Parties d'un ensemble non dénombrable
Bonsoir,
je viens de lire dans un bouquin que si un ensemble est non dénombrable, il existe nécessairement une de ses parties qui est non dénombrable et dont le complémentaire aussi est non dénombrable.
Quelqu'un pourrait me donner la démonstration de cette affirmation?
je viens de lire dans un bouquin que si un ensemble est non dénombrable, il existe nécessairement une de ses parties qui est non dénombrable et dont le complémentaire aussi est non dénombrable.
Quelqu'un pourrait me donner la démonstration de cette affirmation?
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Réponses
Je n'ai pas d'idée de preuve plus courte pour l'instant.
Edit: pour info, j'ai lu ça dans la correction d'un exercice de théorie de la mesure.
On a un ensemble infini $\Omega$ et la tribu $\mathcal T$ engendré par les singletons de cet ensemble. Montrer que $\mathcal T= \mathscr P(\Omega)$ si et seulement si $\Omega$ est dénombrable.
Bon on arrive à la fin à ce que ça revienne à démontrer la propriété du début de fil. Dans la correction du livre, cette propriété était affirmée comme allant de soi...
Edit1: j'écris la petite démonstration.
$E$ est un ensemble et on considère les triplets $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des parties disjointes de $E$ et $f$ une bijection de $A$ sur $B$.
On ordonne ces triplets par $(A,B,f) \leqslant (A',B',f')$ si $A \subset A'$ et $f'$ prolonge $f$. Cet ensemble de triplets muni de cette relation d'ordre ( non vide car $(\emptyset,\emptyset,\emptyset)$ est dedans) est inductif.
Par le lemme de Zorn, il existe un élément maximal $(A,B,f)$..
Si on avait $E \setminus A \cup B$ de cardinal $\geqslant 2$, on y trouverait deux éléments $a_1$ et $a_2$ et on pourrait prolonger $f$ par $f(a_1)=a_2$ de $A \cup \{ a_1\}$ sur $B \cup \{ a_2\}$ ce qui contredirait la maximalité de $(A,B,f)$.
D'où la partition de $E$ en $A$, $B$ et $C$ avec $Card(C) \leqslant 1$ et $A$ et $B$ équipotents.
Edit 2: j'ai rajouté en le soulignant un oubli dans la démonstration. J'en profite pour remercier AD pour ses corrections.
1/ en l'absence de l'axiome du choix, il peut exister des ensembles non finis tels que toutes leurs parties sont finies ou cofinies.
2/ En sa présence, il suffit de prouver le truc (qui est alors trivial) pour les ordinaux.
Est-on vraiment sûr que la propriété "si un ensemble est non dénombrable, il existe nécessairement une de ses parties qui est non dénombrable et dont le complémentaire aussi est non dénombrable" requiert l'axiome du choix ?
En d'autres termes, existe-t-il un modèle de ZF sans AC qui vérifie : "il existe un ensemble A non dénombrable, dont toute partie est dénombrable ou co-dénombrable" ?
(En quelque sorte, une généralisation aux ensembles non dénombrables de la propriété 1 énoncée par Christophe ci-dessus).
Christophe, si tu traînes dans le quartier...
La réponse est oui : prends un ensemble amorphe (i.e. infini mais dont tout sous-ensemble est fini ou co-fini) $X$. Alors en particulier $X$ est non dénombrable (car $\N$ et les ensembles finis ne sont pas amorphes) donc vérifie ta propriété.
Si tu n'es pas content parce que $X$ n'est pas dénombrable mais pas forcément "gros", qu'à cela ne tienne: prends $Y= \mathbb N\sqcup X$.
Soit alors $Z\subset Y$ : $Z= Z\cap X \sqcup Z\cap \mathbb N$, $Z\cap X$ est ou fini ou co-fini et $Z\cap \mathbb N$ (ainsi que son complémentaire dans $\mathbb N$) est dénombrable.
ainsi, si $Z\cap X$ est fini, $Z$ est dénombrable, et si $Z\cap X$ est co-fini, alors $Z$ est co-dénombrable. Ainsi $Y$ est non dénombrable, vérifie la propriété et $\mathbb N$ s'injecte dedans.
Dans le même genre AVEC axiome CD , un exiting énoncé est : il existe un ordre total sans maximum tel toute partie est telle que elle ou son complémentaire contient un segment final.
Dans les deux énoncés on a un ultrafiltre naturel oméga 1 additif et donc potentiellement ils sont "forts".