Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
93 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Signification de l'hypothèse du continu ?

Envoyé par Socrade 
Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
Bonjour, je ne suis pas matheux mais j'ai lu un article dans pour la science je crois sur l'hypothèse du continu. Ça a l'air très important pour les maths qu'il n'y ai pas d'infini intermédiaire entre celui du discontinu des entiers et celui du continu des réels mais ce n'était pas expliqué pourquoi c'est si important. Vous savez ?
D'autre part pourquoi ça s'appelle hypothèse du continu et pas hypothèse des deux infinis ? Merci !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
Bonsoir.

Non, ce ne serait pas important, mais utile : Tout ensemble infini non dénombrable mais qui s'injecte dans $\mathbb R$ aurait la puissance du continu, serait en bijection avec $\mathbb R$
Au passage, tu peux voir pourquoi on dit "l'hypothèse du continu".

Cordialement.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Socrade : ce n'est pas très important pour les maths, mais seulement pour les gens qui font de la théorie des ensembles. En effet, tous les objets qu'on sait construire en maths classiques vérifient l'hypothèse du continu, au sens où, s'ils sont injectables dans $\R$ et non dénombrables, alors ils sont en bijection avec $\R$.
Pour comprendre l'origine du terme "hypothèse du continu", il faut revenir à Cantor, qui le premier a pris comme postulat que l'ensemble des réels pouvait être mis en bijection avec l'ensemble des points d'une droite. Postulat important car à l'époque on avait une vision beaucoup plus géométrique des choses que maintenant. Cantor appelle ça le "continu linéaire". Si on le suit, étudier les sous-ensembles de points d'une droite revient donc à étudier les sous-ensembles de $\R$... et on dit qu'un ensemble a la puissance du continu s'il est en bijection avec $\R$.
D'où le nom : si un sous-ensemble de réels n'est pas dénombrable, il a la puissance du continu.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Socrade : perso je suis un fervent défenseur de la négation de l'hypothèse du continu.
Si ça t'intéresse je développerai.
xax
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
avatar
Avec la $\Omega$ - conjecture de Woodin ? Christophe va nous tomber dessus.

Edit : c'est celui-là ? [www.pourlascience.fr]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par xax.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Socrade : Si tu n'es vraiment pas matheux :

1) je te recommande cette vidéo : clique ici

2) L'histoire simplifiée c'est que Cantor, qui a inventé la théorie des ensembles, s'est rendu compte qu'il y a plusieurs tailles d'infini. Ca pouvait sembler incroyable, a priori. Le plus petit infini, c'est celui des entiers naturels ($0$, $1$, $2$, ... "jusqu'à l'infini"). Le deuxième auquel on pense, c'est l'infini des points sur une droite. Il est strictement plus grand que l'autre (c'est Cantor qui l'a d'ailleurs démontré). Et Cantor s'est demandé s'il y avait des infinis intermédiaires... Et cette question était en fait très difficile. La suite de l'histoire, Martial la racontera beaucoup mieux, je pense !
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
avatar
Citation
martial
Si ça t'intéresse je développerai.

Moi ça m’intéresse en tout cas !
HC ou Hypothèse du Réel ?
il y a sept semaines
Bonsoir,
à la lecture d'un post tout à l'heure et d'une remarque de @Martial, je me suis posé quelques questions dans mon lit.
Ne pouvant pas dormir, je les exprime ici, de nuit.

En tant que "constructiviste de l'extrême", qui n'est pas analyste pour un sou, je vais vite être largué et peut-être incendié au fil des messages qui suivront (ou pas). C'est de bonne guerre...il faut bien apprendre.
Je reste toujours curieux.

Alors voici mes réflexions nocturnes à propos de l' $HC$ :
1) et si c'était les nombres réels qui n'existaient pas vraiment ?
2) et si on en avait pas "réellement" besoin de ces nombres soit disant réels ?
3) à quel moment de l'histoire des mathématiques a-t-on inventé un outil qui permet leur existence ? Et lequel ?

