Je crois avoir mal compris l'opération : on ne quotiente pas par C, mais on identifie à C.
Donc, en toute généralité, si on n'amalgame pas sur ce que l'on appelle l'intersection, mais sur un objet Z, on force en quelque sorte, la réunion de A et B a avoir Z comme intersection. Et si l'on parle d'union disjointe au départ, c'est que cette fois-ci les objets A et B ne sont pas forcément des sous-objets d'un objet.
[large]0/[/large] L'important est de t'amuser. Bien entendu, il y a une sorte de "parcours tout droit" consistant à suivre les ancêtres qui va te mener à "ce qu'ils avaient envie de faire des topos"
Mais en dehors de gens très acharné, je ne crois pas que ce soit très conseillable pour comprendre tout ça.
La raison est que les topos ont une "mauvaise approche" des maths comme les plans non arguésiens ont une mauvaise approche de la géométrie classique. (Je te mettrai un lien où j'ai détaillé ça).
Il "se trouve" qu'on a l'impression qu'avec un topos on a un peu l'impression de faire le truc super-ultra-à la mode consistant à remplacer $\{faux; vrai\}$ par une algèbre de Heyting. Autrement dit, qu'on a l'impression de faire du forcing. Mais en fait il n'en est rien.
Les topos sont une troisième voie adaptée en fait à un certain nombre d'applications mathématiques qui vont plutôt être colorées géométrie algébrique.
Du coup le fait "d'aller s'amuser" à calculer des valeurs de vérité d'énoncés dedans relève de la simple (à l'heure actuelle) volonté politique. On y arrive parfaitement, certes, mais on l'a voulu, et ça s'est développé.
Dans une catégorie cartésienne fermée (ayant des produits cartésiens et des exponentielles), tu as déjà toutes les définitions qui marchent modulo l'ajout d'axiomes primitifs.
Et partant d'une catégorie, tu as déjà le choix entre jouer avec "des vrais ensembles" (ou plutôt de vrais noms d'ensembles), ou jouer avec des "ensembles flous". C'est la "volonté politique" qui va faire par exemple choisir la deuxième option et trouver le dénominateur commun entre les 2 qui va justifier a posteriori la fascination qu'ils exercent.
[large]1/[/large] Exemples de délires gratuits:
1.1/ Un ensemble (qui est une partie de $B$) est une flèche $f:A\to B$ (je les notes comme ça, c'est plus simple pour moi en latex)
1.2/ Un élément de $B$ est une flèche de la forme $g: 1\to B$
1.3/ tu peux abréger par $<<g$ est dans $f>>$ la phrase $<<$ il existe une flèche $h:1\to A$ telle que $g=f\circ h$
1.4/ Tu te retrouves ainsi avec une notion d'appartenance.
[large]2/[/large]
2.1/ Pourquoi l'exemple précédent n'est pas sexy?
2.2/ Pour deux raisons:
2.2.1/ Parce que les deux objets n'ont pas le même statut, l'un est un "élément" et l'autre est un "ensemble"
2.2.2/ On n'a pas le plaisir de dire que l'appartenance de $g$ à $f$ a une valeur de vérité quantique qui serait intermédiaire entre le faux et le vrai
2.3/ Voilà, il ne faut pas négliger l'affectif.
3/ Qu'en est-il de la réalité scientifique objective?
3.1/ Bin la réponse est très simple. On veut étudier dans le monde de tous les possibles, et les objets primitifs sont des ensembles non extensionnels, autrement dit des graphes orientés et simples.
3.2/ Disons que ça c'est l'instinct primordial.
3.3/ Il y a une "petite étape" de plus, qui fait passer des graphes aux ensembles et elle est donnée en maths axiomatisées par l'axiome d'extensionalité (admis très tôt implicitement dans le scolaire, comme tu le sais quand les profs parlent de LA FONCTION $x\mapsto 3x$ et non pas d'une des fonction $f$ telle que $\forall x: f(x)=3x$)
3.4/ Quand au niveau de la recherche, Cohen a découvert le forcing, il a "hélas" buté sur le fait que la grosse difficulté était l'extensionalité.
3.5/ On "peut prouver" que l'extensionalité ne sera jamais "donnée" et qu'elle est une admission platonicienne très puissante.
3.6/ Le paradigme toposique a pris une voie en quelque sorte "trichante" qui lui permet de préserver "gratuitement" l'extensionalité en payant des prix qu'il estime pas trop élevé par ailleurs. Mais ne fait, cette gratuité se sert de l'extensionalité initiale (ie vérifiée par l'univers où on est quand on fabrique le topos)
3.7/ C'est ce qui fait l'intérêt et à la fois la subjectivité du sujet.
3.8/ En résumé dire qu'une chose est un élément d'un autre chose est "rien" (ou triviale), mais les choses deviennent ultracomplexes quand il s'agit de dire qu'elles vont devoir êrte considérées comme EGALES dans l'aventure du labo qui va recevoir des crédits de recherche pour 3 ans pour les étudier.
[large]4/[/large]
4.1/ L'important n'est pas que tu reçoives l'information (ici le succédané d'intersection qui t'ont été fourni par wikipedia, etc), mais que tu la "justifies".
4.2/ Des articles resp de 1974 et 1980 ont déplié techniquement ce que je te dis là avec un style "bar du coin".
4.3/ Rigoureusement parlant un ensemble est déterminé par son graphe dans sa cloture transitive et donc "est" une relation binaire. Or dès lors que tu as un truc $T$ que tu as décidé d'appeler $\{vrai; faux\}$ et des produits cartésiens, tu as les graphes orientés dans la catégorie où tu travailles: c'est une flèche allant de $A\times A$ dans $T$ pour n'importe quel $A$ objet de ta catégorie.
4.4/ Et ce que je te dis ci-dessus (la difficulté de décider qui est égal à qui) se voit ici. Quand dire que deux flèches sont égales?
4.5/ Attention, là, je ne te parle pas spécialement de topos.
4.6/ Dans un topos la décision a été prise de considérer qu'un (nom de) ensemble est une flèche $f:A\to B$ où $f$ est un monomorphisme (le fait que ça n'enlève pas de généralité est un des 4731 petits lemmes du domaine "topos")
4.7/ Mais ces choses ne se devinent pas.
4.8/ Je te donne un autre exemple: un peu plus haut, Maxtimax te signale que $ou$ ainsi que $\exists$ sont nettement plus difficiles à définir. Et bien, idem, il use pour ça d'une subjectivité de connaisseur, car un gars comme toi qui PEUT RAISONNABLEMENT se dire que $\exists :=\neg \forall \neg$ et $a\ ou\ b := \neg (\neg a\ et\ \neg b)$ se sentira "perdu" dans ces choix non justifiés par des déductions mais par des "pragmatisme de ce que on veut en faire après".
4.9/ Pour ce qui est de l'intersection entre deux parties $f:X\to A$ et $g:Y\to A$ de $A$, sans aller voir wiki etc, tu peux à tout le moins te dire que c'est "le plus grand sous-ensemble de $A$ inclus à la fois dans $f$ et dans $g$".
4.10/ Mais exercice (beaucoup plus simple que ce que mes collègues t'ont proposé jusqu'ici): définis machin inclus dans truc
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@ignatus: comme à mon post précédent je t'ai surtout listé une liste d'avertissements concernant les subjectivités qui président à la construction du paradigme catégoricien, sans te documenter sur les choix finaux qui ont été faits, je te liste dans le présent posts le choix finaux qui ont été faits:
0/ Un objet final et un objet initial sont choisis (resp 1 et 0 )
1/ Un ensemble se représente par l'image directe d'une injection
2/ L'égalité sur $A$ est l'image directe dans $A^2$ de la fonction $x\in A\mapsto (x,x)\in A^2$
3/ Un vrai est choisi dans ... :-D l'ensemble des parties de :-D .... $1$
4/ (X et Y) := ((X,Y) = (vrai, vrai))
5/ Quand $R\subset A\times B$, la partie de $B$ formée par les éléments $b$ de $B$ tels que $\forall x\in A: (x,b)\in R$ est $\{b\in B\mid (x\mapsto R(x,b))$ est constante-vrai $\}$
6/ (X=>Y) := ((X et Y) = X)
7/ FauxPur := Tout := "tout est vrai" := $(\forall X: X)$
8/ (A ou B ) := $(\forall X$ si (A=>X) alors si (B=>X) alors $X)$
9/ $\exists x: R(x):= (\forall Y:($ si $(\forall x(R(x)$ =>$Y)$ alors $Y )$
Sans savoir ça, je ne vois pas comment tu pourrais arbitrer les subjectivités.
Sachant ça, tu ne devrais en principe pas avoir besoin de documents (même si j'ai lu que tu voulais les lire) dans un premier temps.
10/ Les topos sont les catégories cartésiennes fermées où on a réussi à donner un sens robuste et respectable à la notion d'image directe d'un monomophisme.
A partir de là, tu sais tout, tu as un chti taf de mise en technique et tu es paré pour étudier la documentation ultérieure (qui construit des topos).
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Les topos sont les catégories cartésiennes fermées où on a réussi à donner un sens robuste et respectable à la notion d'image directe d'un monomophisme.
mais je m'aperçois de l'inutilité de ce vague.
1/ Quand tu as un monomorphisme $f:A\to B$. On veut parler de manière "directe" (avec jeu de mots) de l'image directe de $f$.
2/ Soit un troisième objet $C$ et $a:1\to C$ un "élément" de $C$.
3/ Tu as certaines flèches $g: B\to C$ qui ont la gentillesse de "contenir" l'image directe de $f$ au sens que $g\circ f = a \circ (A\to 1)$.
4/ Bin un topos, c'est une catégorie qui a la gentillesse de t'en donner qui sont "minimums".
5/ Alors là, j'ai pris $C$ quelconque, mais je te laisse deviner (puisque tu veux regarder la littérature) quel est LE $C$ choisi pour jouer à ce jeu.
6/ Cette (comment l'appeler) "réverberation?" est ce qui a fait jouir les spécialistes de ça.
