La valeur de vérité des propositions

Je me demande pourquoi l'auteur du livre n'a pas mis de quantificateurs?

d'accord, en effet, une proposition de type $( P \implies Q )$ est fausse si P est vrai et Q est fausse

soit $x\in \mathbb{R}$ tel que $x^{2}=1$

on a $x^{2}=1 \iff (x=1 \mbox{ou } x=-1) \implies (x=1 \mbox{ou } x=-1) \implies x=-1$

$(\forall x\in \mathbb{R}); x^{2}=1\implies x=-1 $

la proposition $p: (x\in \mathbb{R}); x^{2}=1 \implies x=-1)$ est fausse car on a la proposition $(x^{2}=1)$ est vrai
et $x^{2}=1 \implies x=1 \mbox{ou }x=-1$ donc la proposition $(x=-1)$ est fausse donc la proposition p l'est aussi.