Image de l'intersection de deux parties
Bonjour, je n'arrive pas à démontrer que si $f$ n'est pas une injection alors $f(A)\cap f(B)\not\subset f(A\cap $
On peut trouver des contre-exemples mais je n'arrive à faire la démonstration sans contre-exemples.
Merci pour votre aide.
On peut trouver des contre-exemples mais je n'arrive à faire la démonstration sans contre-exemples.
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Réponses
Heureusement que tu n'y arrives pas! Si $f$ n'est pas une injection il existe de telles parties $A$ et $B$ mais ce n'est pas forcément vrai pour tout couple $(A,B)$.
Prends $f:\R\to \R$ définie par $f(x)=0$ si $x\leq 0$ et $f(x)=x$ si $x>0$. Regarde ce qui se passe pour $A=[0,1]$ et $B=[2,3].$
Si $f : E \to F$ n'est pas injective, il existe des parties A et B de E telles que $f(A)\cap f(B)\not\subset f(A\cap $
Preuve : f n'étant pas injectives, il existe deux éléments distincts a et b de E tels que f(a)=f(b). Prendre A={a} et B={b}.
Cordialement.
Je ne comprends pas ce que tu cherches, Comme gerard0 te l'a déjà dit, on ne peut pas démontrer une proposition fausse!
cherche un peu par toi-même maintenant que tu sais quelle est la bonne propriété. Des fonctions élémentaires non injectives, il y en a beaucoup.
Peut-on écrire ça ?
$y\in f(A)\cap f(B)\iff y\in f(A)\textit{ et } y\in f(B)$
Si $f$ est injective alors on peut supposer l'existence de deux éléments distincts $x$ et $x'$ appartenant respectivement à $A\textit{ et }B$ tels que $f(x)=f(x')\textit{ et } x\ne x'$ et $\lbrace x,x'\rbrace\not\subset\ A\cap B$ et $f\lbrace x,x'\rbrace\notin f(A\cap $
Enfin, tu peux supposer ce que tu veux, mais si tu pars d'une supposition fausse, tu ne pourras en tirer rien!
mais je ne comprends rien à ce que tu fais ...
Même si f est non injective, pour des parties A et B données, tu peux parfaitement avoir $f(A\cap =f(A)\cap f(B)$.
Et si tu veux avoir des $A$ et $B$ non disjoints, il te suffit de reprendre mon exemple en rajoutant un élément commun. Au lieu de chercher une "démonstration" illusoire.
Cordialement.
Bref, merci encore.
Je suis en train de faire un exercice sur f(E-A) et c'est plus difficile que A inter B.
Bonne soirée à tous.
[Les noms propres prennent toujours une majuscule. AD]
Soient $X,Y$ des ensembles et $f: X \to Y$ une application non injective. Alors la phrase "pour tous $A,B$ contenus dans $X$, $f(A) \cap f(B) \not \subseteq f(A \cap $" (1) est fausse (car contredite par le choix de $A=B=X$).
En revanche la phrase "il existe $A,B$ contenus dans $X$, $f(A) \cap f(B) \not \subseteq f(A \cap $" (2) est vraie (soient $p,q\in X$ tels que -non injectivité de $f$ - $f(p) =f(q)$ et $p\neq q$. Soient $A:=\{p\}$ et $B:=\{q\}$. Alors $A \cap B=\emptyset = f(A \cap $ et $f(A) \cap f(B)=f(A)=\{f(p)\} \neq \emptyset$).
(1) et (2) n'ont donc pas le même sens et sans quantification, l'énoncé "$f(A) \cap f(B) \not \subseteq f(A \cap $" est incompréhensible.
ces propriétés ne sont pas des propriétés fondamentales, et elles sont assez intuitives. Il n'est pas nécessaire, pour faire des maths, de connaître par cœur des centaines de milliers de "petites propriétés" (sinon, qui ferait des maths). Dans ce genre de cas, on se contente de se souvenir de l'inclusion et du fait que l'égalité, généralement, n'a pas lieu. Comme tu as travaillé sur le sujet, si tu as vraiment compris ce qui s'est passé, alors dans l'avenir, si tu retombes sur ce problème, tu auras des intuitions suffisantes pour te débrouiller.
Passe du temps sur les "gros théorèmes", ceux qu'on utilise très souvent, et qui, parfois, ne sont pas très intuitifs. Et laisse les résultats d'exercices d'apprentissage à leur place. Tu as déjà suffisamment de travail pour savoir mettre tous les quantificateurs à leur place sans l'aide des autres, f&ais-le sur les théorèmes importants, et au cours des exercices, tu auras déjà fortement progressé.
Cordialement
Bon dimanche