Objets mathématiques
Bonjour
Que veut dire en mathématiques "objet" ou "objet mathématique" ?
Merci.
Que veut dire en mathématiques "objet" ou "objet mathématique" ?
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Réponses
Une fonction est un objet mathématique.
Un cercle est un objet mathématique (et même un objet géométrique).
Un nombre aussi.
En fait, ce sont des ensembles, toutes ces choses.
Mais je ne parle que de ma sémantique et je ne sais pas s'il existe une acception plus "professionnelle".
1.Un signe ou symbole mathématiques est il objet (mathématiques) ?
Par exemple
Les symboles +, = ,...
Sont-ils des objets ?
2. Les mots "continuité, dérivabilité, orthogonale,...
Sont-ils des objets ?
Tout ça c'est du français, et en français, ce à quoi on s'intéresse est l'objet de notre intérêt. Tu es l'objet de ma préoccupation de te répondre.
Cordialement.
(*) justement
Ce ne sont pas les noms "continuité" ou autre qui sont des objets mais plutôt "la fonction continue" qui en serait un.
Mais peut-être que je tatillonne.
Les nombres sont des ensembles, les applications sont des ensembles. Par contre, les symboles par lesquels on les désigne ne sont pas des ensembles, sauf pour les symboles de constantes, je crois. Donc les symboles auxquels on a donné une définition précise.
$1 = \{\varnothing\}$ est un ensemble.
$x$ et $f$ ne sont des ensembles que si dans un contexte donné, on a attaché un ensemble à ces symboles de variables, par exemple "posons $x=2$" ou "soit $f$ la fonction...".
Pour les symboles comme $+$, $=$ et $\in$, c'est un peu plus subtil.
$\in$ est un symbole primitif du langage dans lequel on exprime la théorie des ensembles, donc ce n'est pas un objet de cette théorie, donc pas un ensemble. $=$ peut être définie comme un ensemble (enfin, on peut définir une relation $=$ dans chaque ensemble de la théorie, donc chaque ensemble $E$ possèdera une partie notée $=_E$) mais beaucoup de gens préfèrent considérer $=$ comme un symbole primitif au même titre que $\in$.
Pour le symbole $+$, ben... on peut le définir comme une application, en écrivant les choses $+(2,3)=5$ comme on écrirait $f(x,y)=z$, ou bien on donne un autre nom à l'application, par exemple $add$, et dans ce cas, $+$ n'est qu'un symbole comme n'importe quelle loi de monoïde, groupe, anneau... où on choisit de noter $2+3$ au lieu de $add(2,3)$. Du coup, certains symboles sont ambigus, ils peuvent être une application ou une notation.
J'ai une définition un peu plus explicite d'objets "plus ou moins directement issues de l'expérience" dont la définition est précisée par "la notion d'égalité de deux objets". Ainsi "des objets nouveaux seront bien définis lorsque nous aurons choisi, une fois pour toutes, une règle permettant de les comparer (1), entre eux et avec les objets déjà connus."
"La règle de comparaison sera choisie de sorte que :
1. Quels que soient les objets A et B, la règle donne toujours une, et une seule, des deux réponses
<<A est égal à B>> (ce qui se notera A =
<<A est différent de B>> (ce qui se notera A $\neq$
2. Quel que soit l'objet A, la règle donne toujours
A = A
3. Chaque fois que la règle donne
A = B
elle donne aussi
B = A
4. Chaque fois que la règle donne
A = B et B = C
elle donne aussi
A = C"
En clair une règle binaire réflexive, symétrique et transitive.
(1) au sens de "rechercher si l'égalité a lieu".
Réf. : J.-M. Souriau, Calcul linéaire, T1, 2ed 1964.
La littérature de référence de taupin dit la même chose, de manière moins explicite, il faut tourner les pages (RDO T1) pour reconstituer la même définition, et où les "notions d'objets et de collection d'objets, que nous considérons comme intuitives chez le lecteur".
Ce genre de truc laisse quand même un peu sur sa faim, c'est comme un peu $\mathbb{N}$ dont le caractère infini est décrété par des axiomes ad hoc.
Ça ne m'empêche pas de dormir mais si quelqu'un avait un réf. sûre pas trop hard mais un peu détaillée et nourrissante, ce serait sympa (je lis le rosbif aussi).