Topos de faisceaux
Je crée ce fil pour dissiper tout l’impressionnisme et les implicites dans le domaine concerné.
1/ Je rappelle quelques bases sur les catégories.
1.1/ Une catégorie est un ensemble doté d'une opération associative PARTIELLE (souvent noté $\circ$), où les éléments (appelé flèches) ont une manière particulière de se composer. chaque flèche a une source et un but, et $a$ peut se composer avec $b$ et donner $a\circ b$ quand le but de $b$ et la source de $a$ sont égales. Il y a aussi des éléments partiellement neutres, etc
1.2/ Cela amène une définition classique avec des objets et des flèches. Voir google.
1.3/ On pourrait très bien définir ça en disant que la composition (l"opération) est totale via l'ajout d'un élément $0$ ou encore $undefined$, mais ce n'est pas très important.
1.4/ Une façon équivalente de les voir est de dire qu'une catégorie est un ensemble d'applications stables par composition et contenant les identités partielles (cette phrase traduit juste que toute catégorie est une sous-catégorie de la catégorie nommée ENS)
1.5/ La catégorie ENS est juste l'univers des ensembles doté de l'opération associative partielle "composition".
1.6/ Précision : dans ce paradigme une application est un triplet $(D,A,f)$ où $f\subset D\times A$ et pour tout $x\in D$, il existe un unique $y\in A$ (noté souvent $f(x)$) tel que $(x,y)\in f$.
2/ Catégories intéressantes.
2.1/ Il y en a plein (fonctions continues entre espaces topologiques, morphismes entre structures (groupes, etc), etc)
2.2/ Parmi les catégories intéressantes, il y a les catégories cartésiennes fermées.
2.2.1/ Catégories cartésiennes. Ce sont celles dotées d'un produit définissable comme suit. Pour tout couple d'objets $A,B$ de la catégorie, il existe un objet $P$ (et via l'axiome du choix, on peut s'amuser à "le choisir" et l'appeler $(A\times B,\pi_1, \pi_2)$, mais attention, ) et une flèche $\pi_1: P\to A$ et une flèche $\pi_2:P\to B$ tels que pour tout triplet $(X,u,v)$ avec $u: X\to A$ et $v: X\to B$, il existe un unique $w: X\to P$ tel que $u = \pi_1\circ w$ et $v=\pi_2\circ w$
2.2.2/ cartésienne-fermée CCC): c'est une catégorie cartésienne (donc où on a défini une opération produit comme ci-dessus) pour laquelle il existe (et on les choisit une fois pour toute) deux fonctions $eval, puiss$ vérifiant pour tous objets $A,B,C$ et toute flèche $f: (A\times
\to C$ que $curry(f,A,B,C): A\to (puiss(B,C))$ et $f = <eval (B,C), B> \circ (curry(f,A,B,C))$, avec les sources et buts qu'on devine (on singe juste le fait, dans le cas ensembliste que $curry(f,..)(x)(y)=f(x,y)$
2.2.3/ Les CCC permettent d'exprimer toutes les maths, certes de manière exotique, puisqu'on est privé d'une sorte de "passage à gauche" qui évaluerait le vrai et le faux.
2.3/ Les topos améliorent légèrement les CCC en permettant de donner un statut de phrases à certaines flèches d'une CCC ayant les bonnes propriétés (la CCC : pour s'appeler topos)
2.3.1/ Vite fait sur les topos : une flèche $f:X\to B$ et une flèche $g: Y\to B$ peuvent être considérées comme représentant une partie de $B$ (si c'étaient des ensembles, on parlerait d'image directe de X par f (et de Y par g), et ces deux parties sont égales quand blabla (choses qui s'expriment catégoriellement). Et bien les topos permettent de représenter cette égalité, donc de se donner l'impression de parler de "sous-ensembles de $B$". On peut donc y développer une logique (qui est intuitionniste) en regardant l'ensemble de "deux éléments" qui est "ensembles des parties de $1$ ($1$ voulant dire l'objet terminal qu'on a choisi une fois pour toute et qui est considéré comme étant un singleton)
3/ La GRANDE DÉCOUVERTE.
3.1/ Elle est très simple : il y a beaucoup de topos.
3.2/ Par exemple, si $C$ est une catégorie appartenant à un univers $V$ alors la catégorie $V^C$ est un topos, appelée "topos des préfaisceaux sur $C$" (enfin je crois, ou "modulo $C$")"
3.3/ La catégorie $V^C$ est celle dont les objets sont les foncteurs de $C\to V$ (en regardant $V$ comme la catégorie ENS qu'il induit) et les flèches les transformations naturelles.
3.4/ Le point 3.2 est juste dû au lemme de Yoneda
3.5/ Mais il semble y a avoir des exemples de topos plus intéressant que ceux de 3.2.
3.6/ Ce sont ce qu'on appelle les topos de Grothendieck. C'est une sous-catégorie pleine de $V^C$, mais on ne prend que certains objets, appelés faisceaux de $V^C$ qui sont ce que j'appellerai les "préfaisceaux cohérents", dont la définition est donnée en A1 ci-dessous
3.7/ Il se trouve que ces notions de faisceaux ayant été découvertes de plusieurs façons différentes, et qu'il y a un manuscrit écrit à la main de GaBuZoMeu (voir A2) qui les décrit de manière plus "allégée" (comme l'indique aussi la dernière phrase de maxtimax du post A1
3.8/ J'ouvre ce fil pour que toutes les précisions et tous les implicites soient levés et rien de plus dans cette spécialité. En particulier, une étude DU FAISCEAU PROPOSÉ PAR GBZM dans A3, où tout et archi précisé, y compris jusqu'à définir (ça ce n'est pas dur) et "prouver cette définition en termes de topos") l'algèbre de Heyting "P(1)" que GBZM utilise à l'adresse de dom dans A3
4/ Les astérisques : ce ne sont que des liens que je vais mettre à l'edit.
A1 : lien à mettre
A2 : lien à mettre
A3: lien à mettre
Et merci bien entendu de corriger par avance mes fautes dans ce qui précède, j'ai un taux de confiance de 97% disons :-D
1/ Je rappelle quelques bases sur les catégories.
1.1/ Une catégorie est un ensemble doté d'une opération associative PARTIELLE (souvent noté $\circ$), où les éléments (appelé flèches) ont une manière particulière de se composer. chaque flèche a une source et un but, et $a$ peut se composer avec $b$ et donner $a\circ b$ quand le but de $b$ et la source de $a$ sont égales. Il y a aussi des éléments partiellement neutres, etc
1.2/ Cela amène une définition classique avec des objets et des flèches. Voir google.
1.3/ On pourrait très bien définir ça en disant que la composition (l"opération) est totale via l'ajout d'un élément $0$ ou encore $undefined$, mais ce n'est pas très important.
