceaux d'ensembles sur un espace topologique.
On peut parler de topos d'une catégorie en produisant un analogue d'un espace topologique, qui est une catégorie munie d'un site, le site définissant une topologie. On peut alors construire des faisceaux d'ensembles à partir des "ouverts" de la catégorie, et on appelle ça un topos.
D'après ce que tu dis, pour la sémantique d'un topos, l'univers est équivalent à un faisceau d'ensemble.
J'ai bien envie de comprendre cette relation entre théorie des modèles et topos, et notamment comment cela peut généraliser ce que l'on appelle la logique bivalente. Je peux ouvrir un fil parallèle si des bonnes âmes veulent bien me donner un peu de leur temps pour éclaircir ce problème.
Merci en tout cas.
ignatus.
Ok en fait tu es en train de dire qu'on fait de la logique à l'intérieur de la théorie des ensembles et que les symboles du langage qu'on considère sont en fait des ensembles tout comme la L-structure.
J'ai toujours pensé que ce n'était pas le cas et que lorsqu'on étudie la logique on se place à l'extérieur de la théorie des ensembles...
et que les collections de Krivine sont des modèles (hypothétiques) de la théorie des ensembles...
@GaBuZoMeu j'ai le bouquin de théorie des ensembles de Jean-Louis Krivine mais je n'ai jamais dépassé le chapitre 4 :-D.
Ceci dit je me souviens très bien de la phrase que tu cites (car elle est en première page du chap.1). J'espère que tu n'es pas Jean-Louis Krivine :-D
Théorème : GaBuZoMeu n'est pas JLK.
Démonstration par l'absurde : JLK ne traîne pas sur ce forum.
P.S. Si tu as tout compris jusqu'au Chap 4 c'est déjà pas mal
Libre aux modérateurs de supprimer le nouveau fil et de le réintégrer ici, on verra bien ce qu'ils en pensent.