Demande : théorie des modèles pour les nuls
Comme ça revient régulièrement dès que je pose une question de logique ou de fondements des maths à quelqu'un... un "modèle", c'est QUOI ?
Dans le sens : Quelqu'un peut-il me montrer, m'expliciter, m'écrire, me présenter, me décrire, par exemple, deux modèles de la théorie des ensembles (ceux de ZFC) différents ? Ou deux modèles différents de, je ne sais pas, la théorie des groupes ? ou une autre sous-théorie de celle des ensembles ?
Je finis toujours par me noyer dans un jargon technique pas très clair... alors j'aimerais une introduction par l'exemple.
Dans le sens : Quelqu'un peut-il me montrer, m'expliciter, m'écrire, me présenter, me décrire, par exemple, deux modèles de la théorie des ensembles (ceux de ZFC) différents ? Ou deux modèles différents de, je ne sais pas, la théorie des groupes ? ou une autre sous-théorie de celle des ensembles ?
Je finis toujours par me noyer dans un jargon technique pas très clair... alors j'aimerais une introduction par l'exemple.
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Réponses
Exemple : le groupe additif $\mathbb{Z}$ est modèle de la théorie des groupes. Ou encore $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ou le groupe des permutations etc. Ce sont tous des modèles de la théorie des groupes.
En ce qui concerne la théorie des ensembles... on ne connais pas de modèle... mais là j'attends que quelqu'un apporte des précisions.
De même pour la théorie des anneaux etc.
Pour la théorie des ensembles, ça va être plus compliqué puisque le théorème de Gödel nous dit précisément qu'on ne peut pas prouver la cohérence de ZFC, sauf si elle est incohérente : en particulier on ne peut pas prouver qu'il existe de modèle (sauf si ZFC est incohérente).
Maintenant, on peut donner des approximations : définis les $V_\alpha$ comme suit : $V_\emptyset = \emptyset$, $V_{\alpha +1} = P(V_\alpha)$ et aux ordinaux limite tu prends $V_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} V_\beta$ (il y a une formule unifiée mais qui risque d'embrouiller si tu n'as pas l'habitude).
Bah quelques trucs : $V_\omega$ est un modèle de ZFC moins "il existe un ensemble infini". Pour comprendre ça, essaye d'imaginer à quoi ressemble $V_\omega$, et essaie d'y construire des ensembles finis sympatoches (et "calcule" le cardinal de $V_n$ pour tout $n<\omega$)
Si $\alpha$ est limite et $>\omega$, $V_\alpha$ est un modèle de ZFC moins le remplacement. Certaines instances du schéma de remplacement y seront vraies, mais a priori pas toutes.
Si $\kappa$ est inaccessible (keep in mind qu'on ne sait pas s'il existe des inaccessibles ! - en fait au vu de ce qui suit on ne peut pas prouver qu'il est cohérent qu'il en existe) $V_\kappa$ est un modèle de ZFC
La théorie des modèles c'est (en un sens) l'étude des liens entre la syntaxe et la sémantique.
Par exemple le théorème de Birkhoff de ton autre fil peut être vu comme ça : tu as une classe de structures, sur laquelle on a des infos sémantiques (stable par produits, images et sous-algèbres), et on en déduit une info syntaxique: elle est axiomatisée par des équations.
Tu as des théorèmes similaires qui caractérisent les classes de structures qui sont axiomatisables par des théories dont les formules sont de la forme $\forall \exists$ etc.
