Une curiosité naïve : Russell linéaire ?

Maxtimax
Maxtimax
dans Fondements et Logique
Je rappelle la preuve usuelle (parfaitement intuitionniste !) du "paradoxe" de Russell :
Si $A = \{x \mid x\in x \to P\}$, alors $A\in A \to (A\in A\to P)$ donc $A\in A\to P$, donc $A \in A$ donc $P$.

Le point qui m'intéresse est le "donc" que j'ai mis en gras : il utilise $(q\to (q\to p)) \to (q\to p)$, qui se prouve moralement en dupliquant $q$, i.e. avec $q\to q x\and q$.

Il est "connu" que cette duplication n'existe pas en logique linéaire : on n'y a pas en général $q\to q \otimes q$. Cela mène forcément à la question (peut-être sans intérêt, et naïve) : a-t-on un paradoxe de Russell en logique linéaire ?

C'est naïf parce qu'il faudrait déjà donner un sens à une théorie des ensembles en logique linéaire, mais ici on n'a vraiment besoin que de la compréhension, donc je me dis que c'est jouable. De toute façon, dans les réponses, j'accepte "toute interprétation raisonnable de la question"

(Je me demande si j'ai pas déjà posé la question, mais je ne la retrouve pas)

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Cette famille de questions a plein de manifestations dans "il est facile de" en particulier la tienne y est mais je ne me rappelle pas son numéro.

    J'ai donné récemment à GG l'exercice de prouver que tu retrouves bien une contradiction affine (essentiellement linéaire) donc que la réponse à la question précise est oui on obtient une contradiction avec le reste du schéma non bridé de compréhension +extensionalite. Pour ne pas imposer à GG un spoiling je pourrai te l'envoyer en MP d'un PC.

    En attendant tu peux tenter de prouver SANS AC que si un espace vectoriel E est égal (en tant qu'ev) à L(E,E) alors dim E = 1

    De mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    On pourrait envisager $\{x \mid !(x \in x) \multimap P\}$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @foys le mieux est de prendre une phrase S telle que S=(!S implique TOUT) mais "ce n'est pas du jeu à cause de ! car c'est trop facile. Je pense que Max voudrait que ne soient pas utilisés les connecteurs n'existant pas déjà dans ZF. On réduit la logique et c'est tout.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Pour les lecteurs Foys a proposé S = (!S implique P) et j'ai fait P:= TOUT pour la "didactique du sujet". On veut "des bombes" :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    @max: voici le post où j'ai donné l'exo à GG. Déjà essaie de le réussir (malgré que tu sois probablement le plus fort du forum, il est assez possible que tu peines)

    Après tu pourras essayer d'utiliser ENCORE MOINS d'axiomes que ceux présents par émergence du fait qu'on a pris un anneau. Et probablement que ce faisant, tu répondras mieux que quiconque d'extérieur à ta propre question.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Merci pour les réponses,
    Oui Foys, j'aurais préféré rester avec les connecteurs usuels : je ne connais pas le $!$.
    Merci christophe pour les 2 exos, je vais y réfléchir (déjà le premier n'est pas évident !)
  • christophe c
    christophe c
    @max: ATTENTION, ce que tu appelles "le premier" et qui est, me semble-t-il, celui qui termine pas "que card(E)=1" pour l'ev E, n'est pas "un exercice". Je ne sais même pas si c'est faisable ou pas. Je te le signalais comme exemple de questions récentes de iefd parente de ton thème ouvert par ce fil.

    Le deuxième oui, c'est un exercice et c'est faisable (mais tu noteras qu'on a la puissance affine, qui ajoute le droit de poubelle à la linéaire)

    Si tu veux juste en modifiant un mot, un truc faisable, dans ce cas, tu peux prendre:

    Soit $E$ un espace affine EGAL à l'ESPACE AFFINE des applications affines de $E$ dans lui-même. Prouver sans AC que $card(E)=1$.

    En linéaire non affine, j'ai toujours eu la flemme de chercher si on peut transposer. Ca ne se fait pas de manière évidente évidente en tout cas (ou je suis devenu gâteux, "ou" non exclusif :-D )

    Rien à voir par précaution au cas où j'aurais froissé des gens, tu es MBappé, mail il y a plein de Platini sur le forum.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ah merci de préciser ! :-D je vais donc commencer par le deuxième
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone précision sur le signe "!"

    !X veut dire j'ai X à volonté (y compris 0 fois ie droit de le jeter).

    Ce que foys voulait signaler est que si X = !(X implique tout) alors :

    De X tu peux déduire X et X implique tout donc tout.

    Le raisonnement que je viens de faire peut être fait à volonté. Donc on a bien !(X implique tout), donc X donc Tout.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Bon pardon j'ai pris mon propre point fixe habituel foys en avait proposé un autre genre (parenthèses mises autrement )mais pas grave.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 16

Got66Lirone93Milaschristianmoselletroisqua +11 Invités