1.4/ Une façon équivalente de les voir est de dire qu'une catégorie est un ensemble d'applications stables par composition et contenant les identités partielles (cette phrase traduit juste que toute catégorie est une sous-catégorie de la catégorie nommée ENS)
1.5/ La catégorie ENS est juste l'univers des ensembles doté de l'opération associative partielle "composition".
1.6/ Précision : dans ce paradigme une application est un triplet $(D,A,f)$ où $f\subset D\times A$ et pour tout $x\in D$, il existe un unique $y\in A$ (noté souvent $f(x)$) tel que $(x,y)\in f$.
2/ Catégories intéressantes.
2.1/ Il y en a plein (fonctions continues entre espaces topologiques, morphismes entre structures (groupes, etc), etc)
2.2/ Parmi les catégories intéressantes, il y a les catégories cartésiennes fermées.
2.2.1/ Catégories cartésiennes. Ce sont celles dotées d'un produit définissable comme suit. Pour tout couple d'objets $A,B$ de la catégorie, il existe un objet $P$ (et via l'axiome du choix, on peut s'amuser à "le choisir" et l'appeler $(A\times B,\pi_1, \pi_2)$, mais attention, ) et une flèche $\pi_1: P\to A$ et une flèche $\pi_2:P\to B$ tels que pour tout triplet $(X,u,v)$ avec $u: X\to A$ et $v: X\to B$, il existe un unique $w: X\to P$ tel que $u = \pi_1\circ w$ et $v=\pi_2\circ w$
2.2.2/ cartésienne-fermée CCC): c'est une catégorie cartésienne (donc où on a défini une opération produit comme ci-dessus) pour laquelle il existe (et on les choisit une fois pour toute) deux fonctions $eval, puiss$ vérifiant pour tous objets $A,B,C$ et toute flèche $f: (A\times
\to C$ que $curry(f,A,B,C): A\to (puiss(B,C))$ et $f = <eval (B,C), B> \circ (curry(f,A,B,C))$, avec les sources et buts qu'on devine (on singe juste le fait, dans le cas ensembliste que $curry(f,..)(x)(y)=f(x,y)$2.2.3/ Les CCC permettent d'exprimer toutes les maths, certes de manière exotique, puisqu'on est privé d'une sorte de "passage à gauche" qui évaluerait le vrai et le faux.
2.3/ Les topos améliorent légèrement les CCC en permettant de donner un statut de phrases à certaines flèches d'une CCC ayant les bonnes propriétés (la CCC : pour s'appeler topos)
2.3.1/ Vite fait sur les topos : une flèche $f:X\to B$ et une flèche $g: Y\to B$ peuvent être considérées comme représentant une partie de $B$ (si c'étaient des ensembles, on parlerait d'image directe de X par f (et de Y par g), et ces deux parties sont égales quand blabla (choses qui s'expriment catégoriellement). Et bien les topos permettent de représenter cette égalité, donc de se donner l'impression de parler de "sous-ensembles de $B$". On peut donc y développer une logique (qui est intuitionniste) en regardant l'ensemble de "deux éléments" qui est "ensembles des parties de $1$ ($1$ voulant dire l'objet terminal qu'on a choisi une fois pour toute et qui est considéré comme étant un singleton)
3/ La GRANDE DÉCOUVERTE.
3.1/ Elle est très simple : il y a beaucoup de topos.
3.2/ Par exemple, si $C$ est une catégorie appartenant à un univers $V$ alors la catégorie $V^C$ est un topos, appelée "topos des préfaisceaux sur $C$" (enfin je crois, ou "modulo $C$")"
3.3/ La catégorie $V^C$ est celle dont les objets sont les foncteurs de $C\to V$ (en regardant $V$ comme la catégorie ENS qu'il induit) et les flèches les transformations naturelles.
3.4/ Le point 3.2 est juste dû au lemme de Yoneda
3.5/ Mais il semble y a avoir des exemples de topos plus intéressant que ceux de 3.2.
3.6/ Ce sont ce qu'on appelle les topos de Grothendieck. C'est une sous-catégorie pleine de $V^C$, mais on ne prend que certains objets, appelés faisceaux de $V^C$ qui sont ce que j'appellerai les "préfaisceaux cohérents", dont la définition est donnée en A1 ci-dessous
3.7/ Il se trouve que ces notions de faisceaux ayant été découvertes de plusieurs façons différentes, et qu'il y a un manuscrit écrit à la main de GaBuZoMeu (voir A2) qui les décrit de manière plus "allégée" (comme l'indique aussi la dernière phrase de maxtimax du post A1
3.8/ J'ouvre ce fil pour que toutes les précisions et tous les implicites soient levés et rien de plus dans cette spécialité. En particulier, une étude DU FAISCEAU PROPOSÉ PAR GBZM dans A3, où tout et archi précisé, y compris jusqu'à définir (ça ce n'est pas dur) et "prouver cette définition en termes de topos") l'algèbre de Heyting "P(1)" que GBZM utilise à l'adresse de dom dans A3
4/ Les astérisques : ce ne sont que des liens que je vais mettre à l'edit.
A1 : lien à mettre
A2 : lien à mettre
A3: lien à mettre
Et merci bien entendu de corriger par avance mes fautes dans ce qui précède, j'ai un taux de confiance de 97% disons :-D
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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"Toute catégorie est une sous-catégorie de ENS" : si tu fixes un univers $V$ (que tu décrètes être ENS) il y a des catégories (dont l'ensemble d'objets est une partie, pas élément de $V$, mais dont les hom-sets sont des éléments de $V$) qui n'ont même pas de foncteur fidèle ( = injectif sur les hom individuels) vers ENS, alors sous-catégorie ... :-D
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Oui je n'ai pas voulu s'attarder sur ce détail petit/grand. Elles seront toutes petites. De mon téléphone.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je continue un dialogue entamé dans un autre fil pour structurer les thèmes, j'ai changé de fil.
@GBZM ................................... pour éviter de polluer le présent fil. Donc si tu veux tu pourras m'y répondre. J'ai pris note de tes exos. En mode rapide, je peux te dire précisément ce que je ne "comprends pas" :-D et c'est très simple:
1/ pour moi un faisceau est un cas particulier de préfaisceau. J'en suis resté là et nulle part ailleurs. Pour max et toi, il semble facile de voir que "ça revient au même que" suivi d'une description bcp plus légère. Je vous lis comme si je lisais un discours politique en allemand :-D . Je ne vois (mais je ne dis pas que ce n'est pas de ma faut) aucun préfaisceau (cadire de foncteur d'une catégorie dans ENS) pointer son nez (et je reconnais que, ayant une certaine expérience des experts, c'est bien moi qui fais preuve de cécité pas de problème!!!)
