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Table de vérité de l'implication

Envoyé par totem 
Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Bonjour,
auriez-vous un exemple concret de l'assertion "Faux => Faux est Vraie" ?

Je ne comprends pas très bien cette "vérité" ...
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: table de vérité de l' implication
il y a six semaines
Ah, le marronier de l'implication !

Je prétends que tu connais déjà cette situation, si tu es d'accord que l'énoncé
$$\forall x\in \mathbb R\quad (x>1\Rightarrow x^2>1)$$
est vrai.
Re: table de vérité de l' implication
il y a six semaines
Oui en effet je ne suis sans doute pas le premier à poser cette question grotesque...ni le dernier grinning smiley

Ben oui je suis d'accord...mais en quoi ton assertion diffère de "Vrai => Vrai est Vraie" ?
Dom
Re: table de vérité de l' implication
il y a six semaines
Pour tout entier $a$, $b$ et $c$, tous non nuls,

$a^5+b^5=c^5 \Rightarrow a^6 + b^6 = c^6$.

Je ne sais pas si j’ai bien compris la question.
Re: table de vérité de l' implication
il y a six semaines
Puisque tu es d'accord avec GBZM , c'est que tu dis OUI à

0>1 implique 0^2 >1.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: table de vérité de l' implication
il y a six semaines
L'exemple que je donne plus adapté aux élèves de cinquième est

"pour tout x, x > 1000 implique x>3"

qui fait voir tous les cas où la phrase est vraie.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: table de vérité de l' implication
il y a six semaines
Bah de toutes façons je dis toujours oui à Gabuzomeu même quand je ne comprends pas grinning smiley

Peut être n'ai-je pas bien saisi toute la portée du $\forall x\in \mathbb R\quad$ ...

Elèves de cinquième ??



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par totem.
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Un classique :
1=2 implique 1=2 et 2=1 qui implique par addition membre à membre 1+2=2+1

Cordialement.
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Si $A,B$ sont des énoncés, $A\Rightarrow B$ et $\neg [A \wedge (\neg B)]$ sont classiquement équivalents (ont même table de vérité quand ce formalisme est utilisable).

Cependant lorsqu'une lettre $x$ figure dans $A$ et dans $B$, $A\Rightarrow B$ (*)est trop souvent confondu incorrectement avec $\forall x (A \Rightarrow B)$ (**).

Les gens pensent habituellement (à tort) qu'une implication est un énoncé de type (**) et que "le paramétrage est implicite".

Un exemple connu au lycée (dans mes souvenirs ,hein):

Pour tout entier $n$, si $2^n-1$ est premier, $n$ est premier.

Plus formellement, cela s'écrit $\forall n\in \N, (2^n-1 \text { premier}) \Rightarrow (n \text { premier})$.
Spécifiquement (prendre $n=4$) "si $15$ est premier, $4$ est premier".

En fait d'après la remarque en préambule, la phrase bleue dit exactement la même chose que
"Quel que soit l'entier $n$, on n'a pas à la fois $2^n-1$ premier et $n$ non premier"
formellement:
$\forall n\in \N, \neg \left [ (2^n-1 \text { premier}) \wedge \neg(n \text { premier})\right ]$
et dans le cas particulier de $n=4$: on n'a pas à la fois $2^4-1=15$ premier et $4$ non premier (puisque en l'espèce $15=5\times 3$).

C'est le refus pédagogiste assumé de parler des quantifications et variables liées (au nom d'une prétendue simplification) et de dire que dans $A\Rightarrow B$ la lettre $x$ (ou la lettre $n$ ou que sais-je) est un "objet variable" (°) qui est à l'origine de toutes ces confusions.

(°) remarquez la couleur marron



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
"A implique B" et "non A ou B" sont équivalents : c'est un axiome ou cela se démontre comme un théorème ?
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Je l'ai démontré en détails et sans sauter d'étape 4562 fois sur le forum fouille un peu.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Je suis sur un PC, ouf grinning smiley

Déjà, tu n'es pas sérieux, (et je ne suis pas Gérard, je n'ai pas l'habitude de rabrouer tous les intervenants étudiants en leur reprochant de ne pas travailler ou connaitre leur cours): tu reçois plusieurs fois la même réponse qui devrait clore le sujet et tu ne les lis pas et fais de l'humour ("je dis tjs oui à GBZM").

Tu as répondu oui à $\forall x: (x>1000 \to x>50)$, donc oui à

1/ (faux => vrai) = vrai , puisque tu dis oui à $(100>1000\to 100>50 )$, or tu sais évidemment, j'imagine que :

$(100>50)=vrai$ et $(100>1000)=faux$. Sur ce dernier point, tu peux avoir des excuses du fait de l'erreur communément commise par l'enseignement secondaire d'utiliser $\iff$ à la place de $=$, menfin si tu viens sur le forum, on peut s'imaginer que tu as plus de 12 ans et demi

2/ Même réponse avec faux => faux, auquel tu as dit oui via $(3>1000)\to (3>50)$.

