Axiomes gamma-ACD
Bonjour tout le monde,
Soit $\gamma$ un ordinal infini et $X$ un ensemble.
On note $\gamma-ACD(X)$ l'assertion
"Pour toute fonction $F$ de $X^{<\gamma}$ dans $P(X)$ privé de l'ensemble vide, il existe une fonction $f$ de $\gamma$ dans $X$ telle que pour tout $\alpha<\gamma$, $f(\alpha)$ appartienne à $F(g_{\alpha})$, où $g_{\alpha}$ désigne la restriction de $f$ à $\alpha$".
On note par ailleurs $\gamma-ACD$ l'axiome : pour tout ensemble non vide $X$, $\gamma-ACD(X)$ est vraie.
$\gamma-ACD$ est une généralisation de ACD, au sens où (c'est pas trop dur à prouver) $\omega-ACD$ est équivalent à l'axiome du choix dépendant usuel.
J'ai lu quelque part les 2 énoncés suivants :
Théorème 1 : Modulo ZF, les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) $AC$ est vrai.
(2) $\gamma-ACD$ est vrai pour tout ordinal infini $\gamma$.
Théorème 2 : Soit $\gamma$ un ordinal infini. Si $\gamma-ACD$ est vrai, alors toute famille $J$ d'ensembles non vides telle que $Card(J)=Card(\gamma)$ possède une fonction de choix.
Je pense savoir prouver le théorème 2, et aussi que (1) implique (2) dans le théorème 1.
Ce qui me pose souci c'est l'implication (2) implique AC.
Mon problème est que, tant qu'on n'a pas AC, il y a forcément des ensembles qui en taille ne sont comparables avec aucun ordinal.
Je crains qu'il ne faille utiliser l'artillerie lourde des cardinaux généralisés, cardinal de Hartogs etc.
Si quelqu'un a une piste...
Soit $\gamma$ un ordinal infini et $X$ un ensemble.
On note $\gamma-ACD(X)$ l'assertion
"Pour toute fonction $F$ de $X^{<\gamma}$ dans $P(X)$ privé de l'ensemble vide, il existe une fonction $f$ de $\gamma$ dans $X$ telle que pour tout $\alpha<\gamma$, $f(\alpha)$ appartienne à $F(g_{\alpha})$, où $g_{\alpha}$ désigne la restriction de $f$ à $\alpha$".
On note par ailleurs $\gamma-ACD$ l'axiome : pour tout ensemble non vide $X$, $\gamma-ACD(X)$ est vraie.
$\gamma-ACD$ est une généralisation de ACD, au sens où (c'est pas trop dur à prouver) $\omega-ACD$ est équivalent à l'axiome du choix dépendant usuel.
J'ai lu quelque part les 2 énoncés suivants :
Théorème 1 : Modulo ZF, les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) $AC$ est vrai.
(2) $\gamma-ACD$ est vrai pour tout ordinal infini $\gamma$.
Théorème 2 : Soit $\gamma$ un ordinal infini. Si $\gamma-ACD$ est vrai, alors toute famille $J$ d'ensembles non vides telle que $Card(J)=Card(\gamma)$ possède une fonction de choix.
Je pense savoir prouver le théorème 2, et aussi que (1) implique (2) dans le théorème 1.
Ce qui me pose souci c'est l'implication (2) implique AC.
Mon problème est que, tant qu'on n'a pas AC, il y a forcément des ensembles qui en taille ne sont comparables avec aucun ordinal.
Je crains qu'il ne faille utiliser l'artillerie lourde des cardinaux généralisés, cardinal de Hartogs etc.
Si quelqu'un a une piste...
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Réponses
Pour (2) implique (1), ne peux-tu pas prouver Zorn à partir de $\gamma-ACD$ pour tout $\gamma$ ? Tu prends un ensemble inductif $(E,\leq)$ et tu supposes qu'il n'a pas de max. ça te donne une fonction $f$ de $E^{<\gamma}\to P(E)$ qui à une suite strictement croissante associe l'ensemble de ses majorants stricts (c'est toujours non vide par inductivité et par non existence de maximaux), et à une suite non strictement croissante associe n'importe quoi ($E$ est non vide donc tu peux mettre $\{e\}$ pour un $e\in E$ fixé).
Pour $\gamma $ trop grand ça te donne une contradiction pour des raisons évidentes.
Le point est que ton axiome te fournit des applications d'ordinaux vers des ensembles quelconques, et ça c'est bien pour définir des bons ordres :-D
(j'écris ça en étant pressé donc je fais peut-être une grosse c******ie)
Et oui, c'est bien ça, ACD de longueur $\gamma$.
Pour le reste je vais essayer de comprendre tes explications...
Comme $F$ est bien définie, tu prends le $f$ offert par $\gamma-ACD$.
Tu montres par induction que $f$ est strictement croissante, donc injective.
Comme tu peux faire ça pour tout $\gamma$, c'est donc que tous les ordinaux s'injectent dans $E$, ce qui est interdit par remplacement.
[En fait il s'agit d'un autre lemme dont tu m'avais donné la preuve il y a quelques mois, preuve que j'avais pris soin de noter quelque part (sage précaution)].
C'est bien ça ?
Et sinon, (1) => (2) est relativement facile (on choisit une fonction de choix $h$ sur $X$ et on définit $f$ par induction : $f(\alpha) = h(F(g_\alpha))$) et le théorème 2 est relativement amusant mais rien de compliqué non plus (prendre $X= \bigcup_{i\in \gamma} X_i$ et $F( g) = X_{\mathrm{dom} (g)}$ )
Pour (1) implique (2) j'avais plutôt envisagé de prendre un bon ordre sur P(X) - le vide et de me dépatouiller avec ça, mais ta méthode n'est pas mal non plus.
Bonne nuit