7/ Un très probablement exercice d'excellent entrainement pour entrer dans le dur est de prouver qu'un fois que tu as ajouté ce pouvoir à une catégorie cartésienne fermée (qui en fait un topos), tu peux accéder PAR DEDUCTIONS à tout plein de choses "ensemblistes-like" sans rien ajouter de plus comme propriétés dans la définition du mot "topos". Voici un exemple d'exercice "typiquement probablement très chiant, mais enthousiasmant": soit $f:A\to B$ (non supposée être un monomorphisme), prouver qu'il existe un monomorphisme $h:C\to B$ qui a "la même image directe que $f$ dans $B$" (et accessoirement, traduire la phrase vague entre guillemets).
8/ Je vais te dire: quand tu auras fait les 2 exos de mes trois posts, + bien compris ces dits 3 posts, je peux te garantir que tu n'auras plus de problème autre que des questions techniques dont tu comprendras les réponses immédiatement quand un intervenant expert te les livrera.
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Quelques notions de topologie, un rudiment de langage des catégories (savoir ce qu'est un foncteur), savoir ce que veut dire "langage du premier ordre".
Ces exposés s'adressaient à des logiciens.
Bon j'avoue, je ne fais pas beaucoup d'effort, mais je n'ai toujours pas capté ce qu'est un faisceau. J'ai juste fini par apprendre qu'il s'agit d'un préfaisceau ayant une certaine "bonne propriété", un préfaisceau étant un foncteur de la catégorie [topologie ordonnée par l'inclusion, vu comme une catégorie] dans ENS.
Hélas, je ne parviens pas à interpréter la définition de GBZM dans ce cadre (les éléments d'un F(U), où U ouvert et F le préfaisceau ayant l'air d'être des fonctions) et maximax me l'avait donnée je crois aussi (enfin une version similaire), e j'avais eu du mal aussi.
Peut-être quelqu'un se connectera-t-il et me dira quels préfaisecaux sont des faiseceaux à partir du fait que les faisceaux sont les foncteurs que j'ai dit? Un immense merci par avance.
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Je peux essayer de te répondre mais ça va être la même chose que la dernière fois : $F$ étant un préfaisceau, c'est un faisceau si et seulement si pour tout ouvert $U$, et tout recouvrement ouvert $(U_i)$, et toute famille $(s_i)$ avec $s_i\in F(U_i)$, si pour tout couple $(i,j), F_{ij}(s_i)= F_{ji}(s_j)$ où j'ai noté $F_{kl}$ l'application induite par $F$ de $F(U_k)$ vers $F(U_k\cap U_l)$ (il y a une anti-inclusion entre ces ouverts, donc une application induite par $F$), alors il existe un unique $s\in F(U)$ tel que pour tout $i$, $F_i(s) = s_i$, où j'ai noté $F_i$ l'application induite par $F$ de $F(U)$ vers $F(U_i)$ (même remarque : il y a une anti-inclusion donc une application induite par $F$)
Tu as l'impression qu'on parle de fonctions parce que par analogie, la flèche $F(U)\to F(V)$ induite par l'inclusion $V\subset U$ est souvent appelée "restriction de $U$ à $V$" et notée d'une manière qui rappelle ça (e.g. $s\mapsto s_{\mid V}$ ou encore $res_V^U$).
C'est justifié par le fait que tout faisceau est naturellement isomorphe à un faisceau de sections d'une application, donc à un faisceau de fonctions où les "restrictions" sont des vraies restrictions
est bien un noyau (avec les flèches auxquelles tout le monde pense).
Autre façon de voir les choses, avec laquelle je commence mes notes : un faisceau sur un espace topologique $X$ est un homéomorphisme local $p : F \to X$. On lui associe un faisceau au sens précédent en posant, pour un ouvert $U$ de $X$, $\mathcal F (U) =$ l'ensemble des sections continues de $p$ sur $U$.
Je laisse Christophe voir comment on construit un homéomorphisme local de but $X$ à partir d'un faisceau comme expliqué par Maxtimax.
Un avantage de ce point de vue : un morphisme de faisceaux est une application continue qui fait commuter le triangle, un sous-faisceau du faisceau est simplement un ouvert de celui-ci, la fibre du faisceau $p:F\to X$ en un point $x\in X$ est $p^{-1}(x)$.
Je répondais à Max mais merci aussi à toi GBZM. Je pense qu'il me fallait un temps de macération passive pour lever une bouderie inconsciente.
Bon maintenant évidemment il me faudra du temps pour ressentir "à quoi ça sert" comme disent les élèves mais disons que la def me semble déjà tout à fait intentionnelle et de bon aloi. On veut "de la cohérence" et tous les prefaisceaux ne le sont pas forcément.
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Pour anti inclusion oui pardon c'était une coquille de ma part dans le pdf de GBZM c'est d'ailleurs bien précisé "^op" et par chance je connaissais le sens de ça.
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Je suis au lit de mon téléphone je vais parler peut être un peu vite mais finalement ça confirme mon impression première qu'on a une fois de plus création d'objet virtuel en math avec ce procédé.
Un faisceau semble parler d'un espace topologique virtuelle comme un ultrafiltre parle d'un élément virtuel.
Un faisceau donne accès à des noms de fonctions continues désirées et quelques relations entre elles (enfin entre les noms) de sorte qu'on ne puisse pas prouver qu'elles n'existent pas réellement.
Je crois que je deviné un peu ce que Grothendieck en a fait après. Il a remarqué que dans certained preuves ce sont ces propriétés qu'on utilisait et pas d'autres pour arriver à telles conclusions ce qui lui a permis je suppose d'arriver aux mêmes conclusions dans des situations où aucun espace topologique (d'arrivée) n'existait?
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Comme poésie, ce n'est pas mal ce que tu racontes Christophe.;-)
Je pense que Grothendieck a vu que pour avoir accès aux faisceaux et à tout l'attirail cohomologique qui va avec, la seule chose qui compte vraiment est la notion de recouvrement. Et en géométrie algébrique, pour avoir des propriétés d'inversion locale on ne peut pas se contenter de recouvrir par des ouverts (de Zariski) ; d'où la topologie étale.
Merci beaucoup! J'espère retrouver une disponibilité (peut-être pendant les vacances) pour aller relire ton pdf en me concentrant sur la partie "espaces étales".
Je vais ouvrir un fil et témoigner de la manière la plus concise possible, mais sans rien laisser dans l'implicite, de ce que je sais des topos, des catégories et en partie du forcing, avec comparaisons. Je l'appellerai forcing vs topos.
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je réponds un peu tardivement aux messages me concernant.
En fait, je me concentre surtout sur le point 0 de ton premier message dans lequel tu affirmes que les topos ont une mauvaise approche des maths qui est , au mieux, utile pour des applications liées à la géométrie algébrique.
Pourrais-tu étayer ce propos ? Peut-être que tu le fais après, j'ai lu rapidement et n'en ai pas extrait la substantifique moelle. Il me semble juste que l'inventeur des topos, Grothendieck, considérait au contraire que c'est ce qu'il avait crée de plus profond. Il semble s'être plaint de ce que ses élèves ne l'aient pas compris, et aient trahi l'esprit de son travail (cf sa critique de la preuve par Deligne des cohomologies de Weil, à qui il reproche d'avoir réalisé un tour de force, sans poursuivre dans la voie qu'il avait tracée). Il peut donc être intéressant de comprendre pourquoi ce sont les logiciens qui se sont emparés de la notion de topos, et ce qu'ils comptaient faire avec. Il faudrait comprendre aussi pourquoi, après des débuts "pétaradants", tout s'est brutalement arrêté à la fin des années 70. Comment expliquer alors l'enthousiasme qui préside à leur retour actuellement . Est-ce vraiment juste une volonté politique qui fait que, à peu près 25 plus tard, les gens aient tout d'un coup de nouveau envie de se retourner vers cette création qu'ils avaient délaissée, en espérant y trouver la solution à tous leurs problèmes ?
Tu as un point de vue de logicien. De ce que je peux voir, ce sont les logiciens qui ont développé la notion de topos, puis l'ont délaissée, et ce sont maintenant les mathématiciens qui cherchent à s'en emparer.
Je n'ai que quelques minutes, je te réponds très très succinctement pour ne pas te laisser dans l'attente.
Un topos est aux maths (ie à un univers ensembliste) ce que les plans non arguésiens sont à la géométrie projective.
Cela provient de ce que quand on prend les choses à la base et qu'on "met tout ce qui est possible", on peut prouver que la logique est classique (ou ne contient pas l'intuitionniste). Autrement dit, pour obtenir une logique intuitionniste non classique, il faut "tordre sacrément le bras" au réel.
Ca n'enlève rien à la difficulté de les étudier ou à leur profondeur pour autant, voire même, apparaissant au détour d'un sentier escarpé avec plein d'herbes ça en rajoute probablement.
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Une question en passant sur ce qui a été demandé autour des faisceaux et des préfaisceaux. Tout cela me fait penser au principe du prolongement analytique en analyse complexe.
L'invention des faisceaux et préfaisceaux est donc de généraliser en quelque sorte ce principe du prolongement analytique, en essayant de comprendre la nature des obstructions.
Il me semble qu'au début des années 50, le développement de la géométrie algébrique s'est appuyé sur la géométrie analytique complexe.
Est-ce que quelqu'un peut confirmer ou préciser ?
Merci.
Une autre analogie en passant : la notion d'espace étalé telle qu'elle est exprimée dans le document de GaBuZoMeu fait beaucoup penser aux espaces fibrés, fibrés vectoriels,... Je me demande jusqu'où peut être valable l'analogie avec la géométrie différentielle.
L'invention des faisceaux et préfaisceaux est donc de généraliser en quelque sorte ce principe du prolongement analytique, en essayant de comprendre la nature des obstructions.
Ça me semble un peu vite dit, et pas très exact.Les faisceaux de fonctions différentiables, par exemple, n'ont rien à voir avec le prolongement analytique.
Pour ce qui est des rapports géométrie analytique/géométrie algébrique, la notion par exemple de faisceau cohérent est d'abord apparue en géométrie analytique avant de passer au domaine de la géométrie algébrique. Voir à ce sujet l'article de référence de Serre. On pourra noter que dans cet article, les faisceaux sont d'abord définis comme espaces étalés.