Maintenant la syntaxe et la sémantique c'est très très différent : un groupe vérifiera beaucoup plus de formules que ce qu'il y a dans la théorie des groupes, donc tu as un gros gap entre les deux, et c'est raisonnable d'imaginer qu'étudier les relations entre ces deux trucs apporte des infos.
et si tu as l'impression que c'est du pipeau, il faut savoir que la théorie des modèles, au-delà d'être intéressante en soi, a des applications notamment en algèbre (même en géométrie algébrique); par exemple on peut prouver le théorème d'Ax-Grothendieck en utilisant la théorie des modèles pour passer de $\mathbb C$ aux corps finis; ou encore récemment je me suis rendu compte qu'avec la même méthode on pouvait obtenir des infos sur les représentations sur $\mathbb F_p$ à partir des représentations sur $\mathbb C$. Et encore, là ce n'est qu'un mince aperçu de ce qu'on y trouve
Je l'ai toujours loupée car je me suis arrêté au chapitre 4... (:P) car il faut quand même s'accrocher pour lire ce bouquin même si la notion d'ensemble est intuitive !
Voir plutôt Cori-Lascar (Chap. 3) pour la définition d'un modèle dans le cas général.
1/ Tu as un ensemble de phrases dans lesquels apparaissent parfois des noms d'individus (des constantes).
2/ Une théorie est un ensemble de phrases
3/ Une modèle $M$ est une théorie ayant des propriétés particulières:
3.1/ Pour toute phrase $P$, ou bien $P\in M$ ou bien $non(P)\in M$ (mais pas les deux)
3.2/ Les connecteurs sont respectés par la fonction caractéristique de $M$ (par exemple si $P\in M$ et $Q\notin M$ alors $(P\to Q)\notin M$
3.3/ POINT CAPITAL QUI DIFFERENCIE un modèle d'une théorie: chaque fois que $M$ contient $\exists R(x)$, il existe un individu $a$ tel que $M$ contient $R(a)$
4/ La définition que je viens de te donner n'est pas celle que les matheux préfèrent car elles donnent l'impression de trop confondre la notion de "théorie" et celle de modèles (un peu comme s'il y avait que des phrases dans la vie.
4.1/ En fait, ça n'a aucune importance. Parmi les phrases, tu peux distinguer des "verbes" et leur arité (quitte à disinguer les noms de mêmes verbes utilisés avec des arités différentes)
4.2/ Ainsi le "vrai" modèle au sens des matheux va être obtenu comme suit:
4.2.1/ On ne s'occupe que des phrases où apparait au moins un individu
4.2.2/ L'ensemble des individus est dit "l'ensemble base" $E$ du modèle
4.2.3/ L'ensemble des phrases de la forme $R(a,b)$ où $a,b$ sont des individu vont, à elles toutes, te donner une partie (que tu peux encore appeler $R$ à la rigueur) $\{(u,v)\in E^2 \mid (R(u,v))\in M\}$
4.2.4/ idem avec 3,4,5,6,... etc
Bref, tu passes d'un modèle au sens des matheux à modèle comme je viens de te le dire trivialement.
5/ Les théorèmes de base relient preuves et existence/ non existence de modèles à travers le lemme de Zorn et autres outils. (Théorèmes de compacité, de complétude, etc). Pour ça ma notion à la présentation légèrement hérétique de modèle est largement plus pratique. LE point (3.3) ECHAPPE au lemme de Zorn, mais c'est LE SEUL.
6/ Comme il a été question de phrases et d'individus, il est important de documenter ça. Ca s'appelle "la signature" du modèle.
6.1/ Par exemple la signature de la théorie des groupes est constituée des phrases qu'on obtient en composant logiquement des phrases de la forme $a\times b = c$.
6.2/ Par exemple la signature de la théorie des anneaux est constituée des phrases qu'on obtient en composant logiquement des phrases de la forme $a\times b = c$. ou de la forme $a+b=c$
@christophe c En me replongeant rapidement dans mon Cori-Lascar je pense comprendre à peu près ce que tu dis (une fois n'est pas coutume sorry (:P)).
En fait comme tu l'avais déjà écris dans un autre fil, tu vois un modèle comme une fonction qui à chaque formule close associe la valeur "vrai" ou "faux" avec les contraintes que tu cites (quitte à rajouter des symboles de constantes pour que la théorie admette des témoins de Henkin).
Merci d'avoir pris le temps d'ajouter ces précisions.