2/ Je ne suis pas du tout familier avec le vocabulaire "fibre, sous-faisceau, section, etc'Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour les lecteurs encore plus débutant que moi, je précise un poil ce qu'est un topos (en plus des précédents infos quej'ai données dans premier post.
1/ Comme je disais on peut tout faire avec des CCC. Pourquoi aller se prendre le chou avec des topos.
2/ Réponse: très bête, parce qu'on les a alors autant en profiter.
3/ Je précise un peu ce "qu'être un topos" ajoute à "être une CCC", car j'ai été laconique (je vais l'être encore par manque de dispo, mais je reviendrai).
3.1/ $f: A\to B$ étant une flèche, on "fait semblant de croire" qu'elle désigne une partie de $B$ (l'image directe de $A$ par $f$). C'est excitant, entre autre, parce qu'on a envie "d'inventer ou découvrir" une définition avec le langage catégorique (c'est à dire la seule opération associative non logique $\circ$) du mot $Im(f)\supset Im(g)$ où $g$ a le même but que $f$, mais pas forcément la même source (ie $g: C\to B$)
3.2/ On peut le faire lol. Je le laisse en exo.
3.3/ Mais on peut avoir envie d'aller .. encore plus loin et avoir une traduction en "objet ou flèche" dans le topos "du résultat".
3.4/ Et bien une CCC est par définition un topos quand on peut le faire, ie quand on a des fonctions caractéristiques pour toutes les images directes de monomorphismes** et qu'en plus elles marchent bien, ie vérifient entre autre l’extensionnalité, à savoir que l'inclusion dans les 2 sens entraîne l'égalité).
3.5/ En symboles ça s'écrit "pour toute flèche monomorphique $f:A\to B$, il existe une fonction caractéristique $\sigma$ qui est une flèche de $B$ dans**** $\{vrai; faux\}$ qui est celle de l'image directe de $A$ par $B$. (On simule les ensembles sans les avoir).
3.6/ Remarque: techniquement, on a fait passer $B$ de droite à gauche!!! Et ça énormément économiser de longueur detexte par rapport à une CCC, où il faudrait tout le temps rester à droite
** je pense que le choix de s'être restreint aux mono et non aux flèches quelconques doit êrte le fruit de tâtonnements longs des chercheurs et découvreurs de cette spécialité. A priori, ça n'a pas trop de sens, mais c'est une affaire de ne pas vouloir forcer l'axiome du choix (et avec le temps et la découverte des topos de Grothendieck, j'imagine que les monos s'imposaient dans la définition et alors que pour les flèches quelconques, il fallait PROUVER l'existence de la fonction caractéristique
*** Evidemment, $\{vrai; faux\}$ n'est pas un objet du topos, on lui a substitué un succédané rigolo dont je parlerai plus tard.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu peux préciser ton 1) ? Je ne sais pas à quel fil tu fais référence mais si tu précises ta cécité ( :-D ) je pourrai (peut-être ?) te répondre
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@Christophe :Christophe a écrit:Les CCC permettent d'exprimer toutes les maths
Après tout tes discours sur les fondations ensemblistes, etc. ça ressemble à un revirement ! -
Oui max merci de mon téléphone et bien j'en suis resté au fait que un faisceau c'est un prefaisceau particulier. C'est à dire un foncteur de C dans ENS, ayant la propriété de cohérence que tu m'as fournie pour s'appeler faisceau plutôt que prefaisceau.
J'ai aussi compris dans le cas particulier des espaces topologiques la petite catégorie utilisée par GBZM qui est l'ensemble ordonné par inclusion inverse des ouverts de l'espace topologique et j'ai bien compris quel espace est choisi par G BZM puisqu'il a bien précisé quel est son espace topologique et il a même proposé un deuxième espace topologique dans l'exercice qu'il m'a donné celui des ultrafiltre Suresnes (je laisse plutôt que remplacer par "sur IN")
Et bien à partir de ça je ne vois pas de quels prefaisceau il parle quand il parle de ses faisceaux. Je ne vois sur quoi sont envoyés les ouverts, je ne vois pas dur quoi est envoyé la flèche "supset" entre 2 ouverts (restriction certes , mais de quoi à quoi).
Pardon à la modération je corrigerai mon poste plus tard mais là je ne peux hélas pas le faire donc du coup je pense que Max réussira juste à travers ce que mon téléphone a écrit sous la dictée à comprendre de quoi je parle promis dans la journée je corrigeAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
GA : pardon ce n'était pas mon sujet j'aurais du écrire CODER toutes les preuves de science (comme on peut le faire dans le groupe libre à deux générateurs ou dans l'arithmétique etc.
Il n'y a pas de revirement: coder n’est pas fonder. L'ensemblisme est le seul paradigme où on ne code pas, où on dit les choses directement et comme n'importe qui les pense.
Je précise que l'enjeu est "tout avec un signe associatif ou pas". Les CCC ont plein de dignes non associatifs.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'aime bien les "ultrafiltres Suresnes".
Nul ne sort de Suresnes qui souvent n'y revienne. -
Bonjour christophe c,
je te remercie pour l'initiative de ce fil. Je me permets d'y insérer un lien, le même que dans un autre fil. Nous pourrions nous appuyer sur ce texte et celui de GaBuZoMeu pour essayer de mieux comprendre les topos.
Ta perspective logicienne personnelle est aussi intéressante, mais tu as vu, j'ai eu du mal avec le mois dernier. Je ne sais pas si j'aurais plus de possibilités de la comprendre à l'avenir.
ignatus. -
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Merci ignatus et je signale aux lecteurs que la définition du mot "topos" se trouve à la page 27-28 du document que tu as mis en lien. Et, comme toujours dans ce domaine, l'équivalence avec les définitions qui trainent ailleurs ne sont pas .. évidentes.
Par contre, le document est "enfin" un document rigoureux qui laisse relativement peu de place à l'ambiguité ou aux implicites.
Dans la définition page 27-28, seule la notation limite soulignée n'est pas documentée (probablement parce que le doc s'adresse à des gens censés la connaitre :-D comme d'hab ) .
Et bravo à Laurent pour sa concision. Dommage que les gens se focalisent sur son orientation morale concernant l’enseignement.
@ignatus, je te rappelle qu'il te suffit de taper "topos, Laurent ALAIN Prouté" pour probablement avoir un lien direct, via google vers le bon cours (de 400 pages hélas) de LP sur les topos sur sa page.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Georges Abitbol: Les catégories cartésiennes fermées sont une sémantique pour le lambda calcul (ou la logique combinatoire) simplement typé, formalisme dans lequel on peut exprimer quasiment toutes les mathématiques.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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@max, je te cite, car ça t'aidera peut-être à m'aider.