Quelques réflexions personnelles sur ces points :
3) C'est à l'invention du passage à la limite ou de $\infty$ ? Comment cela a-t-il été défini ? Brutalement ? Par un gap conceptuel ?
Pour ce qui est de $\infty$, j'ai vraiment du mal avec sa définition. Je vais l'expliquer.
Je comprends tout à fait les nombres ordinaux comme $\omega$ défini ainsi :
il existe un ordinal $\omega$ tel que $\omega>n$ pour tout entier $n$
Ce type ordinal permet de résoudre la "paradoxale fausseté" :
il existe un entier $\infty$ tel que $\infty>n$ pour tout entier $n$

2) Et si les "trucs" étaient suffisants ? Vous me demandez : c'est quoi les trucs ?
Alors voici une définition axiomatique formelle des trucs :
a) un nombre entier $A$ est un truc
b) pour toute paire de trucs $A,B$ telle que $A<B$, il existe un truc $C$ tel que $A<C<B$
c) et peut-être encore quelques axiomes à voir ...

Il me semble que dans les énoncés parlant de nombres réels, on pourrait en fait les exprimer avec des trucs... non ?
Quand on parle d'un intervalle $[a,b]$ isomorphe à $\R$, on ne triche pas un peu ?
On ne ferait pas là une définition auto-référentielle... non ?

1) Alors si les nombres réels n'existent pas vraiment mais seulement les trucs... que devient alors $HC$ ?
1 bis) Et si au contraire on garde les nombres réels et l'ensemble $T$ des outils du point 3) qui permettent leur création, alors ne pourrait-on pas étendre ces outils à un ensemble $T^+$ d'outils de façon à obtenir :
entre l'intervalle de nombres entiers $[0,1]$ de type $T_0$ et
l'intervalle de nombre réels $[0,1]$ de type $T_1$,
il existe un intervalle de "trucs" $[0,1]$ de type $T_{1/2}$
qui n'est pas isomorphe aux deux autres et donc avoir $\lnot HC$ ...
c'est juste une question ou un délire ... au choix ... et sans l'axiome du choix svp winking smiley

Voilà, bon... cette fois je vais me coucher.

On peut effacer ce post s'il n'en vaut pas la peine... j'en ai aucune idée... je suis un grand naïf qui doute de tout. C'est contradictoire, je sais.
Bien à vous.

[Restons dans la discussion ouverte sur le sujet, que je transfère en "Fondement et logique". AD]



Edité 15 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par serge burckel.
Re: HC ou Hypothèse du Réel ?
il y a sept semaines
Bonjour.

C'est bizarre que tu poses ces questions hors de tout contexte historique (c'est l'heure où tu as écrit ça ?). Car l'ensemble des réels n'a pas été une construction, mais une découverte qui s'est imposée d'elle-même d'abord il y a 2300 ans, avec la "crise des irrationnels" chez les philosophes matheux grecs, ensuite avec les logarithmes et l'exponentielle au dix-septième siècle, et encore au dix-neuvième siècle avec les séries de Fourier et les fonctions continues nulle par dérivable qui inquiétaient Hermite ("Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n'ont point de dérivées"), mais ont obligé à définir très précisément les réels.

Et finalement, les " encore quelques axiomes à voir" vont redonner ..$\mathbb R$, puisqu'on en a besoin.
La question est différente pour les physiciens, qui utilisent les réels dans leurs modèles mais les décimaux à maximum 20 chiffres significatifs dans leurs vérifications de ces modèles. Cependant, à part des modèles de dénombrement, on ne voit pas de modèles bâtis sur l'ensemble des décimaux (pourtant largement suffisant) ou des rationnels. Car dès qu'on a besoin de passer à la limite, ou simplement d'avoir deux dimensions, les irrationnels ressortent !

Cordialement.
Re: HC ou Hypothèse du Réel ?
il y a sept semaines
avatar
« si les nombres réels n'existent pas vraiment »

Quel est le sens de cette phrase ?... Que signifie, pour un objet mathématique, le verbe « exister » ?
Re: HC ou Hypothèse du Réel ?
il y a sept semaines
@gerard0,

merci...je sais à peu près ces choses. C'est ma façon d'aborder HC...tout remettre à plat et voir s'il n'y aurait pas une façon "naturelle" de considérer cette hypothèse. Ainsi, j'en reviens même à la notion de limite et d'infini. Même si je dois passer pour un ignorant ou un naïf. On doit parfois savoir reconstruire pour aboutir.

Il pourrait y avoir des versions plus "soft" qui éliminent les paradoxes. C'est l'approche que je propose ici.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par serge burckel.
Re: HC ou Hypothèse du Réel ?
il y a sept semaines
@sinusix

exister=défini

et ceci de manière cohérente dans une théorie cohérente, quitte à rajouter des axiomes nouveaux mais toujours cohérents avec le reste comme ZFC.