Etant donné que j'ai remis le nez dans le Cori-Lascar et que tu cites le th. de complétude et le lemme de Zorn, une question que je m'étais posée à l'époque me revient à l'esprit.
(Désolé si ces question peuvent sembler évidentes mais je n'ai jamais suivi de cours de Logique à l'uni et le peu que je connais viens d'une lecture du premier tome du Cori-Lascar il y a déjà plusieurs années avec une compréhension personnelle et donc peut-être fausse de son contenu.)
Au début du livre l'auteur dit qu'il faut distinguer entre les objets intuitifs et les objets formels et donc aussi entre démonstrations formelles et "démonstrations intuitives" ou méta-démonstrations.
Si j'ai bien compris, la démonstration du théorème de complétude est une méta-démonstration. L'auteur donne deux preuves du théorème de complétude, une en supposant que "l'ensemble" des symboles du langage est dénombrable et l'autre sans cette contrainte mais avec le lemme de Zorn.
Etant donné qu'on utilise l'axiome du choix (via Zorn) dans une méta-démonstration ne devrait-on pas dire en toute rigueur : "méta-axiome du choix" (axiome du choix intuitif quoi) ? En fait ce qui me dérange c'est que j'ai l'impression qu'on utilise à tort le nom "axiome du choix", provenant d'un contexte formel, dans un contexte qui est intuitif (celui de la méta-démonstration).
Je pinaille ou j'ai tout faux ?
Ni l'un ni l'autre.
Au contraire, ta question est intelligente.
Stricto sensu, les deux démos du théorème de complétude que tu trouves dans le Cori-Lascar sont des méta-démos.
Mais ce qu'il y a, c'est que si tu admets que tu vis dans un modèle standard de ZFC (c'est-à-dire si tu considères que ton $\omega$ est constitué des VRAIS entiers, en d'autres termes qu'il n'y a pas d'entiers non standards dans ton univers*), alors tu peux recopier mot pour mot les démos chez toi, i.e. dans ton univers, et le théorème devient un théorème de ZFC... enfin, un peu plus, disons ZFC + "Il existe un modèle standard de ZFC".
* le danger venant du fait que si ton univers est non standard ta démo peut contenir des phrases de longueur infiniment grande, ou avoir elle-même une longueur infiniment grande, auquel cas elle n'est plus valable au plan méta.
Les $V_{machin}$ de Max, ce sont des objets dans lesquels presque tous les axiomes de ZFC sont vrais, donc ça "modélise" (dans le sens : ça permet d'écrire/d'identifier des objets mathématiquement définis) presque tout ce qu'on peut créer dans (tout ce qui existe dans) ZFC. Un peu comme si les $V_{machin}$ étaient une façon de représenter (modéliser donc) l'univers de la théorie.
Et quand je dis "presque tous les axiomes sont vrais" je veux dire qu'on a par exemple $\exists v \in V_{machin}, \forall x \in V_{machin}, x \notin v$. Donc $V_{machin}$ contient un ensemble qui est vide "restreint à $V_{machin}$" puisque $V_{machin}$ c'est l'univers de mon modèle.
J'ai bon ou j'ai pas bon, du coup ?
EDIT : je rajoute un truc. Je pense qu'il faudrait parler de ZFC-modèle de manière pour être précis. Si j'ai bien compris et qu'un modèle de la théorie des groupes, c'est un "objet mathématique" dans lequel tous les axiomes de théorie des groupes sont vrais (donc un groupe, effectivement), il faut encore donner un sens à "objet mathématique". Ici, la théorie des groupes, c'est une sous-théorie de ZFC (de la théorie des ensembles, quoi), donc "objet mathématique" ça désigne un ensemble ici.
Mais les axiomes de la théorie des groupes, c'est juste une liste de formules qu'on peut énoncer dans n'importe quelle théorie logique qui utilise le calcul des prédicats, $\in$ et $=$. Auquel cas un modèle de la théorie des machins définis par les axiomes formels de la théorie des groupes, dans cette autre théorie logique, ça ne pourrait pas être un ensemble de ZFC, si ?