Tu as écrit:max a écrit:C'est justifié par le fait que tout faisceau est naturellement isomorphe à un faisceau de sections d'une application, donc à un faisceau de fonctions où les "restrictions" sont des vraies restrictions
tu as écrit ça quand tu m'as décrit la condition de cohérence pour qu'un préfaisceau soit un faisceau.
Et bien cette phrase est du total chinois pour moi à cause de:
1/ je ne sais pas ce que veut dire faisceau de sections d'une application
2/ Quand tu écris faisceau de fonctions où les "restrictions" sont des vraies restrictions, je ne sais pas ce qu'est un faisceau de fonctions ni si restriction s'applique par image directe (ie on prend la restriction de chaque fonction d'un ensemble de fonction) ou par image authentique.
3/ Je crois deviner que GBZM utilise la partie droite dans tout faisceau est naturellement isomorphe à un faisceau de sections d'une application
En vertu de quoi, quand il a décrit une situation à dom, bien entendu, je ne peux que valider son post, mais je ne peux absolument pas VERIFIER la légitimité d'affirmer que les continues de $X\to \R$ sont bien le $\R$ de son topos, ni que les localement constantes à images rationnelles sont bien le $\Q$ de son topos. (Partie qu'il ne prétendait de toute façon pas exposer à dom).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je précise ce que vient d'écrire foys: il faut ajouter "à condition de mettre en hypothèse les choses qu'on veut, mais c'est déjà pas mal". Par exemple, si tu veux un univers ensembliste, tu peux exprimer dans une CCC qu'un uplet d'objet "soit" un modèle de ZF. C'est certes artificiel, mais pas plus que gérer des topos ou d'appliquer Matiyasevic. Mieux, tu peux faire des trucs rigolo comme te demander si, dans une CCC ayant un isomorphisme entre $A$ et $B^A$ tu peux à partir de là exprimer que $B$ a le cardinal 1, etc.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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NB: c'est "Alain Prouté".christophe c a écrit:@ignatus, je te rappelle qu'il te suffit de taper "topos, Laurent Prouté" pour probablement avoir un lien direct, via google vers le bon cours (de 400 pages hélas) de LP sur les topos sur sa page.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
olala merde, mon excuse est juste une confusion entre Laurent Lafforgue et Alain Prouté :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Merci foys en tout cas!!!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je réponds ici à ton questionnement ignatus parce que c'est facile de répondre et que je ne peux pas poster dans ton fil.
C'est l'éternelle histoire d'avoir $\phi: E^2\to E$ telle que il y a un maximum de $f\in E^E$ vérifiant $\exists a\in E\forall x\in E: f(x)=\phi(a,x)$
Si on a ça pour toutes les $\in E^E$, alors $card(E)=1$. Donc les gens "se modèrent" (l'approche catégorielle leur permet de moins limiter le "beaucoup" en plus limitant le typage), mais fantasmeront éternellement sur l'internalisation d'un objet externe.
Comme les catégories sont essentiellement des ordres à une sorte d'analyse des flèches près, et comme le fait de supposer que certains ordre sont complets a le même effet que supposer $E^E=E$, ils font exister certaines bornes sup et pas d'autres dans leurs hypothèses (ou sont contents de les trouver par preuves).
La représentation des groupes étudie juste les "modèles" d'un groupe vu comme "axiome syntaxique qu'il serait". J'avoue ne pas forcément trouver de métaphores rapprochant les 2 activités.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
christophe c écrivait:
> 2/ Quand tu écris faisceau de fonctions où les "restrictions" sont des vraies
> restrictions, je ne sais pas ce qu'est un faisceau de fonctions ni si restriction
> s'applique par image directe (ie on prend la restriction de chaque fonction d'un ensemble de
> fonction) ou par image authentique.
P....n ,ce n'est tout de même pas la mer à boire que de comprendre que le faisceau des fonctions continues à valeurs réelles sur un espace topologique $X$ est le faisceau $\mathbb R_X$ défini par $\mathbb R_X(U) =$ l'ensemlble des fonctions continues $U\to \mathbb R$ ! Et que si $V$ est un ouvert contenu dans $U$, le morphisme de restriction $\mathbb R_X(U)\to \mathbb R_X(V) $ envoie une fonction continue sur $U$ sur sa restriction à $V$ !
> En vertu de quoi, quand il a décrit une situation à dom, bien entendu, je ne peux que valider son
> post, mais je ne peux absolument pas VERIFIER la légitimité d'affirmer que les continues de $X\to
> \R$ sont bien le $\R$ de son topos, ni que les localement constantes à images rationnelles sont
> bien le $\Q$ de son topos. (Partie qu'il ne prétendait de toute façon pas exposer à dom).
J'en donne une esquisse de preuve dans mes notes que tu ne t'es jamais donné la peine de lire. Et il y a plein d'autres sources où c'est expliqué. En passant, je rappelle qu'il ne s'agit pas de n'importe quels réels, mais des réels au sens de Dedekind ; les réels au sens de Cauchy dans un topos ne sont pas très intéressants.
Si tu tiens absolument à discourir sur les topos, fais au moins l'effort de te renseigner correctement. (Ton discours m'agace pas mal, comme tu peux t'en rendre compte). -
C'edt ma faiblesse qui t'agace mais merciiiiii!! En effet, j'ai probablement BEAUCOUP PLUS LU ET REPARCOURU ton pdf que tu ne l'imagines, mais je crois que tu me sur estimes ou sous estimes l'importance et la difficulté du changement de cadre. Je me se que tu te doutes que si je comprenais je ne poserai pas de questions . Je vais relire ton pdf à nouveau mais si je peux (j'ai pas mal de souci je tourne en sous régime sur le forum) je penserai à te poser des questions précises et localisées.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Christophe : je n'ai pas tout lu, et je ne sais pas si quelqu'un a répondu à ta question. Si ce n'est pas le cas, promis je regarde plus tard et je te rèponds !
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Merci Max. GBZM m'a donné la définition de SON faisceau de l'autre fil. J'aurais besoin de sa oir si le topos de faisceaux construit à partir d'un espace topologique X ne contient que ce genre de faisceaux (obtenu comme GBZM en remplaçant IR par un espace topologique Y). J'imagine que non.
De même quel faisceau du topos peut il jouer le rôle de P(1) (resp 0; 1). Je sais bien que l'ordre est isomorphe à celui des ouverts de X. Mais ...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon j'ai repéré dans le poly de GBZM le faisceau constant IN. Ça m'aiguille un peu.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Pour la dernière question : c'est le faisceau $\Omega$ défini par $\Omega(U) =$ l' ensemble des ouverts contenus dans $U$. Je te laisse deviner les morphismes de restrictions et vérifier que c'est bien un faisceau.
