Non finie-axiomatisabilité

je dirais qu'il faut une version plus forte de la réflexion, qui dit qu'à $A_1,...,A_k$ fixés, la collection des $\beta$ tels que $A_1,...,A_k$ se reflètent dans $V_\beta$ est un club (closed unbounded). En particulier elle contient un $\beta $ limite $>\omega$.

J'avoue que je ne sais plus; je regarde ça tout à l'heure quand je mets la main sur mes cours de logique !

Ah alors je viens de le retrouver justement, en fait j'ai parlé trop vite, l'énoncé que j'y trouve est que la collection des $\alpha$ tels que les $A_i$ se reflètent dans $V_\alpha$ contient un club, pas "est". ça ne change rien au schmil-blick, parce que naturellement la contenance suffit ici.

La preuve qu'on a faite est la suivante :
Déjà on remarque que pour $F: Ord \to Ord$ strictement croissante et continue, alors $\{\alpha \mid F(\alpha) = \alpha\}$ est un club.

Ensuite on reformule, on montre par induction sur la formule $\varphi$ que $\{\alpha \mid \varphi$ est absolue pour $V_\alpha\}$ contient un club. Cela suffit naturellement à ton affaire.

$\varphi$ atomique est absolue pour tout $V_\alpha$ donc rien à dire.
$\varphi = \neg \psi$ : rien à dire parce que si $\psi$ est absolue pour $V_\alpha$, $\neg \psi$ aussi.
$\varphi = \varphi_1\land \varphi_2$ : l'intersection de clubs est un club, rien à dire.

$\varphi (x) = \exists y, \psi(x,y)$ : on définit $F: Ord\to Ord$ par $F(\alpha) = \min\{\beta \geq \sup_{\gamma <\alpha} (F(\gamma) +1) \mid \forall x\in V_\alpha, (\exists y, \psi(x,y) \implies \exists y\in V_\beta, \psi(x,y))\}$
$F$ est bien définie (facile à voir) et clairement strictement croissante; et on vérifie qu'elle est continue.

Il s'ensuit que $B= \{\alpha \mid F(\alpha) = \alpha\}$ est un club. Si je prends $C$ un club inclus dans les gens qui rendent $\psi$ absolue, alors sur $C\cap B$, $\varphi$ est absolue (on le vérifie rapidement à partir des définitions).

Les $\lor, \implies, \forall$ se déduisent de ça en passant à la négation -> ça conclut l'induction.

Martial : tu sais en relisant la preuve j'ai eu le souvenir que j'avais aussi buggé sur la continuité à l'époque.

Soit $\alpha$ limite, il est clair que $F(\alpha) \geq F(\gamma)$ pour tout $\gamma < \alpha$. Soit maintenant $\beta = \sup_{\gamma < \alpha} F(\gamma)$. Puisque $F$ est strictement croissante, et que $\alpha$ est limite, on a bien $\beta \geq \sup_{\gamma < \alpha} (F(\gamma)+1)$.

Reste à voir que $\beta$ satisfait la condition. Soit $x\in V_\alpha$ tel que $\exists y, \psi(x,y)$. Alors $x\in V_\gamma$ pour un certain $\gamma < \alpha$, et il vérifie toujours $\exists y, \psi (x,y)$ (:-D ); donc il existe $y\in V_{F(\gamma)}$ tel que $\psi(x,y)$; et donc, puisque $F(\gamma)\leq \beta$, il existe $y\in V_\beta$ tel que $\psi(x,y)$ : donc $\beta$ est dans le machin, et c'est clairement le minimum à convenir : $\beta = F(\alpha)$.

Je me trompe ?

Une question apparentée qui me semble bien moins facile.

Existe-t-il un énoncé clos A tel que T:= Z+ A = ZF + A et T consistante

Évidemment A ne sera pas un théorème de ZF.

Est-ce que $T$ ne prouve pas sa cohérence pour la même raison - exactement la même preuve ?

Je raisonne dans $T=Z+A$, le schéma de réflexion y est toujours vrai (puisque ZF est conséquence de $T$), soit $\lambda >\omega$ limite tel que $A$ se reflète dans $V_\lambda$; donc $V_\lambda$ est un modèle de $Z+A$, d'où un modèle de $T$.
Donc $T$ est incohérente ?
(il est possible que je manque quelque chose, j'ai pas faire ce genre de choses depuis un moment)

(je me suis posé une question du style "est-ce que $T$ sait que $Z+A = ZF+A$ ?" mais je l'ai évitée en posant $T=Z+A$ et pas $ZF+A$; puisque de toute façon Z est largement suffisante à Gödel)

Enfin je ne me trompe pas sur l'exo de Martial mais peut être sur la prétendue difficulté de l'autre question. Évidemment A nierait AF.

Par rapport à ce que tu as écrit, je ne suis pas du tout sûr d'un truc; c'est le point que j'ai relevé plus haut : en fait il vaut mieux travailler dans Z+$A_1,...,A_n$ (qui est ZF par ailleurs), et prouver que elle prouve sa propre cohérence. En effet en commençant avec ZF, tu arrives sur la question problématique suivante : tu prouves (dans ZF) qu'il existe un modèle de Z+$A_1,...,A_n$ (c'est ta preuve) et tu en conclus (dans ZF) qu'il existe un modèle de ZF, i.e. tu prouves la cohérence de ZF (dans ZF), d'où bla.

Sauf que le passage "il existe un modèle de Z+$A_1,...,A_n$ donc il existe un modèle de ZF" tu le fais dans ZF : il n'est pas clair que tu puisses le déduire de ta supposition (rappelle toi que le ZF de cet énoncé est "interne", en particulier il peut contenir des énoncés "non standards", et eux tu ne sais pas s'ils sont conséquence de Z+$A_1,...A_n$). Plutôt: essaie de le déduire de ta supposition et tu verras qu'il y a un souci.

Donc le plus safe (qui évite de se poser cette question) c'est de raisonner dans Z+$A_1,...,A_n$ (qui prouve ZF donc tous les théorèmes que tu peux vouloir, en particulier le schéma de réflexion) et de voir qu'elle prouve sa propre cohérence.
Je ne sais pas si je suis clair, ni d'ailleurs s'il y a un réel problème (comme je l'ai dit plus haut ça fait longtemps que j'ai pas fait ça, mais je sens qu'il y a anguille sous roche ici - comme quand on prouve des énoncés du type "si $\kappa$ est inaccessible, $V_\kappa$ est modèle de ZFC", là je sais qu'il y a anguille sous roche)

Oui, là je suis sûr qu'il n'y a pas de problème, alors que l'autre j'ai un doute...

De mon téléphone je confirme que si on prend T:=ZF+À et non pas Z+À l'argument godelien ne marche pas car T ne sait pas (forcément) que les modèles de Z+À sont des modèles de ZF +À

Je te decouprai ça en minuscules morceaux d'un PC. Ne t'inquiète pas.