J'ai mal à la tête. Je ne sais pas si c'est le rhume, le manque de sommeil, cette discussion ou les trois.
Par contre ton edit part un peu dans la mauvaise direction : la théorie des groupes n'est pas une sous-théorie de ZFC, c'est une théorie à part dans un langage différent (par exemple dans le langage $\{e, \times, ^{-1}\}$)
$\forall x, \forall y, \forall z, x\times (y\times z) = (x\times y)\times z$ et tous les autres, mais pas de $\in$ ni d'axiomes liés à $\in$
À ce rythme-là, toute théorie devrait être une sous-théorie de ZFC puisque les modèles sont des ensembles...
Je ne crois pas que les modèles soient des ensembles. Des ensembles intuitifs oui mais pas des ensembles au sens de la théorie des ensembles.
Pour preuve j'ai trouvé cette cette phrase dans le livre "Théorie des ensembles" de Jean-Louis Krivine (p.47 du chapitre 3) :
Remarquer l'utilisation que l'auteur fait du terme "modèle".
Étant donné un langage $L$, une $L$-structure c'est un ensemble muni d'interprétations pour ces symboles : des fonctions de la bonne arité pour les symboles de fonction, des relations de la bonne arité pour les symboles de relation.
D'un autre côté, à partir d'un langage, on peut définir des formules (ça généralise les équations qu'on avait pour les algèbres) plus ou moins complexes. Par exemple, dans le langage qui contient juste le symbole ee fonction $\times$ d'arité $2$, "$\forall x, \forall y, \forall z, x\times (y\times z) = (x\times y)\times z$" est une formule.
Finalement on définit la notion de satisfaction d'une formule dans une $L$-structure. Par exemple, avec le même langage qu'au dernier paragraphe, une $L$-structure c'est un ensemble muni d'une opération binaire, et la formule y est satisfaite si et seulement si l'opération en question est associative.
Ensuite un théorie c'est un ensemble de formules, et un modèle de cette théorie c'est une $L$-structure qui satisfait toutes les formules de la théorie. Je te laisse deviner par exemple ce que peut-être "la théorie des groupes" (attention, il y a plusieurs bonnes réponses, même en fixant le langage - il y a des théories qui tentent d'éliminer ce défaut d'avoir plusieurs présentations mais c'est une autre histoire)
Parmi tout ça on a ZF(C), qui est une théorie écrite dans le langage qui contient uniquement un symbole de relation d'arité $2$, qu'on peut noter $\epsilon$ par exemple pour éviter de le confondre avec la vraie appartenance.
ATTENTION : à ce niveau on fait des maths, pas des méta maths, donc on se place déjà dans une théorie des ensembles, plus ou moins modélisée par ce ZF(C), donc on ne se demande pas si c'est pas absurde de parler d'ensembles alors qu'on définit ZF(C) : ça c'est plus une question de fondement des maths/de métamaths, alors que là on fait des maths
Donc tu es aussi en train de dire que le modèle dont parle Krivine (voir citation ci-dessus) n'est pas au même niveau que les modèles dont tu parles et que c'est un "méta-modèle". C'est bien ça ?
Pour le second, oui et non : puisque Krivine dit "ensemble au sens intuitif" on peut considérer que tu as raison; mais si on prend ta citation et qu'on enlève ce "au sens intuitif", la phrase reste vraie et on peut l'interpréter comme parlant de théorie des modèles : tout marche pareil.
@Homo Topi désolé si avec mes questions pour comprendre je ne facilite pas ta compréhension.
oui c'est bien ça comme l'a confirmé Maxtimax.
Après personnellement ça ne me satisfait pas beaucoup psychologiquement mais bon c'est presque philosophique à ce niveau.
J-L Krivine en fait lui on dirait, vu qu'il parle d'ensembles intuitifs. Mais en lisant les diverses interventions sur ce forum je me dis que ce n'est pas trop à la mode... (:D