Ça se retrouve par Yoneda $\Omega(U)=\mathrm{Hom}(h_U, \Omega)= $ l'ensemble des sous-faisceau de $h_U$, le faisceau représenté par $U$. -
Merci.
Si V inclus dans U alors le morphisme est-il X |----> X inter V?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
C'est un peu à part mais je sais que je l'ai su et l'ai oublié , je n'arrive plus à me rappeler pourquoi Yoneda rend "évident" que ENS^C est un topos. J'avais dit "mais c'est bien sûr à Anatole" puis n'ai jamais revisité le truc. Bon après il y a la fatigue et les soucis.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Je précise mes buts et méthodologie.
Je souhaite rapprocher ça de ce que je connais qui est extrêmement simple: forcing et realisabilite.
Ces paradigmes ne font pas la chasse à $\in$ ils changent juste {vrai; faux} en autre chose. Et tout en découle.
la valeur de "u dans v" cesse d'être vrai ou faux mais (par exemple) devient l'ouvert obtenu en réunissant tous les ouverts W tels que (u,W) vieuxdans v.
Le reste SE DEDUIT sans connaissance ni vocabulaire. Il n'y a pas de flèches de type etc. Seule l'extensionnalite est une "ville à prendre d'assaut".
Pour le toposisme je n'y arrive pas entre autre car chaque fois que j'ouvre un doc immédiatement surgissent 10 mots que je ne connais pas et des implicites.
Mais mon seul but est de trouver les bases et les raccourcis présents dans les cerveaux des gens entraînés (ici max et GBZM). J' l'impression peut être fausse que le toposisme a pris d'assaut la ville extensionnalite avant tout autre chose et m'a rendu le truc complètement crypté.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si V inclus dans U alors le morphisme est-il X |----> X inter V?
Qu'est-ce que ça pourrait être d'autre ? Exercice : vérifier que ça fait bien un faisceau ! -
Merci, je vais essayer.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@max et GBZM, je n'ai pas la dispo pour faire l'équivalent d'une année d'étude sur les catégories. Déjà, je n'ai jamais fait le moindre exo de maths (en caricaturant) et je ne suis pas d'une nature "entrainée". Je comprends (ou pas) les choses, mais je ne les acquiers pas par "habitude" et entrainement.
Je pense avoir bien compris que la communauté "topos" se protège (inconsciemment) en présentant souvent ce qui lui plait (la disparition de $\in$), la reconstruction formelle, etc, comme en témoignent lemme de Yoneda, carré cartésiens, etc (jamais présentés sous leur signification triviale, car olala, ça rappellerait trop qu'on prend juste une borne sup ou ceci-cela)
Ce qui me plairait, si vous le pouvez, c'est que vous me présentiez les topos "à l'endroit", c'est à dire pas comme une catégorie, mais comme un univers-autant-que-possible. Si je demande ça, c'est parce que j'ai bien cru que ça semblait possible, vu ce que tu as raconté à dom GBZM, et c'est de là qu'est venue "mon désir compulsif" de relancer, car tu as dit des choses où un $\in$ apparaissait clairement dans ton intuition exprimés (tu exposais les situations de $\sqrt{2} \in \Q$ de sa négation, de sa double négation, etc).
Je ne pense pas que je serai de sitôt dispo pour une reconstruction par les flèches. Je pense que ça demande de faire des dizaines d'exercices galériens. Je peux comprendre que les ayant faits, vous trouveriez que ce serait "fort de chapeau" de transmettre vos intuitions neuronalement construites
Mais je n'y peux rien, je préfère être honnête.
Je connais actuellement 2 (enfin 3 avec la réalisabilité que je ne vais pas évoquer) façons, triviales en termes de définition (ce qu'on en fait est efficace) de parler d'un univers virtuel où on a changé les valeurs de vérité:
1/ Le forcing: sa définition est qu'étant donné un ordre complet $Q$, on remplace la valeur de $a\in b$ par $a\in b:= sup (\{p\in Q\mid (a,q)\in b\})$. Une fois ça fait, l'affaire est réglée, pas besoin de s'empiffrer de milliers de pages Grothendieckiennes, ou des centaines plus modernes, tout énoncé mathématique a une valeur située dans $Q$ et c'est réglé.
2/ L'ultraproduit (ou plutôt le filtre-produit): on a un ensemble d'incides $J$ et notre univers $V$ et on regarde $V^J$. Si l'on veut éviter de rester dans la bête et méchante algèbre de Boole $F_2^J$ pour ses valeurs de vérité, qu'à cela ne tienne on décrète que $[f\in g]:= $ l'intérieur de $\{i\in J\mid f(i)\in g(i)\}$ après avoir mis une topologie sur $J$. Et idem, une fois ça dit, c'est réglé!!!! Chaque énoncé à une valeur (qui est un élément de la topologie qu'on a mise sur $J$) et on peut commencer à discuter sérieusement des valeurs de tels ou tels énoncés. Eventuellement on peut quotienter.
Le parcours du pdf de GBZM me donne à penser (vu le nombre de fois où il dit "fibre par fibre" ) me laisse penser qu'on serait peut-être plus proche de (2) que de (1). Mais je n'ai que de "vagues sensations" pas du tout sûres, même si j'ai bien compris que les topos de préfaisceaux sont "essentiellement" dans la lignée de (2)
Ce n'est pas colérique, c'est juste une demande que s'il existe des tuyaux de "bouche de druides à oreilles de druides", je veux bien les connaitre, je n'ai pas eu la chance d'avoir suivi le moindre cours de maths "d'humain à humain" de ma vie, et je pense que l'armada catégorique (son inflation incroyable de vocabulaire, etc) est un truc qui s'apprend en cours.
Je pense avoir compris comment on simule l'ensemblisme dans les catégories (c'est pas franchement méchant, on considère juste les flèches monomorphes comme le nom de leur image directe), et pourquoi on est content d'avoir des topos (puisque cette simulation marche bien avec eux). Sauf que je ME FICHE TOTALEMENT de l'extensionalité et que j'ai comme grosse crainte que le cryptage terrible de cette spécialité provienne des efforts d'extensionalisation du cadre (on le voit d'ailleurs à quel point c'est fait exprès, quand on demande que deux mono ayant même image donnent la même fonction caractérisitique dans la définition), alors que JUSTEMENT j'amerais savoir ce que ça donne HORS-EXTENSIONALITE!!! Purée, si Cohen avait commencé par l'extensionalité, on en serait encore à l'exégèse de sa découverte et à réfléchir si la preuve est valable. Heureusement qu'il n'a pas procédé ainsi.