Merci GaBuZoMeu pour cette précision.
Ta réponse engendre deux questions chez moi : 1) Est-ce qu'il n'existe pas une recherche qui consiste à comprendre de manière générale quand une situation locale se propage ? J'ai déjà entendu parler d'un principe local-global, je vais regarder si ça a un rapport avec ma question.
2) La notion de faisceau ne participe-t-elle pas du mouvement consistant à transférer les méthodes de la géométrie différentielle à la géométrie algébrique ? J'ai souvent entendu qu'une des préoccupations majeures de Grothendieck était de comprendre ce qu'était un espace.
Apparemment, j'ai l'impression que tout tourne autour de l'axiome d'extensionnalité qui définit l'égalité pour des ensembles. Tu sembles dire que c'est le problème fondamental, d'autant plus qu'on peut prouver que l'extensionnalité ne sera jamais donnée. Je ne vois pas très bien ce que veut dire la fin de cette phrase, mais je la comprends comme : l'égalité de deux choses est une décision arbitraire. Et ce problème ne disparaît pas dans la théorie des topos, car que l'on prenne un truc T nommé {vrai ; faux} ou une algèbre de Heyting, on établit toujours une flèche pour laquelle il faudra savoir répondre à la question : quand est-ce que deux flèches sont égales ?
J'aimerais bien comprendre ce que tu dis autour du forcing et de l'axiome d'extensionnalité, en assimilant les topos à une sorte de forcing.
Ta conclusion renvoie l'idée que ce sont des considérations pratiques (dépendant de ce que l'on veut faire) qui président au choix du topos. Pour ma part, je verrais plutôt ça comme un argument positif : pourquoi imposer le même crible de vérité à toutes les situations mathématiques ? Je ne vois pas d'inconvénient à ce que la situation mathématique impose une grille de vérité.
Pour ton exercice, j'ai une réponse toute bête : puisque tu dis qu'un ensemble est une flèche, on peut représenter truc par f : A
B et machin par g : C
D. Dire que machin est dans truc revient alors à construire une flèche de g vers f. En termes catégoriques, on a un foncteur F tel que F(C) = A, F(D) = B et F(g) = f.
Je te laisse commenter cette réponse et la corriger.
Je te remercie pour ta réponse rapide christophe c. Je suis impatient d'en savoir plus au sujet de ce que tu indiques.
J'ai lu quelque part que la logique catégorique s'est édifiée sur la base des mathématiques classiques. Les gens essaient de la développer dans le cadre intuitionniste, mais les choses ne sont apparemment pas finalisées, et il n'y a pas consensus. Cela aura sûrement une incidence sur les topos.
Enfin, je ne vois pas ce que tu appelles le "réel". La relativité restreinte et surtout la mécanique quantique sont très éloignées de nos habitudes mentales. Cela n'aurait rien de gênant de construire une logique qui soit très éloignée de nos modes habituels de raisonnement si elle permet de démontrer de nouveaux théorèmes mathématiques. Mais j'attends que tu explicites ton propos avant d'en dire plus.
Désolé, je vais encore être un peu parcellaire car je suis fatigué par mes journées (on vient de me découvrir une maladie incurable du foie en analysant ... mon dos :-D )
Je me concentre sur une seule chose, c'est à dire ma phrase "les topos sont des plans non arguesiens). Je l'avais déjà raconté, mais j'essaie de recommencer vite fait. Il faut savoir que je dois à un intervenant pseudoté alesha cette découverte. Sans lui, je n'aurais rien vu. Un jour il m'a fait remarquer que
$$(a=b) \multimap ((a=b)\otimes (a=b))$$
et ça a tout débloqué chez moi (enfin j'ai "réalisé et mis des mots" sur les doutes qui jusque là gratouillaient mon subconscient)
A la base de chez base de base, on a juste des égalités de phrases obtenues en permutant les hypothèses. Il semble difficile de monter plus en amont.
Il a été découvert que:
la logique intuitionniste s'obtient juste en particularisant (enfin en s'intéressant à "certaines" phrases typiques de la forme "avec autant de A (y compris 0) queje veux je peux obtenir UN B")
Si tu veux, ça, dans la métaphore, c'est le théorème de Désargue
Or il SE TROUVE que permuter et pouvoir jeter des hypothèses SUFFIT, dès lors que tu es dans un cadre ensembliste "honnête" *** à donner LA TOTALITE DE LA LOGIQUE CLASSIQUE
Question: comment font les topos pour donner une illusion ensembliste qui réussit l'impossible exploit de faire de l'intuitionnisme SANS forcer le classique?
Réponse: ils sortent du cadre où on peut appliquer le théorème précédent. Voilà, c'est tout, c'est une Lapalissade.
Comment et à quel endroit en sortent-ils? Et bé, c'était un de mes projets de vacances de trouver EXACTEMENT OU mais comment dire... j'ai pris un peu de retard on va dire :-D
*** où les deux joueurs qui s'opposent ont les mêmes droits
Je te réponds sur le forcing. Son avantage est que sa définition est très facile et que ça n'a rien à voir avec la machinerie catégorielle.
Soit $T$ une topologie. Je note $\sigma(a,b)$ la réunion des éléments $x$ de $T$ tels que $(a,x)\in b$.
Et bien tu peux considérer $\sigma(a,b)$ comme LA VALEUR DE VERITE de la phrase "l'ensemble dont un nom est $a$ dans mon $T$-univers virtuel appartient à l'ensemble dont un nom est $b$".
En partant des phrase atomiques, tu as en fait une possibilité d'affecter une valeur à toutes les phrases via:
$\forall xR(x):=$ intérieur de l'intersection des valeurs des $R(a)$ quand $a$ parcourt l'univers
$A\to B:=$ réunion des ouverts dont l'intersection avec $A$ est inclus dans $B$
Tout ça, ça vérifie LA TOTALITE DE ZFC et plus (par exemple ça préserve les grands cardinaux) sauf ... l'extensionalité. Il est évident qu'il y a un problème avec l'extensionalité.
Comment Cohen a eu sa médaille Field?
Et bien :
1/ il a choisi une certaine topologie (précisément $\R^k$ avec $k$ très grand et infini)
2/ il a décidé de zapper tous les $int(adh(U)) \setminus U$. Ce qui l'a situé en logique classique ((int(adh(U)) n'est rien d'autre que non(non(U)))
En outre il s'est intéressé à un truc extensionnel (c'est la partie méprisée mais "difficile" du forcing), et pour ça a eu recours à un ensemble générique magique (c'est un ensemble qui intersecte tous les denses TOUT EN ETANT FILTRANT, il ne peut donc pas, en général, être dans l'univers). On peut faire sans, mais c'est une chierie
Relation avec les topos?
Et bien si j'étais menteur je dirais "conflictuelle". N'étant pas menteur, je te dirais que je "sais et sens" le conflit mais ne l'ai jamais vraiment situé avec précision pour cause de ... manque d'expertise personnel. Je sais juste que A.Prouté dans son cours (et dans ses discours :-D ) déclare haut et fort que l'extensionalité est gratuite dans le paradigme toposique alors qu'elle est le truc le plus couteux du monde en forcing (à noter QU'EN PLUS on la récupère par bonne fondation, mais bonjour comment ce serait pénible de la récupérer sans inspiration (le générique) pour les univers mal fondés)
Voili voilà, tu sais tout.
Maintenant si ça te plait d'étudier les topos, préviens-moi pile poil au moment où tu feras l'exo de A.Prouté (son cours est en ligne et ne parle quasiment que de topos, mais il est volumineux) disant que l'extensionalité est gratuite. A ce moment je te lirai est t'aiderai à préciser (et m'aiderait en passant :-D ) la différence avec le forcing canal historique.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
je te remercie pour ton long message que je lirais attentivement plus tard.
J'espère juste que l'on ne t'a pas diagnostiqué quelque chose de grave...
Bon courage.
Pardon pour le délai: je ne sais pas c'est juste une stéatose découverte à l'échographie. Franchement, je m'en fiche**, je me suis mis au lipides non saturés et au non sucres, c'est tout. (Bon c'est chiant, mais y a des bonnes choses)
** pour l'illustrer, je ne suis même pas retourné voir mon généraliste (un peu cher) pour approfondir (l'écho ne dit pas la gravité, juste ça dit que "ça se voit à lécho donc ça se voit quoi", c'est déjà du probable bon confit si je donne mon corps à Labeyrie :-D )
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pour ton exercice, j'ai une réponse toute bête : puisque tu dis qu'un ensemble est une flèche, on peut représenter truc par f : A
B et machin par g : C
D. Dire que machin est dans truc revient alors à construire une flèche de g vers f. En termes catégoriques, on a un foncteur F tel que F(C) = A, F(D) = B et F(g) = f.
Je te laisse commenter cette réponse et la corriger.
"Corriger" est un bien grand mot, et je n'ai pas relu l'énoncé de mon exercice. Par contre, je peux te dire ce que j'avais en tête, et j'insiste, sans parler de topos.
Comme je t'ai dit, on "peut" décider, dans n'importe quelle catégorie, qu'une flèche "représente" une partie de son but (le but de $f:A\to B$ est $B$ et sa source est $A$), l'implicite étant qu'elle "représente son image directe" car on fait "comme si" elle était une fonction.
A l'évidence si $f:A\to A$ et $g:B\to A$, on aura ainsi fabriqué un droit de dire qu'il est évident que $f\circ g$ est une partie de $f$. Mais c'est un peu contraignant par le fait que ($source(f)=but(f)$), d'une part et non réciproque d'autre part.
Un moyen qui semble capturer plus de situations est le suivant:
1/ tu as un "ensemble e" qui est une partie de $B$ avec une flèche $f:A\to B$
2/ tu t'intéresses aux flèches $b:B\to C$ "constantes" sur $e$ et pour ce dire, tu dis qu'il existe une flèche $c: 1\to C$ telle que $g\circ f = c\circ (Unique(A\to 1))$
3/ Si alors tu as une autre flèche $f': A'\to B$, représantant un ensemble $e'$ (il n'y a pas de prime sur le "B", contrainte catégorielle), je pense que tu deviens comment tu vas pouvoir dire que $e\subset e'$ en langage catégorielle, ie que tu sauras traduire "toute fonction constante sur $e'$ est constante sur $e$.
