Image de l'intersection de deux parties

Dans mon exemple, prends [0,1] et [1,2].

Je ne comprends pas ce que tu cherches, Comme gerard0 te l'a déjà dit, on ne peut pas démontrer une proposition fausse!

Non, si $f$ est injective, tu ne peux certainement pas supposer l'existence de $x$ et $x'$ tels que $(x)=f(x')$ et $x\neq x'$.

Enfin, tu peux supposer ce que tu veux, mais si tu pars d'une supposition fausse, tu ne pourras en tirer rien!

Certes! ;-) (je voulais dire rien d'intéressant!)

Désolé, Rafykan,

mais je ne comprends rien à ce que tu fais ...

Même si f est non injective, pour des parties A et B données, tu peux parfaitement avoir $f(A\cap =f(A)\cap f(B)$.
Et si tu veux avoir des $A$ et $B$ non disjoints, il te suffit de reprendre mon exemple en rajoutant un élément commun. Au lieu de chercher une "démonstration" illusoire.

Cordialement.

@rafykfan: tu dois absolument déclarer ou quantifier toutes les lettres apparaissant dans ton énoncé: si cet énoncé ne parle que de la fonction $f$, que veut dire $f(A \cap \not \subseteq f(A) \cap f(B)$ ? Que désignent les lettres $A,B$?

Soient $X,Y$ des ensembles et $f: X \to Y$ une application non injective. Alors la phrase "pour tous $A,B$ contenus dans $X$, $f(A) \cap f(B) \not \subseteq f(A \cap $" (1) est fausse (car contredite par le choix de $A=B=X$).
En revanche la phrase "il existe $A,B$ contenus dans $X$, $f(A) \cap f(B) \not \subseteq f(A \cap $" (2) est vraie (soient $p,q\in X$ tels que -non injectivité de $f$ - $f(p) =f(q)$ et $p\neq q$. Soient $A:=\{p\}$ et $B:=\{q\}$. Alors $A \cap B=\emptyset = f(A \cap $ et $f(A) \cap f(B)=f(A)=\{f(p)\} \neq \emptyset$).
(1) et (2) n'ont donc pas le même sens et sans quantification, l'énoncé "$f(A) \cap f(B) \not \subseteq f(A \cap $" est incompréhensible.

Mais voyons, Rafykan,

ces propriétés ne sont pas des propriétés fondamentales, et elles sont assez intuitives. Il n'est pas nécessaire, pour faire des maths, de connaître par cœur des centaines de milliers de "petites propriétés" (sinon, qui ferait des maths). Dans ce genre de cas, on se contente de se souvenir de l'inclusion et du fait que l'égalité, généralement, n'a pas lieu. Comme tu as travaillé sur le sujet, si tu as vraiment compris ce qui s'est passé, alors dans l'avenir, si tu retombes sur ce problème, tu auras des intuitions suffisantes pour te débrouiller.

Passe du temps sur les "gros théorèmes", ceux qu'on utilise très souvent, et qui, parfois, ne sont pas très intuitifs. Et laisse les résultats d'exercices d'apprentissage à leur place. Tu as déjà suffisamment de travail pour savoir mettre tous les quantificateurs à leur place sans l'aide des autres, f&ais-le sur les théorèmes importants, et au cours des exercices, tu auras déjà fortement progressé.

Cordialement