Non finie-axiomatisabilité
Bonjour à tous,
Je sais démontrer, via le schéma de réflexion et le deuxième théorème d'incomplétude, que ZF n'est pas finiment axiomatisable.
Mais j'aimerais prouver qu'en plus ZF n'est pas finiment axiomatisable "au-dessus de $\Z$", c'est-à-dire qu'il n'existe pas de système fini $A_{1},\ldots,A_{n}$ d'axiomes prouvables à partir de ZF, tel que tout axiome de ZF soit conséquence de $Z+A_{1}+\cdots+A_{n}$.
J'ai envie de raisonner de la façon suivante : on sait que pour tout ordinal limite $\lambda>\omega$, $V_{\lambda}$ est modèle de $\Z$.
Soit alors $\beta$ un ordinal tel que $A_{1},\ldots,A_{n}$ se reflètent dans $V_{\beta}$, et $\lambda$ n'importe quel ordinal limite avec $\lambda>\max(\omega,\beta)$.
J'ai bien envie d'en déduire que $V_{\lambda}$ satisfait à la fois $\Z$ et tous les axiomes $A_{k}$, donc blablabla à cause de l'incomplétude.
Mais comment puis-je être certain que $V_{\lambda}\models A_{k}$ pour tout $k$ ?
Je sais démontrer, via le schéma de réflexion et le deuxième théorème d'incomplétude, que ZF n'est pas finiment axiomatisable.
Mais j'aimerais prouver qu'en plus ZF n'est pas finiment axiomatisable "au-dessus de $\Z$", c'est-à-dire qu'il n'existe pas de système fini $A_{1},\ldots,A_{n}$ d'axiomes prouvables à partir de ZF, tel que tout axiome de ZF soit conséquence de $Z+A_{1}+\cdots+A_{n}$.
J'ai envie de raisonner de la façon suivante : on sait que pour tout ordinal limite $\lambda>\omega$, $V_{\lambda}$ est modèle de $\Z$.
Soit alors $\beta$ un ordinal tel que $A_{1},\ldots,A_{n}$ se reflètent dans $V_{\beta}$, et $\lambda$ n'importe quel ordinal limite avec $\lambda>\max(\omega,\beta)$.
J'ai bien envie d'en déduire que $V_{\lambda}$ satisfait à la fois $\Z$ et tous les axiomes $A_{k}$, donc blablabla à cause de l'incomplétude.
Mais comment puis-je être certain que $V_{\lambda}\models A_{k}$ pour tout $k$ ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Effectivement une telle version m'arrangerait bien.
C'est compliqué à démontrer ?
(Pour unbounded pas de problème, c'est déjà dans une des versions initiales. Mais pour closed ?)
@Max : je veux bien que tu mettes la main sur ton cours de logique, merci d'avance
La preuve qu'on a faite est la suivante :
Déjà on remarque que pour $F: Ord \to Ord$ strictement croissante et continue, alors $\{\alpha \mid F(\alpha) = \alpha\}$ est un club.
Ensuite on reformule, on montre par induction sur la formule $\varphi$ que $\{\alpha \mid \varphi$ est absolue pour $V_\alpha\}$ contient un club. Cela suffit naturellement à ton affaire.
$\varphi$ atomique est absolue pour tout $V_\alpha$ donc rien à dire.
$\varphi = \neg \psi$ : rien à dire parce que si $\psi$ est absolue pour $V_\alpha$, $\neg \psi$ aussi.
$\varphi = \varphi_1\land \varphi_2$ : l'intersection de clubs est un club, rien à dire.
$\varphi (x) = \exists y, \psi(x,y)$ : on définit $F: Ord\to Ord$ par $F(\alpha) = \min\{\beta \geq \sup_{\gamma <\alpha} (F(\gamma) +1) \mid \forall x\in V_\alpha, (\exists y, \psi(x,y) \implies \exists y\in V_\beta, \psi(x,y))\}$
$F$ est bien définie (facile à voir) et clairement strictement croissante; et on vérifie qu'elle est continue.
Il s'ensuit que $B= \{\alpha \mid F(\alpha) = \alpha\}$ est un club. Si je prends $C$ un club inclus dans les gens qui rendent $\psi$ absolue, alors sur $C\cap B$, $\varphi$ est absolue (on le vérifie rapidement à partir des définitions).
Les $\lor, \implies, \forall$ se déduisent de ça en passant à la négation -> ça conclut l'induction.
Maintenant, je devrais y arriver.
Buenas noches
Bref, j'ai tout compris à ta preuve, sauf un détail : comment fais-tu pour démontrer que la fonctionnelle $F$ définie ci-dessus est continue aux limites ?
Je me doute que ce qui fait marcher l'affaire c'est que puisque $\lambda$ est limite $V_{\lambda}$ est égal à la réunion des $V_{\alpha}$ pour $\alpha<\lambda$, mais je n'arrive pas vraiment à mettre le truc en forme.
Peux-tu me donner un indice ?
Soit $\alpha$ limite, il est clair que $F(\alpha) \geq F(\gamma)$ pour tout $\gamma < \alpha$. Soit maintenant $\beta = \sup_{\gamma < \alpha} F(\gamma)$. Puisque $F$ est strictement croissante, et que $\alpha$ est limite, on a bien $\beta \geq \sup_{\gamma < \alpha} (F(\gamma)+1)$.