Cette superficialité a probablement conduit à ce que tu reçoives peu de réponses par la suite.

Ensuite, tu demandes, sans vraiment dire si tu as validé ce qui précède, s'il est prouvé que

$$(A\to B) = ((nonA)\ ou B)$$

Et je te réponds que je l'ai fait 1000 fois sur le forum. Veux-tu que je cherche les liens à ta place?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
avatar
Bonjour à tous,

je ne réponds pas à la question posée initialement,
mais j'illustre par un exemple d'Hervé Lehning que :
"A implique B" est équivalent à "Non A ou B" :

Un voleur crie aux gendarmes :
"Si vous avancez, alors je tire",
ce qui équivaut à :
"N'avancez pas, ou je tire".

Amicalement,

--
Mateo.
Axiomatique de collège : [www.donc-dapres.com]
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Merci Matteo.

Mais j'éprouve le besoin de bien préciser l'auteur de cette idée de présentation, car il est mort et c'est lui qui nous a signalé cet exemple (que j'ai dû répercuter 130268683 fois sur le forum depuis):

Jean Coret


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
@christophe: pas de problème tu peux m'aboyer dessus comme gerard je marche à coups de triques grinning smiley

Ce qui m'a gêné je l'ai dit c'est le $\forall x\in \mathbb R\quad$...bon enfin tant pis c'est trop compliqué pour moi !
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Mais non, enfin totem !

Quand on dit $\forall x \in \R, \Big[\big(x>1\big) \Longrightarrow \big(x>0\big) \Big]$, tu es d'accord, car $]1;\infty[ \subset ]0;\infty[$.

Dans ce truc, le $\forall$ est à l'extérieur de tout.

C'est donc que ce qui est à l'intérieur est vrai pour chaque valeur de $x$ qu'on choisira.

Il y a trois catégories de $x$ intéressants, qui donnent :
$x = 2$ : vrai $\Longrightarrow$ vrai
$x = \frac{1}{2}$ : faux $\Longrightarrow$ vrai
$x = -1$ : faux $\Longrightarrow$ faux

Je ne sais pas si quelqu'un l'a dit, mais l'implication en logique mathématiques est un truc qui est soit vrai, soit faux, et qui ne correspond pas vraiment à ce dont on veut parler spontanément.

Il n'y a pas vraiment d'autre définition que celle déjà donnée.

$A\Longrightarrow B$ est vraie ssi $B$ est vraie, ou sinon, si $A$ est fausse. C'est la définition.

(il n'y a pas de métaphysique dans le genre "dans un univers où $A$ ne serait pas vérifiée, pourrait-on avoir $B$ quand même ?" ou que-sais-je)

C'est la même chose que de dire, pour $A,B \subset X$ :
l'inclusion $A \subset B$ est vraie, ssi $\forall x\in X$, on a $x\in B$ ou sinon, on a $x\not\in A$.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par marsup.
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Merci marsup !! ton post est très pédagogique,j'y vois plus clair...et pardon aux autres sad smiley

Dans le "non A OU B" le OU est exclusif j 'imagine ??
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Citation

Dans le "non A OU B" le OU est exclusif j 'imagine ??

Non, pas spécialement, justement, pour qu'on puisse avoir :
faux $\Longrightarrow$ vrai. [Tu voulais sans doute écrire faux $\Longrightarrow$ vrai. AD]
[oui, merci AD !]

Si on mettait un OU exclusif, ça donnerait l'équivalence, si je ne m'abuse.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par marsup.
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
"Il pleut => le sol est mouillé" est équivalent à " il ne pleut pas OU le sol est mouillé" ; là le OU est clairement exclusif...?
Dom
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Citation :
" il ne pleut pas OU le sol est mouillé" ; là le OU est clairement exclusif...?

Dire que le OU est exclusif consiste à dire qu'on ne peut pas avoir : il ne pleut pas ET le sol est mouillé.
Or c'est possible. A moins d'un implicite que je n'ai pas.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Euh non pas d'implicite en l'occurence , personne ne verse de seau d'eau par terre grinning smiley
Dom
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Si, si justement.
Il me semble important pour cette histoire de "il pleut donc le seul est mouillé" (qui est un très bon exemple du langage courant pour comprendre des choses plus abstraites) de bien définir les conditions.

Songe aux élèves qui pensent qu'il s'agit du sol de la classe, du sol de la cour avec le préau, etc.
Laisse la possibilité également que quelqu'un ait lavé le sol, jeté des seaux d'eau, qu'il ait plu juste avant, etc.

Lever les implicites est d'une importance capitale. Surtout lorsque l'on va chercher des exemples de la vie courante.
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Oui en effet, je reconnais l'importance de l'implicite dans les énoncés mathématiques.
Sauf que là c'est pour moi, je ne suis plus prof depuis longtemps . Et je m'interrogeais sur le sens du OU sans sous-entendu, donc smiling smiley
Dom
Re: Table de vérité de l'implication
il y a six semaines
Ok. Si on part du principe que le sol n’est mouillé que s’il pleut, les conséquences sont différentes.
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