Alors la question qui se pose : on prend $ZFC+HC$ ou $ZFC+\lnot HC$ ?

Et on peut aussi envisager celle-ci : on change un peu $ZFC$ ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par serge burckel.
Re: HC ou Hypothèse du Réel ?
il y a sept semaines
Citation
SB
C'est l'approche que je propose ici
Mais comme tu laisses tout à continuer, ce n'est pas une approche, seulement une idée de la nuit, une idée d'insomnie.
A toi de la mettre en œuvre sérieusement, sinon elle ne vaut pas plus que la plupart des propositions de la rubrique Shtam. Et tu verras bien si il y a quelque chose à en tirer. Je parie que non.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@xax : Non, ce n'est pas la Omega-conjecture de Woodin qui me fait dire ça, je n'y ai jamais cru un instant, pas plus que je ne crois à V=L_ultime.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Corto : oui, je vais développer, mais peut-être pas tout de suite
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Serge : Si tu es ultra-constructiviste, tu penses peut-être que les seuls réels dont on aura besoin un jour (en physique, en mécanique, en algorithmique etc) sont les réels récursifs, qui sont en quantité dénombrable.
Auquel cas tu peux travailler dans la théorie T=ZFC amputée de l'axiome des parties à laquelle tu rajoutes l'axiome : "Tout est dénombrable".
Il est facile de voir que Cons(ZFC) entraîne Cons(T) et que la réciproque est fausse.
Mais pour toi l'avantage de la théorie T est que l'hypothèse du continu n'a plus lieu d'être.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Tous : je ne vais pas tarder à mettre en ligne les Chapitres 0 à 18 de mon "futur" livre de théorie des ensembles, censé en comporter 25.
@Serge : tu y trouveras peut-être quelques réponses partielles aux questions que tu te poses.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
En fait, mes 4 derniers posts faisaient initialement partie d'un unique post dans lequel je disais tout d'un coup.
Ce message est passé à la trappe pour une raison que je viens de comprendre : le fil a été déplacé de "Mathématiques et Société" vers "Fondements et logique" (ce qui au demeurant est parfaitement compréhensible) au moment précis où je tapais le message.
J'y donnais en plus une preuve simplifiée du fait que Cons(ZFC) entraîne Cons(T), avec les notations ci-dessus. Preuve que j'ai la flemme de retaper, donc tant pis.
AD
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
avatar
Martial
Quand ce genre de mésaventure t'arrive, tu peux parfois récupérer ton message dans l'historique de ton navigateur ou dans la pile de fenêtres accessible par le bouton "retour arrière" (en général, une flèche).
Cela m'a sauvé plus d'une fois.
Alain
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Martial
Oui, je connais les nombres réels récursifs... mais...
mon cas est encore plus désespéré. Je ne crois même pas à l'infini des entiers... (ou je n'y crois plus).

Alors les calculs infinis ou des sommes $\Sigma_{i=0}^{\infty}...$ ou encore des machines de Turing qui construisent des suites infinies de décimales comme celles de $\pi$... ça me pose un problème "existentiel".

Une définition finie de $\pi$ sans le symbole $\infty$, ça oui, ça me plaît. Et manipuler ce nombre par cette définition finie, ça encore, oui. Une MT qui calcule à partir de $i$, la $i$-ème décimale de $\pi$...ça encore oui.

Tu vois, j'en demande beaucoup aux maths désormais. Ceci dit, je m'impose les mêmes règles minimalistes.
Mais une telle axiomatisation pourrait avoir de bonnes propriétés je pense...notamment de complétude ou encore pour des preuves automatiques...



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par serge burckel.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
Citation
Sinusix
Quel est le sens de cette phrase ?... Que signifie, pour un objet mathématique, le verbe « exister » ?

Le fait que les phrases "Pour tout entier premier $n$, $\sqrt n$ est irrationnel" et "Il n'existe pas d'entier premier $n$ tel que $\sqrt n$ est rationnel" disent la même chose, mais que dans la deuxième il y a deux verbes et dans la première, un seul, devrait interpeller.

************************

Au second ordre:
$\exists x,\Phi(x)$ signifie $\forall \mathbf P, \left ( \left (\forall x, \left (\Phi(x) \Rightarrow \mathbf P \right)\right) \Rightarrow \mathbf P\right)$.

Au premier ordre et en logique classique, on a le succédané $\exists z (...) = \neg \forall z \neg (...)$.
Même remarque avec le verbe qui disparaît.