Merci de pardonner ce ton un peu déprimé.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour ne pas frustrer les lecteurs autres et que ça ne me coute que quelques secondes, je précise la 3ième façon (la réalisabilité):
On n'a pas d'ordre. On dispose d'un ensemble d'environnement $E$ et les phrases vivent dans $P(E)$. On a des robots. De plus on a un paradis, que j'appelle $Z$ et une opération qui inscrit $r$ dans l'environnement $e$, notée $+$.
Et une phrase peut être vues comme attaquant ses éléments.
Un robot $r$ garantit une phrase $P$ quand le couple $(r,x)$ est dans le paradis pour tout $x\in P$.
La phrase $A\to B$ est juste l'ensemble des $r + e$ tels que $r$ garantit $A$ et $e$ attaque $B$
La phrase $\forall xR(x)$ est juste la réunion des $R(a)$ quand $a$ parcourt l'univers.
Les éléments de la phrase $a\in b$ sont les $e\in E$ tels que $(a,e)\in b$.
Idem: sachant ça, c'est réglé, on n'a plus qu'à étudier quels robots garantissent quelles phrases. La phrase "tout", comme son nom l'indique est $E$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu as eu une définition de faisceau sur un espace topologique que tu disais avoir comprise.
Je t'ai défini un préfaisceau $\Omega$ sur un espace topologique, tu as vu quels sont les morphismes de restriction.
Il te reste à vérifier que $\Omega$ est un faisceau.
Pas besoin d'une année d'étude sur les catégories pour ça, c'est vraiment complètement au ras des pâquerettes !
As-tu vraiment essayé ? -
Oui je suis d'accord je ne discutais pas ce POINT LA et je pense avoir compris à peu près ce que veut dire le mot faisceau.
Je suis sur mon téléphone. Mais je vais essayer d'etre ultra-précis sur ce que je désirerai savoir faire dans pas trop longtemps une fois qu'on m'a donné une catégorie et dit que c'est un topos
1/ trouver vite le oméga (ie le P(1)), le 0 et le 1
2/ trouve vite U croix V quand j'ai U,V
3/ trouver vite U^V et les flèches qui vont avec
4/ trouver vite le = indice U quand j'ai U.
À la rigueur le reste me préoccupe BEZUCOUP moins et de toute façon P(X) c'est essentiellement omega^X
Je pense que si je faisais ton exo je passerai 1 à 2H à m'arracher les chvx sur de la rédaction (dyscalculie) mais qu'en plus je n'en tirerai pas ce qu'est par exemple F^G quand F,G so t deux prefaisceau sur une catégorie C à valeurs dans ENS.
Et pardon d'être aussi capricieux.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je vais me confier, comme ça , ça vous aidera peut-être à m'aider, max et toi.
Je ne suis pas quelqu'un dénué de passé, je suis logicien et émotif, c'est ce qui fait de moi un mathématicien. Mais je n'ai que ça. Aussi les entraînements ont tendance à m'exclure, ainsi que les explications pédago issues d'entrainement.
Par exemple, je maitrise un peu mieux ma lecture de ton pdf, mais au début, dès que j'ai vu les petites coquilles (des circ intervertis, ou des "au dessus de $x$"), ça m'a complètement envoyé dans le décor car je n'avais pas de vue global avec le reste du vocabulaire (fibre, germe, etc) qui semble pourtant être le bagage assez courant de beaucoup d'étudiants en fin de cursus. Bon, il se trouve qu'apparemment j'ai des lacunes.
Mais de l'autre côté, j'ai des atouts (par exemple j'ai acquis le forcing en une seule soirée, forcé par un exam le lendemain), et mes émotions froides me permettent de n'avoir aucun problème à concevoir un réel "flou", un espace top $(E,T)$ étant donné comme une application croissante $f$ de ** $\Q$ dans $T$, l'ordre sur $T$ étant l'inclusion et $f(q)$ signifiant "probabilité que $x\leq q$".
Comme de plus, en ensemblisme, il est assez rare qu'on traite autre chose que la hiérarchie cumulative (ie $0; P(0); P(P(0)); \dots$ and so on jusqu'en haut des ordinaux, ça ne me dérange pas, pour chaque topos, de reconstruire les choses comme ça (cumulativement).
Je pourais donner des multitudes d'exemples. Mais je cherche surtout sur ce paradighme toposique général peut être récupéré comme ça, ou s'il est inaccessible à tout béotien non entrainé en top alg ou geo alg. (ou catégorie)
Je crois aussi avoir "bien compris" (ce que je trouve bizarre d'ailleurs), qu'une partie de l'activité consiste à dés-extensionaliser pour ré-extensionaliser (tes espaces étales par exemple, consistant à donner "plusieurs noms" à un même point qui sera retrouvé en pliant (ou tordant la feuille étale). Ca ne m'étonne pas, on retrouve ça en remarquant que l'ensemble des cardinaux avec les applications comme flèches entre eux est un topos, et finalement tout le taf est reporté sur les flèches, les éléments des cardinaux ne servant que d'étiquettes.
Mais une fois de plus, je voudrais bien insister que la guerre faite à $\in$ n'est pas justifié. En fait, contrairement à ce qu'on croit, on utilise très peu $\in$ avec autre chose que des ensembles qu'on a définis dans 99% des maths. C'est donc dommage de développer un savoir-faire et une artillerie qui l'occulte à ce point. $\in$ ne vient que pour abréger bien souvent un ensemble défini de sorte qu'il est DEFINI par cette définition quand on met des trucs à sa droite et le nom de l'ensemble défini à sa gauche.
** $\N$ et $\Q$ n'étant pas touché, j'imagine par grand chose dans ce bas monde, donc pas par les topos.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour info, je ne sais faire 2-3 que pour les foncteurs partant d'une catégorie ayant 2 objets et en plus même pour elle, je ne sais pas faire le 4 (ni le 1).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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L'exercice ras-des pâquerettes que je t'ai proposé visait à faire connaissance avec le $\Omega$ du topos des faisceaux sur un espace topologique $X$.
Je reviendrai quand tu l'auras sérieusement considéré au lieu d'écrire des trucs comme
Côté ésotérisme, ce n'est pas mal. Mais, excuse-moi, ce n'est pas ma tasse de thé.Je crois aussi avoir "bien compris" (ce que je trouve bizarre d'ailleurs), qu'une partie de l'activité consiste à dés-extensionaliser pour ré-extensionaliser (tes espaces étales par exemple, consistant à donner "plusieurs noms" à un même point qui sera retrouvé en pliant (ou tordant la feuille étale). -
Merci je te fais confiance que oméga est un faisceau. Mais tu ne m'as pas donné comme exercice de prouver que oméga est bien P(1) ni de construire une flèche certes arbitraire de 1 vers oméga. Et je ne pense pas savoir qui est 1 (ni même 0) dans ce topos.
