Opérateurs universels de logique de n-valente
Bonsoir,
je fais actuellement des recherches sur les propriétés des fonctions logiques (ou opérateurs logiques) dans des systèmes logiques n-valent, c’est à dire dont le domaine booléen étendu est de cardinal n. Par domaine booléen étendu j’entends toutes les valeurs de vérités possibles du système (en logique classique, n=2 car on a que Vrai ou Faux)
J’aimerai trouver si possible tout les opérateurs universels de ces systèmes, selon n, c’est à dire fonctionnellement complets (que je note FC), cela signifie que n’importe quelle formule composé de variables et de fonctions logiques associant ces variables peut être réécrite avec seulement cette opérateur en conservant sa valeur de vérité .
Pour mieux comprendre on peut prendre l’exemple d’un cas simple, on prouve sans difficulté que pour n=2, les seuls opérateurs FC sont nor et nand. Ça se trouve facilement en réduisant les 16 cas possibles a deux variables en des formules ne contenant que ces fonctions (ex : « A ou B » : « (A nor nor (A nor »), au cas par cas, et en montrant par récurrence immédiate que si une fonction logique est 2-FC (c’est à dire qu’elle permet de générer toutes les tables de vérités possibles de deux variables), alors elle est n-FC, donc FC.
Mais rien qu’en logique ternaire, il y a 3^9 possibilités à vérifier et pour 4 valeurs de vérités, il y en a 4^16, c’est donc impossible de le faire au cas par cas comme pour les opérateurs de la logiques bivalentes, donc je bloque un peu !
L’ideal serai de trouver un nombre suffisent de conditions nécessaires pour ces opérateurs universelles, et de réduire les possibilités à tester.
Pour faciliter les notations, on pourra représenter les opérateurs par leur tables de vérités respectives (ça permettra de les nommer plus facilement, ainsi :
si n = 2,
A = 1100
B = 1010
« Nor » = (0001) et « Nand » = (0111)
Pour n,
A = 111...1 222...2 333...3 ... nnn...n
B = 123...n123...n 123...n ... 123...n
L’opérateur quelconque « * » sera par exemple (6,5,1,26,1,4,2,21...5,2,5,9,0,17) avec n^2 nombres
(Bon après ce ne sont que mes notations)
Mais voilà, l'idée serai d’essayer de généraliser la notion d’universalité des opérateurs booléens. Et le cas échéant montrer qu’il existe (ou non) une règle de classification de tels opérateurs en fonction de n la valence du système logique étudié.
Merci d’avance à ceux qui prendront le temps d’en me lire et de m’aider sur ce problème !
je fais actuellement des recherches sur les propriétés des fonctions logiques (ou opérateurs logiques) dans des systèmes logiques n-valent, c’est à dire dont le domaine booléen étendu est de cardinal n. Par domaine booléen étendu j’entends toutes les valeurs de vérités possibles du système (en logique classique, n=2 car on a que Vrai ou Faux)
J’aimerai trouver si possible tout les opérateurs universels de ces systèmes, selon n, c’est à dire fonctionnellement complets (que je note FC), cela signifie que n’importe quelle formule composé de variables et de fonctions logiques associant ces variables peut être réécrite avec seulement cette opérateur en conservant sa valeur de vérité .
Pour mieux comprendre on peut prendre l’exemple d’un cas simple, on prouve sans difficulté que pour n=2, les seuls opérateurs FC sont nor et nand. Ça se trouve facilement en réduisant les 16 cas possibles a deux variables en des formules ne contenant que ces fonctions (ex : « A ou B » : « (A nor nor (A nor »), au cas par cas, et en montrant par récurrence immédiate que si une fonction logique est 2-FC (c’est à dire qu’elle permet de générer toutes les tables de vérités possibles de deux variables), alors elle est n-FC, donc FC.
Mais rien qu’en logique ternaire, il y a 3^9 possibilités à vérifier et pour 4 valeurs de vérités, il y en a 4^16, c’est donc impossible de le faire au cas par cas comme pour les opérateurs de la logiques bivalentes, donc je bloque un peu !
L’ideal serai de trouver un nombre suffisent de conditions nécessaires pour ces opérateurs universelles, et de réduire les possibilités à tester.
Pour faciliter les notations, on pourra représenter les opérateurs par leur tables de vérités respectives (ça permettra de les nommer plus facilement, ainsi :
si n = 2,
A = 1100
B = 1010
« Nor » = (0001) et « Nand » = (0111)
Pour n,
A = 111...1 222...2 333...3 ... nnn...n
B = 123...n123...n 123...n ... 123...n
L’opérateur quelconque « * » sera par exemple (6,5,1,26,1,4,2,21...5,2,5,9,0,17) avec n^2 nombres
(Bon après ce ne sont que mes notations)
Mais voilà, l'idée serai d’essayer de généraliser la notion d’universalité des opérateurs booléens. Et le cas échéant montrer qu’il existe (ou non) une règle de classification de tels opérateurs en fonction de n la valence du système logique étudié.
Merci d’avance à ceux qui prendront le temps d’en me lire et de m’aider sur ce problème !
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