Série formelle, "fonction formelle"

Bonjour à tous,

Attention au lecteur, cette question pourrait être placée dans Stham

Pour ma culture générale,
Existe-t-il une notion de "fonction formelle" ?

1) Pour les séries formelles on s'appuie sur les suites (presque partout nulles) en notant
$X=(0,1,0,0,0...)$; $X²=(0,0,1,0,0...)$ etc.
On définit un produit en additionnant les exposants (cela donne la place du $1$).
Puis on étend aux suites quelconques et on utilise la notation "série"/"somme".
La suite $(1,1,1,...)$ est notée : $\sum_{k=0}^{\infty} X^k$.

2) Je m’interrogeais sur $\sqrt{X}$ par exemple, une sorte de "fonction formelle" (je n'ai pas de nom)
On ne trouve pas de suite $(0,...,0,1,0,0,...)$ convenable (c'est à dire qui donne $X$ par produit par elle-même).
Mais on peut, dans mes idées les plus folles, ajouter des suites.
Non pas de $\mathbb N$ dans $\{0;1\}^{(\mathbb N)}$.
Mais de $\dfrac{\mathbb N}{2}$ dans $\{0;1\}^{(\mathbb N)}$. Méfiance au lecteur naïf ici !

C'est un peu bizarre : en gros on ajoute/insère une place entre chaque entier (ça revient à insérer un nouveau terme entre chaque terme de la première suite). Ainsi, le terme d'indice $\dfrac{1}{2}$ vaut $1$ et tous les autres valent $0$.

On obtient bien notre $\sqrt{X}$, en quelque sorte.
Bien entendu, la notation en série avec ce genre de chose est bizarre, car l'indice $k$ de la somme ne varie pas sur les entiers naturels mais sur $\qquad 0\qquad 0,5\qquad 1\qquad 1,5\qquad ...$ et je comprends bien qu'on devient un peu Sthamesque...

La démarche est certainement bancale, mais qu'existe-t-il à ce sujet ?

3) Il doit certainement exister une autre théorie qui ne part pas des séries formelles.
Je me souviens d'avoir vu/utilisé des choses dans des espaces de fonctions comme "On admet l'existence d'une fonction $g$ telle que $g\times g=f$" un peu comme Cardan. En gros ce n'est qu'"algébrique" et comme on pourrait dire vulgairement "on verra plus tard".

A vous lire en cette vespérale Shtamanite.