Paradoxe de Russell

Soit $x=\emptyset$. x est-il élément de lui-même ?

J'imagine que ce qui trouble Marcel1213 est qu'on n'écrit jamais des choses du genre $\mathbb{R}\in\mathbb {R} $ et que ce qu'on écrit à gauche et à droite de $\in$ sont de natures différentes...

Marcel a écrit:

le $x$ de gauche est un élément alors que celui de droite est un ensemble

Ca ne veut rien dire. Tout est ensemble.

Est-ce que $\mathbb{R} \in \mathbb{R}$ ? Ben, à ton avis ?

Es-tu d'accord que $x \in \{z \in \mathbb{R} \ \vert \ z^2 = 2\}$ si et seulement si $x^2 =2$ ?

@Marcel, comme tu as posté un nouveau post, je te propose de prouver le théorème suivant:

Soit $E$ un ensemble et $R\subset E^2$. Prouve qu'il n'existe pas d'élément $a\in E$ tel que :

$$ \forall x\in E: (((x,a)\in R) \iff ((x,x)\notin R))$$

Quand tu auras fait ce petit exo, on discutera.

Ne sépare jamais un bout de phrase de ce qui précède (ou éventuellement qui suit). Si tu lis vraiment la phrase qui contient "puisque $E\in E$ n'est pas possible", tu verras que je n'affirme pas cela, je dis seulement qu'une certaine croyance a pour conséquence cela. Et tu verras que deux phrases plus loin, je dis même qu'on peut fonder les mathématiques en pensant que $E\in E$ est possible.
Tu ferais bien de lire plusieurs fois ce qu'on te répond pour bien comprendre ce qui est dit. On gagnera du temps.

" je ne comprends même pas que l'on puisse parler d'appartenance entre 2 ensembles". Pourtant tu utilises cela constamment. par exemple un lycée est composé de 20 classes, qui sont composées d'élèves : les classes sont des ensembles d'élèves et le lycée est un ensemble de classes, donc ses éléments sont bien des ensembles.
En mathématiques, on sait construire à peu près tout ce que font les mathématiques à partir de l'idée que tout se ramène à des ensembles, et même construire à partir d'un seul ensemble, l'ensemble vide. Même les relations entre ensembles sont des ensembles ...

Mais je commence à me demander quel sens non mathématique tu peux mettre à "appartenir". Par exemple quand tu dis "personne ne m'a dit si l'ensemble des réels s'appartenait ou non". Tu n'as pas besoin qu'on te dise quoi que ce soit, tu relis ta phrase et tu penses : L'ensemble des réels est un ensemble de ... (ça, c'est comme la couleur du cheval blanc d'Henri IV) et un réel est-il un ensemble de réels ???
Bien sûr, si tu ne sais pas ce qu'est un réel (un nombre réel) difficile de répondre; mais alors pourquoi prendre cet exemple ?

Bien plus simple : si a, b et c sont les lettres habituelles, l'ensemble E={a,b,c} existe, et a comme éléments a, b et c : $a\in E,\ b\in E,\ c\in E$. C'est ça l'appartenance : Un ensemble étant donné, certains objets en sont les éléments (*), d'autres non : $d\not\in E,\ 3\not\in E,\ E\not\in E$.

Cordialement.

(*) aucun dans le cas de l'ensemble vide.

Macel a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1891322,1892424#msg-1892424
ce qui amène une contradiction. C'est bien ça ?

Tu as laissé trop de fautes typographiques pour que je puisse te répondre. Prends ton temps, espace tes arguments, ne te sens pas obligé de répondre en latex.

Essaie à nouveau, de manière décrispée.

Concernant ce que tu demandes à Gérard, tu cherches à introduire de la psychanalyse dans tes questions, et je ne crois pas qu'il existe de réponse mathématique fructueuse à ce que tu lui demandes : en te caricaturant à peine, tu écris :

Marcel fictif: << je souffre car pour moi, on ne peut pas écrire qu'un ensemble appartient à un ensemble>>

On ne peut que te répondre de prendre soin de toi et ne pas souffrir pour si peu. La science est bien plus simple que ce que tu as l'air de penser: on prouve des choses en supposant des choses, c'est tout, et pour être précis tout ce qui n'est pas précédé d'un "donc" (de principe) est supposé.

Si tu veux que $a\notin b$ quand $a,b$ sont des ensembles, c'est à toi de le prouver. Le "ressentir" ou "y croire" ne sont que des choses qui appartiennent à ta sphère intime.

@Marcel : Si tu réussis à faire l'exercice de Christophe, pas besoin de réfléchir à ce que j'ai dit.

@Dom : je complète un tout petit peu.
Tu ne peux pas avoir une définition formelle de l'appartenance, pour une raison simple :
a) Soit tu fais de la théorie naïve, disons des maths "usuelles", auquel cas l'appartenance est "ce que tu penses". Tu as un sac E dans lequel tu as mis des objets, et a appartient à E signifie que a est dans le sac E. La métaphore n'est pas terrible car un même objet appartient à beaucoup de sacs.
b) Soit tu fais de la vraie théorie des ensembles, et alors l'appartenance est une notion primitive, plus précisément une formule à deux variables libres (ou, ce qui revient au même, une relation d'arité 2 sur l'univers), qui vérifie un certain nombre d'axiomes, que tu es libre de choisir comme tu le sens.
Par exemple si tu décides de travailler dans ZF privée de l'axiome de fondation à laquelle tu rajoutes un axiome d'anti-fondation, l'objet décrit par Christophe ci-dessus existe et est unique. On l'appelle généralement $\Omega$.

@Dom : J'ai été effrayé quand le prof, en L1, a écrit au tableau $\mathbb{R} \cup \{\mathbb{R}\}$. Je crois que cette idée qu'on ne pouvait pas mettre dans un même ensemble des choses de "natures différentes" m'a handicapé, au cours de mes études. Mais je ne sais pas si cette erreur, je l'ai créée tout seul ou si c'est des profs qui me l'ont enseignée sans faire exprès.

Marcel213 :

Oui, tu m'as compris : C'est la signification habituelle d'une phrase commençant par un "si" : Toute la suite est conditionnée par ce "si".

Je te laisse avec les logiciens; je suis d'ailleurs d'accord avec le message de Christophe te disant que tu rajoutes du psychanalytique. Même si on fait des maths avec ce qu'on est. Mais l'apprentissage nécessite aussi de se rectifier, de se corriger.

Cordialement.