Les méthodes courantes d'analyse grammaticale de phrases en français (ou dans le peu d'autres langues que je connais) ne permettent pas de comprendre le sens véritable des expressions mathématiques contenant la tournure "il existe ... tel que" (dans un monde alternatif meilleur, "exister" serait remplacé par autre chose qu'un verbe).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
Citation
serge burckel
mon cas est encore plus désespéré. Je ne crois même pas à l'infini des entiers... (ou je n'y crois plus).
J'apprécie que tu dises cela, ça m'enlève certains doutes.

Le problème du concept de "défini" en mathématiques, c'est que si $E=\{e_1,...,e_n\}$ est un ensemble (fini si tu veux) de définitions de listes de bits $s_1,....,s_n$, et si $t =(t_i)_{1\leq i \leq n}$ est la liste telle que le $k$-ième bit de $t$ soit égal à $1-s_{k,k}$ si $s_k$ est au moins de longueur $k$, et $0$ sinon, alors $t$ ne possède pas de définition dans $E$ (sans quoi si $t$ est définie par $p$ i.e. $t=s_p$, on a $s_{p,p} = t_p =1-s_{p,p}$). Est-il raisonnable de dire qu'un objet aussi simple, en l'espèce fini, n'existe pas?
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Foys

C'est l'argument diagonal de Cantor, en version finie...c'est ça ? Dans ce cas, je dirais...on rajoute $t$ à $E$....si nécessaire. Aucun soucis pour considérer des ensembles arbitrairement grands, s'ils ont une définition finie qui peut même être donnée par un algorithme $A$ qui prend $n$ en entrée et retourne par exemple l'ensemble des $n$ plus petits éléments de $E$ considérés dans un "ordre total" qui devient du coup un "bon-ordre".

PS : Permettez-moi une auto censure sur ce sujet concernant la bonne question de départ de @Socrade :
la signification de l'hypothèse du continu.

J'avais écrit un autre sujet sur ce forum concernant HC et l'Axiome de l'Infini de ZFC.
Cela a été déplacé ici. C'était éventuellement approprié, mais là, ça prend trop le dessus je trouve.

Alors continuez à répondre à la très bonne question de @Socrade sur HC...c'est plus approprié.
Je vais retourner à P/NP, suivre ce fil et revenir à ces questions par la suite.
Bien à vous



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par serge burckel.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
avatar
Citation
martial
@Corto : oui, je vais développer, mais peut-être pas tout de suite

J'attends patiemment alors. En fait j'ai déjà lu ça et là des gens annoncer la même chose que toi, ce qui m'interpelle un peu puisque cet axiome est indépendant de ZFC (à ce que j'en comprends). Notamment j'aimerais bien comprendre si ces arguments sont d'ordre philosophique, pratique ("hors math" ou non) etc. Puisque l'hypothèse du continu est indépendante de ZFC, j'ai l'impression qu'il ne peut pas y avoir d'argument purement logique/mathématique pour favoriser un choix ou l'autre.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
@Corto : Patrick Dehornoy a fait une vidéo (les 5 minutes Lebesgue je crois) où il répond un peu à ta question, même si c'est très court !
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
merci à tous, je bosse vos réponses (celles sans formules :D) et vos liens, merci.
Si vous aimez bien réfléchir, je vous ai mis un nouveau petit sujet bien cool qui m'est venu à l'esprit :
[www.les-mathematiques.net]
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a sept semaines
Citation
serge burckel
[www.les-mathematiques.net]
@Foys
C'est l'argument diagonal de Cantor, en version finie...c'est ça ? Dans ce cas, je dirais...on rajoute $t$ à $E$....si nécessaire. Aucun soucis pour considérer des ensembles arbitrairement grands, s'ils ont une définition finie qui peut même être donnée par un algorithme $A$ qui prend $n$ en entrée et retourne par exemple l'ensemble des $n$ plus petits éléments de $E$ considérés dans un "ordre total" qui devient du coup un "bon-ordre".

Oui, c'est l'argument diagonal et d'ailleurs tous les résultats d'indécidabilité célèbres (Gödel, Turing, Tarski, ...) en sont des variantes (avec un degré de sophistication adapté au problème envisagé).