Même sans revoir l'énoncé d'exercice que je t'ai donné, voilà en tout cas aux "petites joies d'école d'interprète" auxquelles je souhaitais te sensibiliser.
Je précise bien que je n'utilise rien de culturelle (j'ai bien étudié le pdf de A.Prouté, mais l'ai en grande partie oublié), de plus, j'ai toujours fait un relatif blocage maugréant face aux exposés écrits (voir verbaux) de catégoriciens.
Je me rappelle "avoir souffert" devant le temps pris pour trouver une définition de "carré cartésien, pullback, etc", car les exposés ne racontent absolument jamais (voir n'y pensent pas car peut-être se sont-ils nourris à l'algèbre plutôt qu'à "cet art de l'interprétariat" dont je viens de te donne un cliché) "ce qu'ils cherchent" à obtenir avec les mille et uns mots de vocabulaire ultra-mondains.
Du ce fait, banalement, je te conseille des choses issues de ma propres expérience personnelle qui ne sont pas forcément pertinents. Je désapprouve personnellement les définitions de topos trouvées sur internet où on parle de pullback, de carrés cartésiens, etc, mais en même temps (tchip, macronisme) je suis habitué à la tendance un peu compulsive au cryptage éjectant des communautés de spécialistes, qui commencent dès l'enseignement secondaire et qui sont hélas vouées, même pas forcément consciemment à cacher la facilité des choses (par exemple, en ES et STMG, on a renommé "coefficient multiplicateur" au bac le nombre par lequel multiplier u pour obtenir v, pour éviter que les journalistes, se fassent une petite opération moquerie en signalant qu'on demande une définition de CE2 au bac.
Bin là, bien que la motivation soit plus inconsciente, voire que je me trompe tout bêtement, on est sur des mécanismes un peu similaire "la plus petite fonction constante sur" est devenu un mot savant (carré cartésien), etc.
De ce ressenti de ma part émanait aussi que je te conseillais d'en faire une partie toi-même.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je réponds à christophe c pour éviter que le retard ne devienne trop grand.
J'ai beaucoup de mal à comprendre tes posts, et sans doute me faudra-t-il encore du temps avant de pouvoir en tirer quelque chose. Je te remercie n tout cas chaleureusement pour la générosité que tu as mise à les écrire.
Permets moi cependant de te livrer une impression d'ensemble, malgré mon ignorance et mon statut de néophyte.
Je pense que tu te focalises trop sur la théorie des ensembles. Celle-ci formant une catégorie, on peut se dire que toutes les catégories cherchent à mimer ce qu'il se passe avec les ensembles. Les subjectivités dont tu parles sont donc celles qui ont présidé au moyen de généraliser les constructions de la théorie des ensembles, afin que celle-ci en devienne un cas particulier. C'est pourquoi il me semble important, contrairement à toi, de connaître le langage spécifique des catégories, car elles nomment des opérations spécifiques qui ont une interprétation particulière dans les ensembles.
Je n'ai toujours pas une bonne compréhension de ce qu'est une syntaxe et une sémantique, mais j'ai l'impression que tout ce langage autour des flèches constituent une syntaxe qui trouve des interprétations dans diverses catégories.
Ce que je n'ai pas compris non plus, c'est ce que l'on entend par logique interne d'une catégorie. Il semblerait que les topos se construisent dans le cadre de ZFC, élargi avec les univers de Grothendieck, alors que leur logique interne serait constructive.
Ce qui veut dire que le fait de vouloir mimer les opérations de la théorie des ensembles fait que les topos ne sont pas constructifs, mais que leur logique interne l'est par contre. Pour se débarrasser de la tutelle de ZFC, il faudrait donc réviser la conception des topos. Mais apparemment c'est très compliqué, et encore inachevé...
Donc, même si tu n'as pas tort de chercher une interprétation "intuitive" dans la théorie des ensembles, je pense que le mode de pensée des catégories est quand même spécifique, et qu'il a besoin pour cela d'un langage adéquat.
Il faut revenir à la définition de $f_x$ : $f_x(s_x)$ est défini comme le germe de $f(s)$ où $s$ est toute section locale qui a $s_x$ comme germe.
Donc si $f_x(s_x) = f_x(t_x)$, il existe des sections locales $s,t$ dont les germes sont $s_x,t_x$, et telles que le germe de $f(s)$ est égal à celui de $f(t)$.
Mais dire que leurs germes sont égaux, c'est dire que sur un ouvert contenant $x$, on a $f(s)=f(t)$ (où je ne note pas les restrictions, mais je devrais). Mais sur cet ouvert, $f$ est injective, donc $s=t$ sur cet ouvert. Mais alors en prenant les germes, $s_x= t_x$
j'ai réfléchi de nouveau à la démonstration fournie par Maxtimax, car en fait elle n'était pas claire pour moi (pourquoi fx(sx) était-il le germe de f(s) ?). J'ai été amené à retravailler les 6 premières pages du pdf de GaBuZoMeu, et je me suis rendu compte que je ne les avais pas réellement comprises. Je ne comprenais pas pourquoi un morphisme de faisceaux devait respecter les fibres. Il devait y avoir un passage à la limite. En fait, ce n'est pas explicitement écrit dans les notes, mais le morphisme de faisceaux f est tel que les passages à la limite inductive sont respectés, ce qui fait que cela donne une application fx entre fibres, pour x dans U. A ce moment là, on peut écrire que fx(sx) = f(sx). L'égalité fx(sx) = fx(tx) entaîne donc f(sx) = f(tx). Il existe donc des sections locales s et t de F en U telles que f(s) et f(t) soient deux sections locales de G en U et qui ont le même germe en x, et après on déroule...
Enfin, si ce que j'ai dit plus haut est juste, il y a encore quelque chose que je n'ai pas compris. Il existe des préfaisceaux qui ne sont pas des faisceaux. Mais apparemment, n'importe quel préfaisceau donne un espace étalé qui est isomorphe à un faisceau. Où est l'erreur ?
Je viens de penser à une "solution" possible. Si je n'ai pas mal compris le problème, cela reviendrait à dire que les limites inductives n'existent pas toujours. Lorsque c'est le cas, on peut construire un espace étalé à partir d'un préfaisceau, espace étalé qui est équivalent à un faisceau. Ai-je bien compris ?
Si tu as un morphisme de (pré)faisceaux $f:F\to G$, alors il induit un morphisme sur la colimite (donc sur le germe) en utilisant simplement les propriétés universelles de la colimite. Décrit concrètement, ce morphisme sur les germes est le suivant : si $s_x \in F_x$, alors $s_x$ est le germe d'un $s\in F(U), x\in U$. On définit alors $f_x(s_x) := f(s)_x$, et on vérifie que ça ne dépend pas du choix de $s$ ni de $U$ (car si $s_x = t_x$, alors $s=t$ sur un ouvert $W$ contenant $x$ donc $f(s)= f(t)$ sur ce même ouvert, donc $f(s)_x = f(t)_x$)
Donc $f_x(s_x)$ est le germe de $f(s)$ par définition
Ensuite, pourquoi y aurait-il une erreur ? Préfaisceau donne espace étale donne faisceau. Mais rien ne te dit que le faisceau d'arrivée est le préfaisceau de départ : c'est le cas si tu partais d'un faisceau (et la preuve utilise bien le fait que tu pars d'un faisceau). En fait le faisceau que tu obtiens en partant d'un préfaisceau, en construisant l'espace étale, puis en prenant le faisceau des sections de l'espace étale est la "faisceautisation" (sheafification) du préfaisceau de départ.
Les limites inductives (mieux appelées colimites) existent toujours dans les ensembles, les groupes, les anneaux etc. Il y a des catégories dans lesquelles elles n'existent pas, mais je ne crois pas qu'on s'intéresse à celles-là quand on fait des faisceaux
@ignatus. Je réponds de mon téléphone à un post ancien (enfin quelques jours). Ce n'est pas moi qui ai décidé d'avoir des topos donc des trucs que tu accusés d'être trop proche de l'ensemblisme. C'est un THEOREME dont je suis bien le dernier à faire la pub qui dit que si C,D sont des catégories la catégorie E:= C^D choppe bcp de propriétés de C. En particulier si C EST un topos assez gros devant D alors E est un topos.
C'est "une aubaine" donnée GRATUITEMENT par la nature et non une décision. De plus sache que ce qui est vraiment important c'est que ce soit un CCC (cartésienne fermée), c'est ça qui opère. Le côté "topos" est plus "cerise sur le gâteau" disons.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@christophe c : Je viens de lire ton message ci-dessus. Désolé pour tous les messages auxquels je n'ai pas encore répondus, mais je ne t'ai pas oublié et je ne me déroberai pas...
Seulement, ton dernier post m'intrigue beaucoup. Pourrais-tu le développer un peu plus ?
Je te disais juste, par exemple que si tu prends l'univers $V$ et une catégorie $C$ (petite) alors la catégorie des foncteurs de $C$ dans $V$ (avec les transformations naturelles comme flèches) est un topos. (C'est le topos des préfaisceaux sur $C$).
Ils semblent moins appréciés que celui des faisceaux (où on n'accepte comme foncteurs que certains ayant telles et telles propriétés).
Tu as donc bcp de topos.
La différence (aux limites près, je ne suis pas expert) entre CCC et topos est très petite en termes d'utilité. Dans un topos, en gros tu fais passer un truc de droite à gauche (ie tu as une image directe $f: A\to B$ de $f$ et tu en fais une flèche $B\to Machin$ (dit proprement, "fonction caractéristique de l'image directe de $A$ par $f$" )), ie ton $B$ est passé de droite à gauche. Mais les CCC, en dehors qu'elles te forcent à taffer "à gauche" ne sont pas tellement moins riches techniquement parlant.
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J'en profite avant de me délog, pour te préciser une erreur à ne pas faire (et que j'ai faite, donc je ne comprenais rien au début et les gens précisent peu ça):
il faut voir le topos ENS, non pas comme les ensembles et les applications entre eux, mais comme les cardinaux (ie les ordinaux tels que blabla) et les applications entre eux.
