Les applications et les ensembles

Bonjour je n'ai pas compris le corrigé de cette exercice ci-dessous, est-ce que il existe une démonstration plus facile ?

Ce que précisément je n'ai pas compris dans la question 2 où on a utilisé hypothèse (f est surjective) et pourquoi on a traité seulement le cas où X intersection B = ensemble vide ? Qu'est-ce qu'il passe si on prend un X sous-ensemble de E tel que l'image de X est un ensemble non vide * ensemble non vide