Reste à voir que $\beta$ satisfait la condition. Soit $x\in V_\alpha$ tel que $\exists y, \psi(x,y)$. Alors $x\in V_\gamma$ pour un certain $\gamma < \alpha$, et il vérifie toujours $\exists y, \psi (x,y)$ (:-D ); donc il existe $y\in V_{F(\gamma)}$ tel que $\psi(x,y)$; et donc, puisque $F(\gamma)\leq \beta$, il existe $y\in V_\beta$ tel que $\psi(x,y)$ : donc $\beta$ est dans le machin, et c'est clairement le minimum à convenir : $\beta = F(\alpha)$.
Je me trompe ?
Maintenant il faut que je réfléchisse : demain plutôt qu'aujourd'hui.
La nuit porte conseil, disaient les vieux quand j'étais jeune...
Existe-t-il un énoncé clos A tel que T:= Z+ A = ZF + A et T consistante
Évidemment A ne sera pas un théorème de ZF.
Je raisonne dans $T=Z+A$, le schéma de réflexion y est toujours vrai (puisque ZF est conséquence de $T$), soit $\lambda >\omega$ limite tel que $A$ se reflète dans $V_\lambda$; donc $V_\lambda$ est un modèle de $Z+A$, d'où un modèle de $T$.
Donc $T$ est incohérente ?
(il est possible que je manque quelque chose, j'ai pas faire ce genre de choses depuis un moment)
(je me suis posé une question du style "est-ce que $T$ sait que $Z+A = ZF+A$ ?" mais je l'ai évitée en posant $T=Z+A$ et pas $ZF+A$; puisque de toute façon Z est largement suffisante à Gödel)
Mais quand même ça me gêne quand je lis Krivine, qui lui ne met pas AF dans le système ZF... et du coup il passe sa vie à travailler dans le système ZF+AF. (Bon, d'accord, c'est un détail).
@Christophe : je ne comprends pas bien ta question.
Si T=Z+A=ZF+A, ça veut dire que A contient "en substance" tous les axiomes de remplacement, c'est bien ça ?
En d'autres termes, A serait une sorte de super-axiome qui, ajouté à Z, permettrait de récupérer tous les théorèmes de ZF, plus quelques autres sans doute… enfin, au moins un en la personne de A lui-même. C'est bien ça ?
Concernant AF le problème est que les ensembles ne sont que led graphes quotientes par la relation être isomorphismes. Utiliser AF c'est ne s'occuper que DES ARBRES en quelque sorte. Or l'axiome d'extensionalite devient fort surtout quand c'est mal fondé. Penser récupérer les ensembles mal fondés par leur nom (ie par des graphes habitant V que l'on quotiente à la main) est au mieux une chierie et au pire pas faisable.
Si quelqu'un a le courage de tout relire...
Sauf que le passage "il existe un modèle de Z+$A_1,...,A_n$ donc il existe un modèle de ZF" tu le fais dans ZF : il n'est pas clair que tu puisses le déduire de ta supposition (rappelle toi que le ZF de cet énoncé est "interne", en particulier il peut contenir des énoncés "non standards", et eux tu ne sais pas s'ils sont conséquence de Z+$A_1,...A_n$). Plutôt: essaie de le déduire de ta supposition et tu verras qu'il y a un souci.
Donc le plus safe (qui évite de se poser cette question) c'est de raisonner dans Z+$A_1,...,A_n$ (qui prouve ZF donc tous les théorèmes que tu peux vouloir, en particulier le schéma de réflexion) et de voir qu'elle prouve sa propre cohérence.
Je ne sais pas si je suis clair, ni d'ailleurs s'il y a un réel problème (comme je l'ai dit plus haut ça fait longtemps que j'ai pas fait ça, mais je sens qu'il y a anguille sous roche ici - comme quand on prouve des énoncés du type "si $\kappa$ est inaccessible, $V_\kappa$ est modèle de ZFC", là je sais qu'il y a anguille sous roche)
Mais dans le doute j'ai juste modiifé la dernière phrase, comme suit :
" Comme tous les axiomes de ZF (donc aussi tous les théorèmes de ZF) sont conséquences de Z+S, tout le raisonnement fait ci-dessus peut être reformulé dans Z+S. Comme $V_{\lambda} \models Z+S$, on a finalement prouvé, à partir de Z+S, qu'il existe un modèle de Z+S, ce qui une fois de plus est interdit."
Ça te paraît tenir la route ?
Tu parles de ton exo ou du mien ?
Concernant ton exo je pense avoir maintenant compris l'énoncé, mais de là à le résoudre...
Donc si je comprends bien dans ce genre de situation il faut se méfier du cas où l'axiome $A$ aurait une longueur non standard, c'est ça ?
Juste une question : quand tu fais tous les raisonnements ci-dessus, tu te places déjà dans un modèle de ZF (supposé exister) et tu construits tes $V_{\lambda}$ et tes machins, ou bien tu vis à l'extérieur de l'univers et tu regardes ce qui se passe dans un modèle particulier de ZF ?
Ainsi il y aura peut-être un jour où je me coucherai moins c.. que je ne me serai levé, lol