Ca t'évitera de prendre un objet de ENS pour un ensemble. C'est juste un numéro. Ce sont les flèches qui sont les ensembles.
De la sorte, tu ne perdras pas ton temps à tenter de trouver comment dire que truc est dans machin pour des cardinaux (ce qui n'est pas une relation folichonne au premier ordre, c'est juste un ordre (total si axiome du choix))
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Bon, j'ai finalement changé d'avis. Je pense que je vais étudier les quelques documents que j'ai pu glaner, et ne poser que des questions précises à ce sujet.
La discussion avec christophe c a eu ceci d'intéressant qu'il a beaucoup insisté sur la proximité avec les ensembles. Je pense qu'il a raison, et donc il faudrait comprendre ce qu'apportent les topos, notamment les topos de Grothendieck, et donc, s'intéresser aux applications pour évaluer dans quelle mesure, malgré l'intuition ensembliste sur laquelle ils se basent, ils apportent un éclairage qui ne serait pas possible autrement. C'est apparemment l'idée d'Olivia Caramello, qui utilise les topos comme topos classifiant d'une théorie géométrique, ce qui permet des transferts de propriété possiblement non banals entre théories Morita-équivalentes. D'où la vision des topos comme unification, et non pas fondement.
J'ai souvent répondu et j'ai même ouvert un fil exprès il y a quelques dizaines de mois. Le BUT final serait d'avoir toute la science de façon associative (ie à partir d'un seul opérateur primitif qui vérifierait l'associativité (ou de manière équivalente d'une relation primitive binaire qui est transitive (ie un preordre).
Mais c'est le but. Comme toute loi associative revient à prendre \circ (resp tout ordre à prendre subset) l'avantage des flèches est évident.
Mais ce but n'est pas encore atteint loin de la. Pour l'heure, on cache pudiquement
{x} mapsto x
derrière des discours ontologiques (non associatifs en plus :-D ) et ça "motivé" le combat. Mais crier "on va gagner" avant un match et mettre de beaux penalty à l'entraînement ...
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Réponses
Donc, en toute généralité, si on n'amalgame pas sur ce que l'on appelle l'intersection, mais sur un objet Z, on force en quelque sorte, la réunion de A et B a avoir Z comme intersection. Et si l'on parle d'union disjointe au départ, c'est que cette fois-ci les objets A et B ne sont pas forcément des sous-objets d'un objet.
ignatus.
[large]0/[/large] L'important est de t'amuser. Bien entendu, il y a une sorte de "parcours tout droit" consistant à suivre les ancêtres qui va te mener à "ce qu'ils avaient envie de faire des topos"
Mais en dehors de gens très acharné, je ne crois pas que ce soit très conseillable pour comprendre tout ça.
La raison est que les topos ont une "mauvaise approche" des maths comme les plans non arguésiens ont une mauvaise approche de la géométrie classique. (Je te mettrai un lien où j'ai détaillé ça).
Il "se trouve" qu'on a l'impression qu'avec un topos on a un peu l'impression de faire le truc super-ultra-à la mode consistant à remplacer $\{faux; vrai\}$ par une algèbre de Heyting. Autrement dit, qu'on a l'impression de faire du forcing. Mais en fait il n'en est rien.
Les topos sont une troisième voie adaptée en fait à un certain nombre d'applications mathématiques qui vont plutôt être colorées géométrie algébrique.
Du coup le fait "d'aller s'amuser" à calculer des valeurs de vérité d'énoncés dedans relève de la simple (à l'heure actuelle) volonté politique. On y arrive parfaitement, certes, mais on l'a voulu, et ça s'est développé.
Dans une catégorie cartésienne fermée (ayant des produits cartésiens et des exponentielles), tu as déjà toutes les définitions qui marchent modulo l'ajout d'axiomes primitifs.
Et partant d'une catégorie, tu as déjà le choix entre jouer avec "des vrais ensembles" (ou plutôt de vrais noms d'ensembles), ou jouer avec des "ensembles flous". C'est la "volonté politique" qui va faire par exemple choisir la deuxième option et trouver le dénominateur commun entre les 2 qui va justifier a posteriori la fascination qu'ils exercent.
[large]1/[/large] Exemples de délires gratuits:
1.1/ Un ensemble (qui est une partie de $B$) est une flèche $f:A\to B$ (je les notes comme ça, c'est plus simple pour moi en latex)
1.2/ Un élément de $B$ est une flèche de la forme $g: 1\to B$
1.3/ tu peux abréger par $<<g$ est dans $f>>$ la phrase $<<$ il existe une flèche $h:1\to A$ telle que $g=f\circ h$
1.4/ Tu te retrouves ainsi avec une notion d'appartenance.
[large]2/[/large]
2.1/ Pourquoi l'exemple précédent n'est pas sexy?
2.2/ Pour deux raisons:
2.2.1/ Parce que les deux objets n'ont pas le même statut, l'un est un "élément" et l'autre est un "ensemble"
2.2.2/ On n'a pas le plaisir de dire que l'appartenance de $g$ à $f$ a une valeur de vérité quantique qui serait intermédiaire entre le faux et le vrai
2.3/ Voilà, il ne faut pas négliger l'affectif.
3/ Qu'en est-il de la réalité scientifique objective?
3.1/ Bin la réponse est très simple. On veut étudier dans le monde de tous les possibles, et les objets primitifs sont des ensembles non extensionnels, autrement dit des graphes orientés et simples.
3.2/ Disons que ça c'est l'instinct primordial.
3.3/ Il y a une "petite étape" de plus, qui fait passer des graphes aux ensembles et elle est donnée en maths axiomatisées par l'axiome d'extensionalité (admis très tôt implicitement dans le scolaire, comme tu le sais quand les profs parlent de LA FONCTION $x\mapsto 3x$ et non pas d'une des fonction $f$ telle que $\forall x: f(x)=3x$)
3.4/ Quand au niveau de la recherche, Cohen a découvert le forcing, il a "hélas" buté sur le fait que la grosse difficulté était l'extensionalité.
3.5/ On "peut prouver" que l'extensionalité ne sera jamais "donnée" et qu'elle est une admission platonicienne très puissante.
3.6/ Le paradigme toposique a pris une voie en quelque sorte "trichante" qui lui permet de préserver "gratuitement" l'extensionalité en payant des prix qu'il estime pas trop élevé par ailleurs. Mais ne fait, cette gratuité se sert de l'extensionalité initiale (ie vérifiée par l'univers où on est quand on fabrique le topos)
3.7/ C'est ce qui fait l'intérêt et à la fois la subjectivité du sujet.
3.8/ En résumé dire qu'une chose est un élément d'un autre chose est "rien" (ou triviale), mais les choses deviennent ultracomplexes quand il s'agit de dire qu'elles vont devoir êrte considérées comme EGALES dans l'aventure du labo qui va recevoir des crédits de recherche pour 3 ans pour les étudier.
[large]4/[/large]
4.1/ L'important n'est pas que tu reçoives l'information (ici le succédané d'intersection qui t'ont été fourni par wikipedia, etc), mais que tu la "justifies".
4.2/ Des articles resp de 1974 et 1980 ont déplié techniquement ce que je te dis là avec un style "bar du coin".
4.3/ Rigoureusement parlant un ensemble est déterminé par son graphe dans sa cloture transitive et donc "est" une relation binaire. Or dès lors que tu as un truc $T$ que tu as décidé d'appeler $\{vrai; faux\}$ et des produits cartésiens, tu as les graphes orientés dans la catégorie où tu travailles: c'est une flèche allant de $A\times A$ dans $T$ pour n'importe quel $A$ objet de ta catégorie.
4.4/ Et ce que je te dis ci-dessus (la difficulté de décider qui est égal à qui) se voit ici. Quand dire que deux flèches sont égales?
4.5/ Attention, là, je ne te parle pas spécialement de topos.
4.6/ Dans un topos la décision a été prise de considérer qu'un (nom de) ensemble est une flèche $f:A\to B$ où $f$ est un monomorphisme (le fait que ça n'enlève pas de généralité est un des 4731 petits lemmes du domaine "topos")
4.7/ Mais ces choses ne se devinent pas.
4.8/ Je te donne un autre exemple: un peu plus haut, Maxtimax te signale que $ou$ ainsi que $\exists$ sont nettement plus difficiles à définir. Et bien, idem, il use pour ça d'une subjectivité de connaisseur, car un gars comme toi qui PEUT RAISONNABLEMENT se dire que $\exists :=\neg \forall \neg$ et $a\ ou\ b := \neg (\neg a\ et\ \neg b)$ se sentira "perdu" dans ces choix non justifiés par des déductions mais par des "pragmatisme de ce que on veut en faire après".
4.9/ Pour ce qui est de l'intersection entre deux parties $f:X\to A$ et $g:Y\to A$ de $A$, sans aller voir wiki etc, tu peux à tout le moins te dire que c'est "le plus grand sous-ensemble de $A$ inclus à la fois dans $f$ et dans $g$".
4.10/ Mais exercice (beaucoup plus simple que ce que mes collègues t'ont proposé jusqu'ici): définis machin inclus dans truc
0/ Un objet final et un objet initial sont choisis (resp 1 et 0 )
1/ Un ensemble se représente par l'image directe d'une injection
2/ L'égalité sur $A$ est l'image directe dans $A^2$ de la fonction $x\in A\mapsto (x,x)\in A^2$
3/ Un vrai est choisi dans ... :-D l'ensemble des parties de :-D .... $1$
4/ (X et Y) := ((X,Y) = (vrai, vrai))
5/ Quand $R\subset A\times B$, la partie de $B$ formée par les éléments $b$ de $B$ tels que $\forall x\in A: (x,b)\in R$ est $\{b\in B\mid (x\mapsto R(x,b))$ est constante-vrai $\}$
6/ (X=>Y) := ((X et Y) = X)
7/ FauxPur := Tout := "tout est vrai" := $(\forall X: X)$
8/ (A ou B ) := $(\forall X$ si (A=>X) alors si (B=>X) alors $X)$
9/ $\exists x: R(x):= (\forall Y:($ si $(\forall x(R(x)$ =>$Y)$ alors $Y )$
Sans savoir ça, je ne vois pas comment tu pourrais arbitrer les subjectivités.