Aurais tu des suggestions raccourcissant. Je viens de revisiter la page de A Prouve qui détaille tout. Il fait littéralement du calcul mais comme il porte les sources et buts je vais galérer qu'à d j'etudierai sa preuve calculatoire (que mon cerveau refuse obstinément de voir les symboles partent dans tous les sens)
Si tu veux tu peux te contenter d'apporter des remarques complémentaires à ce que fait AP. Des "raccourcis intuitifs" en fonction des confidences que j'ai faite sur ce que j'intuite bien.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je m'étonne que tu ne voies pas que l'exercice que je te propose est le suivant (juste la traduction des définitions) :
Soit $U$ un ouvert de $X$, $U=\bigcup_{i\in I} U_i$ un recouvrement ouvert. On se donne une famille $(V_i)_{i\in I}$ telle que pour tout $i\in I$, $V_i$ est un ouvert de $U_i$ et que pour tout $(i,j)\in I^2$, $U_i\cap V_j=U_j\cap V_i$. Montrer qu'il existe un unique ouvert $V$ de $U$ tel que, pour tout $i\in I$, $V_i=V\cap U_i$.
Vraiment, tu as besoin de me faire confiance pour démontrer ça ? -
Je pense que christophe c a été traumatisé par le petit poly manuscrit (qui fait la part belle aux espaces étalés, ce qui rend $\Omega$ plutôt incompréhensible)
NB: Soient $(X,\tau)$ un espace topologique, $F(U)_{U\in \tau}$ une famille d'ensembles, et pour tous $U,V\in \tau$ tels que $U\subseteq V$, soit $\rho_{U,V}$ une application de $F(V)$ dans $F(U)$. On dit que $F,\rho$ est un faisceau (d'ensembles) lorsque:
F1°) pour tout $U\in \tau$, $\rho_{U,U}$ est l'identité de $F(U)$, et pour tous $U,V,W$ tels que $W\subseteq V \subseteq U$ $\rho_{U,V} \circ \rho_{V,W} = \rho_{U,W}$ (autrement dit $(F,\rho)$ est un préfaisceau de la catégorie des ouverts de $X$)
F2°) pour toute famille d'ouverts $(V_i)_{i\in I}$ et pour toute famille $(s_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} F(V_i)$, si pour tous $k,\ell \in I$ on a $\rho_{V_k \cap V_{\ell}, V_k} (s_k) =\rho_{V_k \cap V_{\ell}, V_{\ell}} (s_{\ell}) $, alors il existe un unique $t\in F\left ( \bigcup_{i \in I} V_i\right)$ tel que pour tous $k \in I$, $\rho_{V_k, \bigcup_{i \in I} V_i}(t) = t_k $ (condition de "recollement").
*****
exemples: 1°) Quand $Y$ est un espace topologique, $F(U):= \mathcal C^0(U,Y)$ et si $U\subseteq V$, $\rho_{U,V}(s):=s|_U$ (restriction de $s$ à $U$). La condition F2°) est trivialement satisfaite.
2°) On garde les notations de 1°) et on considère une fonction $p:Y \to X$ qui est un homéomorphisme local. On appelle section d'un ouvert $U$ un $s\in C^0(U,Y)$ tel que $p \circ s = id_U$. On note $\Gamma(U,Y)$ l'ensemble des sections de $U$. il est clair que si $U\subseteq V$, la restriction à $U$ d'un élément de $\Gamma(V,Y)$ appartient à $\Gamma(U,Y)$ et que cette structure satisfait F2°) (avec $\rho_{V,W}:= t\in \Gamma(W,Y) \mapsto t|_V \in \Gamma(V,Y)$).
Il s'avère que tout faisceau est isomorphe à un faisceau du type de celui décrit en 2° pour un espace $Y$ unique à homéomorphisme près (commutant avec $p$).
On appelle les applications $\rho_{U,V}$ des restrictions pour cette raison.
3°) l'application $\Omega$ qui à un ouvert $U$ de $X$ fait correspondre l'ensemble des ouverts de $X$ contenus dans $U$ est un faisceau (avec restrictions $A \in \Omega(U) \mapsto A \cap V \in \Omega(V)$)Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci de répéter la définition du faisceau $\Omega$, Foys. :-D
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J'ai vérifié que je ne spoilais pas l'exo (ce qu'il en reste) pour Christophe http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1889932,1891468#msg-1891468 normalement c'est bon B-).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Merci à vous 2, et merci foys d'avoir récapitulé tout ça. Je crois que GBZM me reproche mon manque de disponibilité sans s'en rendre compte. Je ne vais pas jouer à raconter tous mes soucis extérieures au forum, mais j'ai essayé de poster suffisamment pour dire ce que je cherche.
L'exercice ne me posait pas de problème en soi, mais une fois que max m'avait donné la def de "être faisceau" quand on est déjà un préfaisceau je ne l'ai pas apprise par coeur, j'ai juste retenue "ok, c'est une condition de cohérence point barre".
Faire l'exo de GBZM m'aurait pris du temps de recopiage de la def, donc d'aller la reprendre chez max, etc.
Or ce n'est pas ce que je recherche. Je ne souhaite pas devenir un expert en toposisme car je n'ai pas le temps, j'essaie d'acquérir des raccourcis intuitifs que je transformerai ultérieurement en définitions formelles, mais drastiquement simplifiées (sans types) du paradigme général.
En tout cas merci de vos contributions. Attendons de voir si max, qui souvent me lit in extenso, s'imbibe personnellement de mon but et construit un post suggestif.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu demandes qu'on te fabrique des intuitions. Ça ne me semble pas possible, c'est à toi de te faire tes intuitions et tes images mentales, et si tu n'as pas de temps à y consacrer, tant pis ce n'est pas grave.
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@christophe : Voici le slogan qui m'aide à me souvenir de ce qu'est un faisceau. J'espère que ça peut t'aider.
On ne considère ici que des faisceaux de fonctions. Bref, étant donné un espace topologique $X$, on considère un ensemble $F$ de couples $(U,f)$ où $U$ est un ouvert de $X$ et $f$ est une fonction de domaine $U$, le tout stable par restrictions (i.e. si $(U,f) \in F$, et si $V$ est un sous-ouvert de $U$, alors $(V,restriction(f,V))\in F$. Ca, c'est un préfaisceau.
Les éléments de $F$ sont appelés "trucs locaux". Un élément de $F$ qui est de la forme $(X,f)$ est appelé un "truc global".
On appelle "succédané de truc global" un ensemble $A$ de trucs locaux tel que
- la réunion des premières coordonnées d'éléments de $A$ est $X$ tout entier ;
- dès que $(U,f)$ et $(V,g)$ sont des éléments de $A$, alors $f$ et $g$ coïncident sur $U \cap V$.
