Raisonnement direct

Pour les passants, je donne quelques précisions, même si je suis assez d'accord avec sinusix qu'il existe une trop grande imprécision (et l'orthographe?**) dans la demande de l'auteur (massi).

1/ Sa demande a une expression officielle: Systèmes à la Hilbert (a) VS systèmes déductifs (b)

2/ En fait, contrairement à des préjugés un peu trop répandus, c'est la même chose, camouflée en choses différentes. Je détaille un peu avec quelques exemples:

2.1/ Appliquons la règle de déchargement de l'hypothèse $A$ dans:

$$ \frac{A; B;A;C;U \vdash R}{B;C;U\vdash (A\to R)} $$

qui en français, dans les copies d'examen, ou les articles scientifiques se lit:

blablabla .... . Bon, msieurs-dames, en supposant $A; B;A;C;U$; vous voyez que j'en ai déduit $R$. Bin, bin, vous serez d'accord avec moi que SANS SUPPOSER $A$, je viens de vous déduire $A\to R$ de $B;C;U$

2.2/ Maintenant, comme vous l'aurez remarqué, on est dans le paradigme (b), puisqu'on a utilisé le symbole $\vdash$.

2.3/ Cependant, c'est ce qu'on peut appeler une coquetterie. En effet, on aurait tout aussi bien pu se placer dans le paradigme suivant: (j'écris "si..alors.." pour rendre plus lisible, mais (si X alors Y) EST $X\to Y$ )
.
.

blabla
blabla
donc [Si A alors si B alors si A alors si C alors si U alors R]
donc [Si B alors si C alors si U alors si A alors R]
blabla
blabla
.
.


2.4/ Et dans ce cas, sans strictement rien changer, on s'est placé dans le paradigme (a).

2.5/ Autrement dit, il n'y a pas de différence. SAUF que: dans (b), on a l'impression de "faire quelque chose" d'un peu technique alors que dans (a), on a juste appliqué un axiome tacite qui est d'avoir déplacé et dupliqué l'hypothèse A (les hypothèses sont en polarité négative, donc l'action qu'on leur fait subir doit se lire du bas vers le haut)

2.6/ Pourquoi utiliser (avant qu'on connaisse la CCH) (b) plutôt que (a). Et bien la réponse est évidente: ça prend moins de place car DANS LA PRATIQUE, votre panier d'hypothèses change très doucement et il est donc complètement idiot de le recopier à chaque fois. Il est SOUS-ENTENDU. Ce n'est que dans les cours de logique que la partie gauche du séquent (un truc comme $\dots \vdash \dots$ s'appelle un séquent) est écrite. Dans le vie des matheux elle est sous-entendue. Il est donc beaucoup plus économique de ne pas la recopier à chaque fois, ce qui serait obligatoire dans des présentations hilbertiennes.

2.7/ Je signale, mais c'est anecdotique, qu'on peut faire des systèmes à la Hilbert avec un nombre FINI (et même très petit, puisqu'on peut aller jusqu'à UN SEUL axiome, même si le plus naturel est d'en utiliser 3) d'axiomes***. C'est hors-sujet ici. Par exemple, tout le monde accepte que

Si [Si A alors si B alors si A alors si C alors si U alors R] alors [Si B alors si C alors si U alors si A alors R]

et il n'est pas franchement utile de le démontrer en quelques étapes. De plus c'est toujours comme ça (permutations+contractions), il n'y a pas d'exceptions.

[small]** je suis toujours prudent quand on est invité à cartonner l'orthographe des intervenants, car il y a pas mal d'étrangers, qui postent de loin dans le monde et qui se retrouvent "frappés" un peu trop vite

*** Par exemple, foys aime bien les 3 axiomes:

$\forall A,B,C: ([A\to (B\to C)]\to [(A\to \to (A\to C)] )$

$\forall A,B: (A\to [B\to A])$

$\forall A,B: ( ((A\to \to A)\to A)$ (axiome du raisonnement par l'absurde, je le rajoute, foys aime bien les deux premiers, qui ont été un peu sacralisés par la littérature initiale surle sujet)

[/small]