Sachant ça, tu ne devrais en principe pas avoir besoin de documents (même si j'ai lu que tu voulais les lire) dans un premier temps.
10/ Les topos sont les catégories cartésiennes fermées où on a réussi à donner un sens robuste et respectable à la notion d'image directe d'un monomophisme.
A partir de là, tu sais tout, tu as un chti taf de mise en technique et tu es paré pour étudier la documentation ultérieure (qui construit des topos).
J'ai été volontairement vague en disant
mais je m'aperçois de l'inutilité de ce vague.
1/ Quand tu as un monomorphisme $f:A\to B$. On veut parler de manière "directe" (avec jeu de mots) de l'image directe de $f$.
2/ Soit un troisième objet $C$ et $a:1\to C$ un "élément" de $C$.
3/ Tu as certaines flèches $g: B\to C$ qui ont la gentillesse de "contenir" l'image directe de $f$ au sens que $g\circ f = a \circ (A\to 1)$.
4/ Bin un topos, c'est une catégorie qui a la gentillesse de t'en donner qui sont "minimums".
5/ Alors là, j'ai pris $C$ quelconque, mais je te laisse deviner (puisque tu veux regarder la littérature) quel est LE $C$ choisi pour jouer à ce jeu.
6/ Cette (comment l'appeler) "réverberation?" est ce qui a fait jouir les spécialistes de ça.
7/ Un très probablement exercice d'excellent entrainement pour entrer dans le dur est de prouver qu'un fois que tu as ajouté ce pouvoir à une catégorie cartésienne fermée (qui en fait un topos), tu peux accéder PAR DEDUCTIONS à tout plein de choses "ensemblistes-like" sans rien ajouter de plus comme propriétés dans la définition du mot "topos". Voici un exemple d'exercice "typiquement probablement très chiant, mais enthousiasmant": soit $f:A\to B$ (non supposée être un monomorphisme), prouver qu'il existe un monomorphisme $h:C\to B$ qui a "la même image directe que $f$ dans $B$" (et accessoirement, traduire la phrase vague entre guillemets).
8/ Je vais te dire: quand tu auras fait les 2 exos de mes trois posts, + bien compris ces dits 3 posts, je peux te garantir que tu n'auras plus de problème autre que des questions techniques dont tu comprendras les réponses immédiatement quand un intervenant expert te les livrera.
Ces exposés s'adressaient à des logiciens.
Hélas, je ne parviens pas à interpréter la définition de GBZM dans ce cadre (les éléments d'un F(U), où U ouvert et F le préfaisceau ayant l'air d'être des fonctions) et maximax me l'avait donnée je crois aussi (enfin une version similaire), e j'avais eu du mal aussi.
Peut-être quelqu'un se connectera-t-il et me dira quels préfaisecaux sont des faiseceaux à partir du fait que les faisceaux sont les foncteurs que j'ai dit? Un immense merci par avance.
Je peux essayer de te répondre mais ça va être la même chose que la dernière fois : $F$ étant un préfaisceau, c'est un faisceau si et seulement si pour tout ouvert $U$, et tout recouvrement ouvert $(U_i)$, et toute famille $(s_i)$ avec $s_i\in F(U_i)$, si pour tout couple $(i,j), F_{ij}(s_i)= F_{ji}(s_j)$ où j'ai noté $F_{kl}$ l'application induite par $F$ de $F(U_k)$ vers $F(U_k\cap U_l)$ (il y a une anti-inclusion entre ces ouverts, donc une application induite par $F$), alors il existe un unique $s\in F(U)$ tel que pour tout $i$, $F_i(s) = s_i$, où j'ai noté $F_i$ l'application induite par $F$ de $F(U)$ vers $F(U_i)$ (même remarque : il y a une anti-inclusion donc une application induite par $F$)
Tu as l'impression qu'on parle de fonctions parce que par analogie, la flèche $F(U)\to F(V)$ induite par l'inclusion $V\subset U$ est souvent appelée "restriction de $U$ à $V$" et notée d'une manière qui rappelle ça (e.g. $s\mapsto s_{\mid V}$ ou encore $res_V^U$).
C'est justifié par le fait que tout faisceau est naturellement isomorphe à un faisceau de sections d'une application, donc à un faisceau de fonctions où les "restrictions" sont des vraies restrictions
$$ \xymatrix{ \mathcal F(U) \ar[r] & \prod_{i\in I}\mathcal F(U_i) \ar@<.5ex>[r] \ar@<-.5ex>[r]&\prod_{(i,j)\in I^2}\mathcal F(U_i\cap U_j)}$$
est bien un noyau (avec les flèches auxquelles tout le monde pense).
Autre façon de voir les choses, avec laquelle je commence mes notes : un faisceau sur un espace topologique $X$ est un homéomorphisme local $p : F \to X$. On lui associe un faisceau au sens précédent en posant, pour un ouvert $U$ de $X$, $\mathcal F (U) =$ l'ensemble des sections continues de $p$ sur $U$.
Je laisse Christophe voir comment on construit un homéomorphisme local de but $X$ à partir d'un faisceau comme expliqué par Maxtimax.
Un avantage de ce point de vue : un morphisme de faisceaux est une application continue qui fait commuter le triangle, un sous-faisceau du faisceau est simplement un ouvert de celui-ci, la fibre du faisceau $p:F\to X$ en un point $x\in X$ est $p^{-1}(x)$.
Je pense que j'avais "naturellement " PRÉJUGÉ une présence d'implicites et boudé. Tes quelques remarques sur "mes impressions" ont levé les blocages.
MERCI.
Bon maintenant évidemment il me faudra du temps pour ressentir "à quoi ça sert" comme disent les élèves mais disons que la def me semble déjà tout à fait intentionnelle et de bon aloi. On veut "de la cohérence" et tous les prefaisceaux ne le sont pas forcément.
Un faisceau semble parler d'un espace topologique virtuelle comme un ultrafiltre parle d'un élément virtuel.
Un faisceau donne accès à des noms de fonctions continues désirées et quelques relations entre elles (enfin entre les noms) de sorte qu'on ne puisse pas prouver qu'elles n'existent pas réellement.
Je crois que je deviné un peu ce que Grothendieck en a fait après. Il a remarqué que dans certained preuves ce sont ces propriétés qu'on utilisait et pas d'autres pour arriver à telles conclusions ce qui lui a permis je suppose d'arriver aux mêmes conclusions dans des situations où aucun espace topologique (d'arrivée) n'existait?
Je pense que Grothendieck a vu que pour avoir accès aux faisceaux et à tout l'attirail cohomologique qui va avec, la seule chose qui compte vraiment est la notion de recouvrement. Et en géométrie algébrique, pour avoir des propriétés d'inversion locale on ne peut pas se contenter de recouvrir par des ouverts (de Zariski) ; d'où la topologie étale.
Je vais ouvrir un fil et témoigner de la manière la plus concise possible, mais sans rien laisser dans l'implicite, de ce que je sais des topos, des catégories et en partie du forcing, avec comparaisons. Je l'appellerai forcing vs topos.
je réponds un peu tardivement aux messages me concernant.
En fait, je me concentre surtout sur le point 0 de ton premier message dans lequel tu affirmes que les topos ont une mauvaise approche des maths qui est , au mieux, utile pour des applications liées à la géométrie algébrique.
Pourrais-tu étayer ce propos ? Peut-être que tu le fais après, j'ai lu rapidement et n'en ai pas extrait la substantifique moelle. Il me semble juste que l'inventeur des topos, Grothendieck, considérait au contraire que c'est ce qu'il avait crée de plus profond. Il semble s'être plaint de ce que ses élèves ne l'aient pas compris, et aient trahi l'esprit de son travail (cf sa critique de la preuve par Deligne des cohomologies de Weil, à qui il reproche d'avoir réalisé un tour de force, sans poursuivre dans la voie qu'il avait tracée). Il peut donc être intéressant de comprendre pourquoi ce sont les logiciens qui se sont emparés de la notion de topos, et ce qu'ils comptaient faire avec. Il faudrait comprendre aussi pourquoi, après des débuts "pétaradants", tout s'est brutalement arrêté à la fin des années 70. Comment expliquer alors l'enthousiasme qui préside à leur retour actuellement . Est-ce vraiment juste une volonté politique qui fait que, à peu près 25 plus tard, les gens aient tout d'un coup de nouveau envie de se retourner vers cette création qu'ils avaient délaissée, en espérant y trouver la solution à tous leurs problèmes ?
Tu as un point de vue de logicien. De ce que je peux voir, ce sont les logiciens qui ont développé la notion de topos, puis l'ont délaissée, et ce sont maintenant les mathématiciens qui cherchent à s'en emparer.
ignatus.
Un topos est aux maths (ie à un univers ensembliste) ce que les plans non arguésiens sont à la géométrie projective.
Cela provient de ce que quand on prend les choses à la base et qu'on "met tout ce qui est possible", on peut prouver que la logique est classique (ou ne contient pas l'intuitionniste). Autrement dit, pour obtenir une logique intuitionniste non classique, il faut "tordre sacrément le bras" au réel.
Ca n'enlève rien à la difficulté de les étudier ou à leur profondeur pour autant, voire même, apparaissant au détour d'un sentier escarpé avec plein d'herbes ça en rajoute probablement.
L'invention des faisceaux et préfaisceaux est donc de généraliser en quelque sorte ce principe du prolongement analytique, en essayant de comprendre la nature des obstructions.
Il me semble qu'au début des années 50, le développement de la géométrie algébrique s'est appuyé sur la géométrie analytique complexe.
Est-ce que quelqu'un peut confirmer ou préciser ?
Merci.
ignatus.
ignatus.
Pour ce qui est des rapports géométrie analytique/géométrie algébrique, la notion par exemple de faisceau cohérent est d'abord apparue en géométrie analytique avant de passer au domaine de la géométrie algébrique. Voir à ce sujet l'article de référence de Serre. On pourra noter que dans cet article, les faisceaux sont d'abord définis comme espaces étalés.