Si $(A_k)_{k\in D}$ est une énumération de tous les algorithmes (avec $D\subseteq \N$, après identification des entiers avec des listes de bits via l'écriture en base 2) Alors aucun algorithme ne peut "prendre $n$ et retourner la liste des entiers $k\in \{0,...,n\}$ tels que [$k\notin D$ ou bien $k$ n'appartient à aucune des listes produites par $A_k$] (si $u$ est l'index d'un tel algorithme, quel est son comportement sur une entrée $n\geq u$? que se passe-t-il si $u$ est dans cette liste? s'il n'y est pas? )

Noter que le fait que $D$ soit fini ou non ne joue aucun rôle dans ce phénomène.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Corto : Chose promis chose due, voici enfin mes arguments en faveur de non-HC. Je vais peut-être le faire en plusieurs fois.
D'abord, tu as entièrement raison quand tu dis qu'il n'y a rien de logique ou de mathématique là-dedans, justement à cause de l'indépendance de HC, disons, vis-à-vis de ZFC.
On ne peut donc développer que des arguments heuristiques ou philosophiques.
Il y a certains mathématiciens, comme Krivine, qui pensent qu'il n'y a pas grand-chose à commenter : en gros, selon eux, les résultats de Cohen conduisent à une forme de fatalité. Il existe des modèles où $2^{\aleph_{0}}$ vaut $\aleph_{1}$, d'autre où il vaut $\aleph_{59}$, ou $\aleph_{\omega+42}$, ou le plus petit faiblement inaccessible etc, et notre boulot à nous c'est de tous les étudier, sans discrimination aucune.
D'un autre côté, dans la conclusion de son livre "Set Theory and the Continuum Hypothesis", Cohen dit en substance que, certes, le continu peut être égal à peu près à n'importe quoi (sauf à un cardinl de cofinalité dénombrable), mais qu'il appartiendra aux générations futures de décider dans quel univers elles préfèrent habiter.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Voici maintenant mon premier argument :
Quand tu fais des constructions "vers l'extérieur", en particulier en analyse, si tu pars d'objets dénombrables tu arrives toujours à un objet dénombrable. Et quand tu fais des constructions "vers l'intérieur" et que tu pars d'objets ayant la puissance du continu, tu arrives généralement à un objet qui, s'il n'est ni vide ni réduit à un singleton, a lui aussi la puissance du continu.
Il y a donc un "monde" entre le dénombrable et le continu, monde qu'intuitivement j'ai envie de combler avec des objets de taille intermédiaire.
Dit brut de décoffrage : je ne vois pas pourquoi il n'y aurait dans la nature que des objets "tous petits" ou "très grands".
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Deuxième argument : quand tu regardes le premier modèle qu'on a réussi à construire et qui satisfait $HC$, à savoir l'univers $L$ des constructibles de Gödel, tu t'aperçois assez vite que "tout a été fait pour". En effet, d'abord c'est le modèle minimal, donc c'est normal qu'il y ait "peu" d'individus dedans. D'autre part, si tu regardes la preuve du fait que $L \models HC$, tu constates que, partant de $L_{\omega}=V_{\omega}$, qui est dénombrable, à chaque étape tu ne rajoutes qu'une quantité dénombrable d'ensembles, donc les $L_{\alpha}$ qui suivent restent dénombrables… et il faut attendre $L_{\omega_{1}}$ pour construire quelque chose de taille supérieure. Par ailleurs tu disposes d'une borne sur l'ordinal à partir duquel tu vas cesser de construire de nouvelles parties de $L_{\omega}$. C'est ça qui fait marcher HC, et je considère la méthode comme un peu artificielle.
Je ne connais pas grand-chose au forcing, mais je sais que si par hasard $2^{\aleph_{0}}=\aleph_{59}$ et si tu t'amuses à collapser tous les cardinaux jusqu'à $\aleph_{58}$ sur le dénombrable, tu obtiens bien sûr un modèle qui satisfait HC, mais là encore tu vois que ce modèle est lui aussi artificiel, puisqu'on a tout fait pour.