On appelle "succédané de truc sur $U$" (où $U$ est un ouvert de $X$) un ensemble $A$ de trucs locaux tel que
- la réunion des premières coordonnées d'éléments de $A$ est un sur-ensemble de $U$ ;
- dès que $(V,f)$ et $(W,g)$ sont des éléments de $A$, alors $f$ et $g$ coïncident sur $U \cap V \cap W$.
Et maintenant, définition : un faisceau est un préfaisceau où tout succédané de truc global "est" un truc global et si tout succédané de truc sur $U$ "est" un truc sur $U$. C'est-à-dire, si pour tout $A$ succédané de truc global, il existe un unique $(X,f) \in F$ tel que pour tout $(U,g) \in A$, la restriction de $f$ à $U$ est $g$ et si pour tout $A$ succédané de truc en $U$, il existe un unique $(U,f) \in F$ tel que pour tout $(W,g) \in A$, $f$ et $g$ coïncident sur $U\cap W$.
EDIT : J'ai oublié une condition ! Je complète plus tard !
EDIT2 : Rajout en rouge d'une condition.
EDIT3 : Rajout en bleu d'un oubli, merci Goleon ! -
Merci GA!!!!
N'as-tu pas oublié la condition $\exists f: (X,f)\in F$ comme condition sur $F$ pour avoir un préfaisceau. Et un immense merci à toi! Si un faisceau c'est ça, alors c'est très simple.
Je n'ai pas le temps de remettre le lien, mais max avait écrit un truc, et foys vient d'en écrire un, dont je souhaiterais savoir si ça peut signifier que tu viens d'être exhaustif?foys a écrit:Il s'avère que tout faisceau est isomorphe à un faisceau du type de celui décrit en
Max avait affirmé un truc similaire.
Tu écris aussi :GA a écrit:On ne considère ici que des faisceaux de fonctions
Y a des faisceaux qui ne sont pas des faisceaux de fonctions? (ou du moins en soient loin)?
@GBZM: en fait, ce n'est que de mon lit, hier soir, que j'ai revisité la page de A.Prouté de mon téléphone et vu qu'en plus de son cours de 400 pages, il y a des petits pdf courts et vite téléchargés qui traitent à peu près tous les aspects qu'on demande généralement aux gens de se coltiner à la main pour construire leur habitude.
J'essaierai donc, en dehors de petits flous notationnels, de vous poser des questions "reposantes" et allant dans le sens de la synthèse intuitive à laquelle j'essaie d'accéder (cadire une vue globale me permettant de lire MAIS AUSSI D ECRIRE un post comme celui que tu as produit pour dom)
Je continue de préciser mon intention:
un théorème dit qu'il n'existe pas d'univers intuitionniste, cela provenant du fait que :
$$ZFA\to ZF$$
ne laissant pas la place à un $ZFI$ qui vérifierait $ZFA\leq ZFI\leq ZF$ où:
ZFA désigne la TDE affine
ZFI la TDE intuitionniste
ZF la TDE classique
où les axiomes non logiques sont ceux de ZF.
J'aimerai parvenir un jour à localiser à quel endroit le paradigme topos fait défaut (en soi, je m'en fiche, mais il y a de bonnes maths probables derrière, d'une part, et d'autre part, la pub mensongère qui vend le toposisme comme de la ZFI mérite réponse (apaisée, certes, mais exploration technique))
Je peux prendre un exemple de cette situation peu satisfaisante: il y a quelques années, et à plusieurs reprises, on a laissé entendre à des lecteurs que ZFI ne construit pas de fonctions non continues de IR dans IR, alors que n'importe qui peut voir que c'est faux en tant "qu'homme de la rue". Il me semble que ce n'est pas une situation qui doit perdurer éternellement et qui est "tendue" en soi. Je ne cherche pas à avoir des intuitions pour le plaisir d'en avoir, mais pour accéder à autre chose en fait.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour la condition "$\exists f$ blabla" je ne sais pas, je n'ai pas fait gaffe.
Il y a des faisceaux d'autres choses que des fonctions, sauf que comme les restrictions ne sont pas déjà là, il faut les rajouter et mettre des axiomes pour que ça ressemble à des restrictions.
Le théorème est : soit $F$ un faisceau abstrait. Alors il existe un espace topologique $Y$ bien précis et naturel et tout et tout tel que $F$ s'identifie naturellement à un ensemble naturel de couples $(U,f)$ où $f : U \rightarrow Y$ est une fonction continue et les restrictions abstraites correspondent aux vraies restrictions.
EDIT : Rajout du truc en rouge. -
Typiquement le faisceau structural d'un anneau (utilisé en géométrie algébrique). Une description en termes de fonctions est possible mais pénible et ad-hoc.christophe c a écrit:Y a des faisceaux qui ne sont pas des faisceaux de fonctions? (ou du moins en soient loin)?
Soit $A$ un anneau commutatif, $spec(A)$ l'ensemble de ses idéaux premiers. Si $f \in A$, soit $D_f:=\{\mathfrak p \in spec(A) \mid f \notin \mathfrak p\}$. Alors $(D_f)_{f \in A}$ est la base d'une topologie sur $spec(A)$ (dite "de Zariski": ses fermés sont exactement les ensembles de la forme $V(S):= \{\mathfrak p \in spec(A) \mid S \subseteq \mathfrak p\}$ avec $S\subseteq A$) et il exste un faisceau d'anneaux $\tilde A $sur cet espace tel que pour tous $f\in A$, $\tilde A (D_f) = A_f := A[X]/\langle Xf - 1 \rangle $. Pour tous $f,g \in A$, si $D_f \subseteq D_g$, on peut prouver l'existence de $a\in A$ et $n\in \N$ tels que $ag=f^n$, autrement dit $g$ est inversible dans $A_f$, d'où un unique $\rho_{f,g}: A_g \to A_f$ envoyant $g^{-1}$ (édité) sur $af^{-n}$ dans $A_f$. Les restrictions de $\tilde A$ dans le cas d'ouverts de la forme $D_f, D_g$ sont justement ces applications $\rho_{f,g}$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Moralement les éléments de $A=A_1=\tilde A(spec(A))$ sont vus comme des "fonctions" sur $spec(A)$ et ceux de $\tilde A(U)$ comme des "fonctions localement de la forme $a/f$" où $a,f\in A$ et $f$ "qui ne s'annule pas" au voisinage du point (idéal premier) considéré.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
@GA: parfait merci, autrement dit, en me contentant de TA définition, je ne perds pas de généralité sur la notion de faisceau. Génial!
Mais est-ce que je perds en généralité sur la notion de "topos de faisceaux" ou est-ce que pour tout topos de faisceau T, il existe un espace topologique $Y$ tel que pour tout faisceau F de T : [ta phrase]?
@foys: merci pour l'exemple!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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