Ta réponse engendre deux questions chez moi : 1) Est-ce qu'il n'existe pas une recherche qui consiste à comprendre de manière générale quand une situation locale se propage ? J'ai déjà entendu parler d'un principe local-global, je vais regarder si ça a un rapport avec ma question.
2) La notion de faisceau ne participe-t-elle pas du mouvement consistant à transférer les méthodes de la géométrie différentielle à la géométrie algébrique ? J'ai souvent entendu qu'une des préoccupations majeures de Grothendieck était de comprendre ce qu'était un espace.
Merci beaucoup pour la référence à Serre.
ignatus.
Apparemment, j'ai l'impression que tout tourne autour de l'axiome d'extensionnalité qui définit l'égalité pour des ensembles. Tu sembles dire que c'est le problème fondamental, d'autant plus qu'on peut prouver que l'extensionnalité ne sera jamais donnée. Je ne vois pas très bien ce que veut dire la fin de cette phrase, mais je la comprends comme : l'égalité de deux choses est une décision arbitraire. Et ce problème ne disparaît pas dans la théorie des topos, car que l'on prenne un truc T nommé {vrai ; faux} ou une algèbre de Heyting, on établit toujours une flèche pour laquelle il faudra savoir répondre à la question : quand est-ce que deux flèches sont égales ?
J'aimerais bien comprendre ce que tu dis autour du forcing et de l'axiome d'extensionnalité, en assimilant les topos à une sorte de forcing.
Ta conclusion renvoie l'idée que ce sont des considérations pratiques (dépendant de ce que l'on veut faire) qui président au choix du topos. Pour ma part, je verrais plutôt ça comme un argument positif : pourquoi imposer le même crible de vérité à toutes les situations mathématiques ? Je ne vois pas d'inconvénient à ce que la situation mathématique impose une grille de vérité.
Pour ton exercice, j'ai une réponse toute bête : puisque tu dis qu'un ensemble est une flèche, on peut représenter truc par f : A
B et machin par g : C
D. Dire que machin est dans truc revient alors à construire une flèche de g vers f. En termes catégoriques, on a un foncteur F tel que F(C) = A, F(D) = B et F(g) = f.
Je te laisse commenter cette réponse et la corriger.
ignatus.
Je te remercie pour ta réponse rapide christophe c. Je suis impatient d'en savoir plus au sujet de ce que tu indiques.
J'ai lu quelque part que la logique catégorique s'est édifiée sur la base des mathématiques classiques. Les gens essaient de la développer dans le cadre intuitionniste, mais les choses ne sont apparemment pas finalisées, et il n'y a pas consensus. Cela aura sûrement une incidence sur les topos.
Enfin, je ne vois pas ce que tu appelles le "réel". La relativité restreinte et surtout la mécanique quantique sont très éloignées de nos habitudes mentales. Cela n'aurait rien de gênant de construire une logique qui soit très éloignée de nos modes habituels de raisonnement si elle permet de démontrer de nouveaux théorèmes mathématiques. Mais j'attends que tu explicites ton propos avant d'en dire plus.
ignatus.
Je me concentre sur une seule chose, c'est à dire ma phrase "les topos sont des plans non arguesiens). Je l'avais déjà raconté, mais j'essaie de recommencer vite fait. Il faut savoir que je dois à un intervenant pseudoté alesha cette découverte. Sans lui, je n'aurais rien vu. Un jour il m'a fait remarquer que
$$(a=b) \multimap ((a=b)\otimes (a=b))$$
et ça a tout débloqué chez moi (enfin j'ai "réalisé et mis des mots" sur les doutes qui jusque là gratouillaient mon subconscient)
A la base de chez base de base, on a juste des égalités de phrases obtenues en permutant les hypothèses. Il semble difficile de monter plus en amont.
Il a été découvert que:
la logique intuitionniste s'obtient juste en particularisant (enfin en s'intéressant à "certaines" phrases typiques de la forme "avec autant de A (y compris 0) queje veux je peux obtenir UN B")
Si tu veux, ça, dans la métaphore, c'est le théorème de Désargue
Or il SE TROUVE que permuter et pouvoir jeter des hypothèses SUFFIT, dès lors que tu es dans un cadre ensembliste "honnête" *** à donner LA TOTALITE DE LA LOGIQUE CLASSIQUE
Question: comment font les topos pour donner une illusion ensembliste qui réussit l'impossible exploit de faire de l'intuitionnisme SANS forcer le classique?
Réponse: ils sortent du cadre où on peut appliquer le théorème précédent. Voilà, c'est tout, c'est une Lapalissade.
Comment et à quel endroit en sortent-ils? Et bé, c'était un de mes projets de vacances de trouver EXACTEMENT OU mais comment dire... j'ai pris un peu de retard on va dire :-D
*** où les deux joueurs qui s'opposent ont les mêmes droits
Je te réponds sur le forcing. Son avantage est que sa définition est très facile et que ça n'a rien à voir avec la machinerie catégorielle.
Soit $T$ une topologie. Je note $\sigma(a,b)$ la réunion des éléments $x$ de $T$ tels que $(a,x)\in b$.
Et bien tu peux considérer $\sigma(a,b)$ comme LA VALEUR DE VERITE de la phrase "l'ensemble dont un nom est $a$ dans mon $T$-univers virtuel appartient à l'ensemble dont un nom est $b$".
En partant des phrase atomiques, tu as en fait une possibilité d'affecter une valeur à toutes les phrases via:
$\forall xR(x):=$ intérieur de l'intersection des valeurs des $R(a)$ quand $a$ parcourt l'univers
$A\to B:=$ réunion des ouverts dont l'intersection avec $A$ est inclus dans $B$
Tout ça, ça vérifie LA TOTALITE DE ZFC et plus (par exemple ça préserve les grands cardinaux) sauf ... l'extensionalité. Il est évident qu'il y a un problème avec l'extensionalité.
Comment Cohen a eu sa médaille Field?
Et bien :
1/ il a choisi une certaine topologie (précisément $\R^k$ avec $k$ très grand et infini)
2/ il a décidé de zapper tous les $int(adh(U)) \setminus U$. Ce qui l'a situé en logique classique ((int(adh(U)) n'est rien d'autre que non(non(U)))
En outre il s'est intéressé à un truc extensionnel (c'est la partie méprisée mais "difficile" du forcing), et pour ça a eu recours à un ensemble générique magique (c'est un ensemble qui intersecte tous les denses TOUT EN ETANT FILTRANT, il ne peut donc pas, en général, être dans l'univers). On peut faire sans, mais c'est une chierie
Relation avec les topos?
Et bien si j'étais menteur je dirais "conflictuelle". N'étant pas menteur, je te dirais que je "sais et sens" le conflit mais ne l'ai jamais vraiment situé avec précision pour cause de ... manque d'expertise personnel. Je sais juste que A.Prouté dans son cours (et dans ses discours :-D ) déclare haut et fort que l'extensionalité est gratuite dans le paradigme toposique alors qu'elle est le truc le plus couteux du monde en forcing (à noter QU'EN PLUS on la récupère par bonne fondation, mais bonjour comment ce serait pénible de la récupérer sans inspiration (le générique) pour les univers mal fondés)
Voili voilà, tu sais tout.
Maintenant si ça te plait d'étudier les topos, préviens-moi pile poil au moment où tu feras l'exo de A.Prouté (son cours est en ligne et ne parle quasiment que de topos, mais il est volumineux) disant que l'extensionalité est gratuite. A ce moment je te lirai est t'aiderai à préciser (et m'aiderait en passant :-D ) la différence avec le forcing canal historique.
je te remercie pour ton long message que je lirais attentivement plus tard.
J'espère juste que l'on ne t'a pas diagnostiqué quelque chose de grave...
Bon courage.
ignatus.
** pour l'illustrer, je ne suis même pas retourné voir mon généraliste (un peu cher) pour approfondir (l'écho ne dit pas la gravité, juste ça dit que "ça se voit à lécho donc ça se voit quoi", c'est déjà du probable bon confit si je donne mon corps à Labeyrie :-D )
"Corriger" est un bien grand mot, et je n'ai pas relu l'énoncé de mon exercice. Par contre, je peux te dire ce que j'avais en tête, et j'insiste, sans parler de topos.
Comme je t'ai dit, on "peut" décider, dans n'importe quelle catégorie, qu'une flèche "représente" une partie de son but (le but de $f:A\to B$ est $B$ et sa source est $A$), l'implicite étant qu'elle "représente son image directe" car on fait "comme si" elle était une fonction.
A l'évidence si $f:A\to A$ et $g:B\to A$, on aura ainsi fabriqué un droit de dire qu'il est évident que $f\circ g$ est une partie de $f$. Mais c'est un peu contraignant par le fait que ($source(f)=but(f)$), d'une part et non réciproque d'autre part.
Un moyen qui semble capturer plus de situations est le suivant:
1/ tu as un "ensemble e" qui est une partie de $B$ avec une flèche $f:A\to B$
2/ tu t'intéresses aux flèches $b:B\to C$ "constantes" sur $e$ et pour ce dire, tu dis qu'il existe une flèche $c: 1\to C$ telle que $g\circ f = c\circ (Unique(A\to 1))$
3/ Si alors tu as une autre flèche $f': A'\to B$, représantant un ensemble $e'$ (il n'y a pas de prime sur le "B", contrainte catégorielle), je pense que tu deviens comment tu vas pouvoir dire que $e\subset e'$ en langage catégorielle, ie que tu sauras traduire "toute fonction constante sur $e'$ est constante sur $e$.
Même sans revoir l'énoncé d'exercice que je t'ai donné, voilà en tout cas aux "petites joies d'école d'interprète" auxquelles je souhaitais te sensibiliser.
Je précise bien que je n'utilise rien de culturelle (j'ai bien étudié le pdf de A.Prouté, mais l'ai en grande partie oublié), de plus, j'ai toujours fait un relatif blocage maugréant face aux exposés écrits (voir verbaux) de catégoriciens.
Je me rappelle "avoir souffert" devant le temps pris pour trouver une définition de "carré cartésien, pullback, etc", car les exposés ne racontent absolument jamais (voir n'y pensent pas car peut-être se sont-ils nourris à l'algèbre plutôt qu'à "cet art de l'interprétariat" dont je viens de te donne un cliché) "ce qu'ils cherchent" à obtenir avec les mille et uns mots de vocabulaire ultra-mondains.