Brut de décoffrage : si tu pécho au hasard un modèle de ZFC, la probabilité pour qu'il satisfasse HC me paraît bien faible.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Troisième argument : Il y a toute une partie de la théorie descriptive des ensembles qui s'occupe des propriétés de régularité de la droite réelle. L'une d'entre elles est la propriété de l'ensemble parfait. On peut par exemple prouver que tous les boréliens de $\R$, soit sont dénombrables, soit contiennent une copie du Cantor. Donc en particulier la classe des boréliens satisfait l'hypothèse du continu.
Cela reste vrai (dans ZFC) pour la classe des analytiques (projections de fermés) qui est strictement plus vaste que celle des boréliens.
Si de plus il existe un cardinal mesurable, alors la classe $\Sigma^{1}_{2}$ (projections de complémentaires d'analytiques) vérifie aussi cette propriété.
Enfin, s'il existe une infinité de cardinaux Woodin, alors tous les projectifs vérifient HC.
Maintenant, si tu imposes par décret l'obligation d'ajouter HC à la liste des axiomes de ZFC, tous ces beaux travaux partent au panier manu militari, puisque les résultats ci-dessus deviennent des trivialités.
Ce serait quand même dommage.
Mon avis personnel : si les hypothèses de forte cardinalité évoquées ci-dessus sont consistantes (ce que je souhaite ardemment), j'aimerais bien vivre dans un univers dans lequel toutes les parties plus ou moins définissables de $\R$ satisfont HC, mais où il existe des parties de cardinal intermédiaire, qui, bien sûr, seront des objets très irréguliers et "fortement non définissables".
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Dernier argument (last but not least) : compte tenu de l'imprédicativité de la théorie des ensembles telle qu'en ont décidé ses fondateurs, c'est-à-dire de la possibilité de parler d'un objet sans en avoir forcément une définition, on a intérêt à vivre dans un univers "aussi vaste que possible".
"Vaste" veut dire 2 choses :
1) d'abord vaste en hauteur, ce qui suppose d'admettre les axiomes de grands cardinaux aussi proches que possible de l'inconsistance (dont on sait qu'elle existe).
2) Vaste en largeur, au sens où, à un niveau donné de la hiérarchie cumulative, on puisse permettre au plus grand nombre d'objets possibles d'exister. Par exemple, au niveau de $\R$, qui doit appartenir à $V_{\omega+11}$ ou truc du style, il est clair que plus le continu est grand, et plus on aura d'objets de "races" diverses : ensembles finis, dénombrables, $\aleph_{1}$, $\aleph_{2}$, …, jusqu'à la cardinalité du continu, et qui tous seront plongés dans $\R$.
Bien entendu, cette attitude n'interdit nullement d'étudier des sous-modèles d'un tel univers, voire des extensions génériques obtenues en collapsant des cardinaux etc... de même qu'on peut croire avec ferveur au principe de récurrence tout en étudiant des modèles d'arithmétique faible dans lesquels ce dernier est faux.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Enfin, un dernier éclaircissement : tout le baratin ci-dessus ne signifie en aucune façon que j'aie une animosité quelconque envers les gens qui croient dur comme fer à HC, voire HGC.
En gros, je suis un peu comme le type qui fait de l'algèbre non commutative et qui explique à ses potes pourquoi il éprouve autant d'intérêt à l'étude des corps non commutatifs. Cela ne l'empêche pas d'avoir du respect pour les gens qui font de l'algèbre commutative.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Pardon pour mon manque de dispo, ça fait lgtps que je n'ai pas posté.

Citation
soc
mais ce n'était pas expliqué pourquoi c'est si important

A priori, comme on vit dans un espace topologique (et même peut-être un espace VECTORIEL topologique) où tout ensemble d'ouverts 2 à 2 disjoints est dénombrable, les applications de théorèmes cardinaux peuvent apparaitre uniquement philosophiques.

En fait, ce qui est important c'est qu'ils sont l'occasion d'explorer des territoires de preuves qui ne peuvent, et c'est démontrables, exister ailleurs. Autrement dit, ce n'est pas de savoir si HC est vraie ou non qui est important, c'est d'explorer l'ensemble des théories qui l'impliquent (ainsi que celui de celles qui impliquent sa négation).

Je parle en un sens très large. Je prends un exemple que je connais mieux que quiconque puisqu'il est de moi (et dans ma thèse): a priori quel rapport pourrait-il bien y avoir entre HC et les bases quantiques. Et bien, la preuve que (peu importe ce que ça veut dire pour toi) << TSD ou multitable >> fait une page avec HC et fait 30 pages sans HC (et n'est accessible, de par sa subtilité, qu'à très peu de gens sans HC alors qu'avec HC, le concept est immédiatement visible pour sa signification platonicienne)

Or l'énoncé "TSD ou multitable" est tout ce qu'il y a de plus concret et "finitiste", et offre une "vision très basique" d'un point de réflexion sur la façon dont le quantique inflige des obligations et des libertés à la Nature (ce n'est pas un résultat qui dépend d'une modélisatoin, il est absolu et reproductible, et même si la physique change, il sera imbougé)

Les voyages Woodiniens à travers le monde pour défendre ou attaquer HC à coups de théorèmes puissants et d’enquêtes approfondies relèvent plus du jeu (aussi technique que ce soit) que du sérieux. C'est surtout l'occasion de prouver des trucs et des les ranger dans un chapitre. La nature de la preuve de Cohen fait que de toute façon, HC est "définitivement indécidable" au sens où, à la différence** de Godel, les univers proposés sont tous acceptables jusqu'au bout.

** Les indécidables godéliens sont tels que par exemple, telle P non prouvable reste malgré tout telle que tout modèle de non P contient des entiers infinis, etc. On n'a aucune manifestation de ce genre dans les indécidables Coheniens.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Christophe : je sors un peu du sujet mais j'aimerais savoir si tu es d'accord avec moi sur le point de vue suivant :
Si on est platonicien, voire même ultra-platonicien, on a le droit de se demander dans quel univers on souhaite vivre et quelles sont les propriétés qu'il doit avoir pour "coller" le plus possible à nos desiderata. C'est OK ?
Concernant la hauteur de l'univers la question est simple : comme on veut étudier tous les modèles possibles on a intérêt à privilégier les axiomes de grands cardinaux les plus exigeants, en priant secrètement pour qu'ils ne soient pas inconsistants.
Pour HC c'est plus délicat, d'autant qu'on sait désormais qu'aucune hypothèse de forte cardinalité ne pourra régler le problème (encore faudrait-il donner une définition rigoureuse de la notion d'hypothèse de forte cardinalité, mais ça c'est un autre problème).
Mais rien n'interdit de chercher d'autres arguments, qui pourraient faire pencher la balance, soit du côté de HC, soit l'inverse.
Ce qu'il y a c'est que perso je ne suis attiré ni par la $\Omega$-conjecture (qui entraîne non-HC, je précise pour les lecteurs néophytes), ni par $V=L_{ultime}$, qui entraîne HC et qui me fait hérisser le poil.
Qu'est-ce y faut faire, alors ?
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Est-ce que vous (toi ou Cc) pourriez définir précisément ce que vous appelez « être hyperplatonicien » et « être platonicien » ?
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@grothenbiete : je vais peut-être dire une connerie mais selon moi le platonisme c'est la doctrine qui consiste à penser qu'il existe une sorte d'inéluctabilité du monde située au-dessus des découvertes et des inventions des hommes.
Par exemple, si l'homme n'était jamais apparu sur Terre, la loi de la gravitation universelle de Newton n'aurait jamais été écrite, mais cela n'empêcherait pas que si un singe, du haut de son arbre, lâchait une pomme, elle tomberait quand même par terre.
En math c'est plus problématique : pour le fini pas de problème, disons jusqu'à $10^{80}$, le nombre estimé de particules de l'univers. L'infini est déjà plus sujet à caution. Si on admet que notre univers peut être assimilé à un espace euclidien de dimension 3, ou à une variété différentiable de dimension 4, ou peu importe, cela permet quand même à des objets extrêmement puissants d'exister, comme $\R$ et une bonne partie de ses sous-ensembles. Maintenant, pour des trucs comme $\aleph_{1}$ ou $\aleph_{\omega}$ c'est beaucoup moins flagrant.
D'où, par extension, l'idée de considérer le platonisme (ou platonicisme ?) comme une façon de dire : on veut une forme de maths qui "colle" le plus possible à la réalité ambiante. Pour l'instant on a trouvé ZFC, qui est idéale au sens où dans chacun de ses modèles on peut reconstruire la quasi-intégralité de l'édifice mathématique, et, par extension, la physique, l'algorithmique etc.
Par exemple, même s'il ne veut pas en entendre parler lui-même, si elle aboutit, la preuve de Serge de $P=NP$ sera un théorème de ZFC.
Mais ZFC a un gros défaut, c'est qu'elle est "violemment" incomplète. HC en est le premier exemple, mais il y en a une foultitude d'autres. La suite au prochain nuléro, j'ai du lait sur e feu.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
avatar
Merci pour ces précisions martial.