Du ce fait, banalement, je te conseille des choses issues de ma propres expérience personnelle qui ne sont pas forcément pertinents. Je désapprouve personnellement les définitions de topos trouvées sur internet où on parle de pullback, de carrés cartésiens, etc, mais en même temps (tchip, macronisme) je suis habitué à la tendance un peu compulsive au cryptage éjectant des communautés de spécialistes, qui commencent dès l'enseignement secondaire et qui sont hélas vouées, même pas forcément consciemment à cacher la facilité des choses (par exemple, en ES et STMG, on a renommé "coefficient multiplicateur" au bac le nombre par lequel multiplier u pour obtenir v, pour éviter que les journalistes, se fassent une petite opération moquerie en signalant qu'on demande une définition de CE2 au bac.
Bin là, bien que la motivation soit plus inconsciente, voire que je me trompe tout bêtement, on est sur des mécanismes un peu similaire "la plus petite fonction constante sur" est devenu un mot savant (carré cartésien), etc.
De ce ressenti de ma part émanait aussi que je te conseillais d'en faire une partie toi-même.
J'ai beaucoup de mal à comprendre tes posts, et sans doute me faudra-t-il encore du temps avant de pouvoir en tirer quelque chose. Je te remercie n tout cas chaleureusement pour la générosité que tu as mise à les écrire.
Permets moi cependant de te livrer une impression d'ensemble, malgré mon ignorance et mon statut de néophyte.
Je pense que tu te focalises trop sur la théorie des ensembles. Celle-ci formant une catégorie, on peut se dire que toutes les catégories cherchent à mimer ce qu'il se passe avec les ensembles. Les subjectivités dont tu parles sont donc celles qui ont présidé au moyen de généraliser les constructions de la théorie des ensembles, afin que celle-ci en devienne un cas particulier. C'est pourquoi il me semble important, contrairement à toi, de connaître le langage spécifique des catégories, car elles nomment des opérations spécifiques qui ont une interprétation particulière dans les ensembles.
Je n'ai toujours pas une bonne compréhension de ce qu'est une syntaxe et une sémantique, mais j'ai l'impression que tout ce langage autour des flèches constituent une syntaxe qui trouve des interprétations dans diverses catégories.
Ce que je n'ai pas compris non plus, c'est ce que l'on entend par logique interne d'une catégorie. Il semblerait que les topos se construisent dans le cadre de ZFC, élargi avec les univers de Grothendieck, alors que leur logique interne serait constructive.
Ce qui veut dire que le fait de vouloir mimer les opérations de la théorie des ensembles fait que les topos ne sont pas constructifs, mais que leur logique interne l'est par contre. Pour se débarrasser de la tutelle de ZFC, il faudrait donc réviser la conception des topos. Mais apparemment c'est très compliqué, et encore inachevé...
Donc, même si tu n'as pas tort de chercher une interprétation "intuitive" dans la théorie des ensembles, je pense que le mode de pensée des catégories est quand même spécifique, et qu'il a besoin pour cela d'un langage adéquat.
ignatus.
je ne comprends pas la partie ii) entraîne iii) de la proposition située en page 9 du document de GaBuZoMeu.
Toute aide est la bienvenue.
Merci.
ignatus.
Donc si $f_x(s_x) = f_x(t_x)$, il existe des sections locales $s,t$ dont les germes sont $s_x,t_x$, et telles que le germe de $f(s)$ est égal à celui de $f(t)$.
Mais dire que leurs germes sont égaux, c'est dire que sur un ouvert contenant $x$, on a $f(s)=f(t)$ (où je ne note pas les restrictions, mais je devrais). Mais sur cet ouvert, $f$ est injective, donc $s=t$ sur cet ouvert. Mais alors en prenant les germes, $s_x= t_x$
ignatus.
j'ai réfléchi de nouveau à la démonstration fournie par Maxtimax, car en fait elle n'était pas claire pour moi (pourquoi fx(sx) était-il le germe de f(s) ?). J'ai été amené à retravailler les 6 premières pages du pdf de GaBuZoMeu, et je me suis rendu compte que je ne les avais pas réellement comprises. Je ne comprenais pas pourquoi un morphisme de faisceaux devait respecter les fibres. Il devait y avoir un passage à la limite. En fait, ce n'est pas explicitement écrit dans les notes, mais le morphisme de faisceaux f est tel que les passages à la limite inductive sont respectés, ce qui fait que cela donne une application fx entre fibres, pour x dans U. A ce moment là, on peut écrire que fx(sx) = f(sx). L'égalité fx(sx) = fx(tx) entaîne donc f(sx) = f(tx). Il existe donc des sections locales s et t de F en U telles que f(s) et f(t) soient deux sections locales de G en U et qui ont le même germe en x, et après on déroule...
Enfin, si ce que j'ai dit plus haut est juste, il y a encore quelque chose que je n'ai pas compris. Il existe des préfaisceaux qui ne sont pas des faisceaux. Mais apparemment, n'importe quel préfaisceau donne un espace étalé qui est isomorphe à un faisceau. Où est l'erreur ?
ignatus.
ignatus.
Si tu as un morphisme de (pré)faisceaux $f:F\to G$, alors il induit un morphisme sur la colimite (donc sur le germe) en utilisant simplement les propriétés universelles de la colimite. Décrit concrètement, ce morphisme sur les germes est le suivant : si $s_x \in F_x$, alors $s_x$ est le germe d'un $s\in F(U), x\in U$. On définit alors $f_x(s_x) := f(s)_x$, et on vérifie que ça ne dépend pas du choix de $s$ ni de $U$ (car si $s_x = t_x$, alors $s=t$ sur un ouvert $W$ contenant $x$ donc $f(s)= f(t)$ sur ce même ouvert, donc $f(s)_x = f(t)_x$)
Donc $f_x(s_x)$ est le germe de $f(s)$ par définition
Ensuite, pourquoi y aurait-il une erreur ? Préfaisceau donne espace étale donne faisceau. Mais rien ne te dit que le faisceau d'arrivée est le préfaisceau de départ : c'est le cas si tu partais d'un faisceau (et la preuve utilise bien le fait que tu pars d'un faisceau). En fait le faisceau que tu obtiens en partant d'un préfaisceau, en construisant l'espace étale, puis en prenant le faisceau des sections de l'espace étale est la "faisceautisation" (sheafification) du préfaisceau de départ.
Les limites inductives (mieux appelées colimites) existent toujours dans les ensembles, les groupes, les anneaux etc. Il y a des catégories dans lesquelles elles n'existent pas, mais je ne crois pas qu'on s'intéresse à celles-là quand on fait des faisceaux
Je crois que maintenant, c'est (vraiment) plus clair :-)
ignatus.
C'est "une aubaine" donnée GRATUITEMENT par la nature et non une décision. De plus sache que ce qui est vraiment important c'est que ce soit un CCC (cartésienne fermée), c'est ça qui opère. Le côté "topos" est plus "cerise sur le gâteau" disons.
Seulement, ton dernier post m'intrigue beaucoup. Pourrais-tu le développer un peu plus ?
En te remerciant,
ignatus.
Je te disais juste, par exemple que si tu prends l'univers $V$ et une catégorie $C$ (petite) alors la catégorie des foncteurs de $C$ dans $V$ (avec les transformations naturelles comme flèches) est un topos. (C'est le topos des préfaisceaux sur $C$).
Ils semblent moins appréciés que celui des faisceaux (où on n'accepte comme foncteurs que certains ayant telles et telles propriétés).
Tu as donc bcp de topos.
La différence (aux limites près, je ne suis pas expert) entre CCC et topos est très petite en termes d'utilité. Dans un topos, en gros tu fais passer un truc de droite à gauche (ie tu as une image directe $f: A\to B$ de $f$ et tu en fais une flèche $B\to Machin$ (dit proprement, "fonction caractéristique de l'image directe de $A$ par $f$" )), ie ton $B$ est passé de droite à gauche. Mais les CCC, en dehors qu'elles te forcent à taffer "à gauche" ne sont pas tellement moins riches techniquement parlant.
J'en profite avant de me délog, pour te préciser une erreur à ne pas faire (et que j'ai faite, donc je ne comprenais rien au début et les gens précisent peu ça):
il faut voir le topos ENS, non pas comme les ensembles et les applications entre eux, mais comme les cardinaux (ie les ordinaux tels que blabla) et les applications entre eux.
Ca t'évitera de prendre un objet de ENS pour un ensemble. C'est juste un numéro. Ce sont les flèches qui sont les ensembles.
De la sorte, tu ne perdras pas ton temps à tenter de trouver comment dire que truc est dans machin pour des cardinaux (ce qui n'est pas une relation folichonne au premier ordre, c'est juste un ordre (total si axiome du choix))
La discussion avec christophe c a eu ceci d'intéressant qu'il a beaucoup insisté sur la proximité avec les ensembles. Je pense qu'il a raison, et donc il faudrait comprendre ce qu'apportent les topos, notamment les topos de Grothendieck, et donc, s'intéresser aux applications pour évaluer dans quelle mesure, malgré l'intuition ensembliste sur laquelle ils se basent, ils apportent un éclairage qui ne serait pas possible autrement. C'est apparemment l'idée d'Olivia Caramello, qui utilise les topos comme topos classifiant d'une théorie géométrique, ce qui permet des transferts de propriété possiblement non banals entre théories Morita-équivalentes. D'où la vision des topos comme unification, et non pas fondement.
ignatus.
Mais c'est le but. Comme toute loi associative revient à prendre \circ (resp tout ordre à prendre subset) l'avantage des flèches est évident.
Mais ce but n'est pas encore atteint loin de la. Pour l'heure, on cache pudiquement
{x} mapsto x
derrière des discours ontologiques (non associatifs en plus :-D ) et ça "motivé" le combat. Mais crier "on va gagner" avant un match et mettre de beaux penalty à l'entraînement ...
je joins juste un lien qui me semble avoir sa place ici. Au cas où cela pourrait en intéresser quelques uns...
ignatus.