Cela soulève d'autres interrogations. D'après ce que tu dis on peut construire des modèles où $\mathfrak c = \aleph_{59}$ et il semble selon moi absurde de privilégier $59$ à $58$ ou $60$. Par contre avec $\mathfrak c = \aleph_1$ on a au moins quelque chose de spécial : $1$ est le plus petit ordinal qu'on peut choisir ici, il a donc une position particulière que n'a pas $59$. Non HC possède donc au moins cet argument "esthétique".
J'ai l'intuition qu'il n'y a pas d'ordinal maximal $w$ telle qu'on puisse avoir $\mathfrak c = \aleph_w$ sans contredire ZFC, ai-je tord ?
À défaut d'un plus grand ordinal en existe-t-il un qui serait préférable ou plus "naturel" que les autres pour avoir $\mathfrak c = \aleph_w$ ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Corto.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
1ère question : tant que ton $w$ est plus petit (au sens large) que $c$ (en tant qu'ordinal), il n'y a effectivement aucune objection.
2ème question : là, comme tu dis, ça devient de l'esthétique.
Toi tu proposes $c=1$, moi je propose $c=$ le plus petit cardinal faiblement inaccessible (+ axiome de Martin, en prime).
On a à la fois tort et raison tous les deux.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Mon 59 n'était qu'un exemple bâtard, j'aurais pu dire 3 798 456 123
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
avatar
Merci d'avoir éclairé ma lanterne Martial smiling smiley
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Corto : de rien, ce fut un plaisir, et une occasion pour moi de structurer un peu mes idées sur la question
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Peut-on avoir $\mathfrak c = \aleph_{\mathfrak c}$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Poirot.
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Martial:

"dans quel univers on souhaite vivre". Why not, mais est-ce très scientifique de choisir des axiomes "parce qu'ils nous plaisent"?

Concernant la hauteur de l'univers, attention. Ne pas identifier les phrases affirmantes et les objets eux-mêmes. Affirmer des grands (en fait, donc moyens, comme on va le voir) cardinaux, est une chose, qu'ils soient "hauts" en est une autre.

Un modèle dénombrable et transitif de ZFC contenant un supercompact $k$ n'empêche pas du tout $k$ d'être dénombrable.

En outre, les grands cardinaux sont tous ... moyens. La plupart même sont tels qu'ils impliquent (en tant qu'affirmés) la présence AU DESSUS d'eux d'autres grands cardinaux (c'est le cas des extendibles par exemple)

Les vrais "grands cardinaux" ne sont pas du tout puissants en terme de consistency-strength.

Exemple: il existe un énoncé clos $P$ tel que:

1/ il existe un inaccessible $E$ tel que $E\models P$ et
2/ $ZFC\vdash $ pour tout inaccessible $X$, si $X\models P$ alors il n'y a qu'un nombre fini d'inaccessible au dessus de $P$.

Platoniquement, c'est à dire si on adopte le point de vue mental que l'on travaille dans un univers qui ne rate rien, comme dit JPRessayre quand j'ai inventé cet axiome (il y a une floraison de nuances en tout genre), il signale "dernière station avant fin de l'univers total".

Et pourtant cet axiome n'est pas "puissant". Rien d'ailleurs alors n'exclut de se placer dans $E$ et d'admettre que $E$ contient des huges, ou vérifie la VP.


Citation
Martial
encore faudrait-il donner une définition rigoureuse de la notion d'hypothèse de forte cardinalité

La voici, je l'ai donnée il y a lgtps (au moins 20-25ans grinning smiley). Elle est améliorable, je te donne une version "brutus" qui va vite à décrire

Soit $R$ une relation unaire. Elle est qualifiable de "propriété de grand cardinal" quand ZFC prouve ce qui suit:

1/ $\forall x(R(x)\to Inaccessible(x))$
2/ Pour tout $x$, si $R(x)$ et $b\in x$ et $b$ algèbre de Boole alors $V^b\models R(x)$
3/ Pour toute algèbre de Boole $b$, si $V\models non(\exists R(x))$ alors $V^b\models non(\exists R(x))$

Le 2 dit qu'un grand cardinal ne peut pas être détruit par forcing
Le 3 dit qu'on ne peut pas le fabriquer à coup de forcing

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Poirot: oui. On peut même supposer que $c$ est faiblement inaccessible. (ie régulier et sans prédécesseur cardinal)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Poirot : Christophe m'a coupé l'herbe sous les pieds, j'allais te répondre exactement la même chose.
A noter, pour compléter, que tout faiblement inaccessible $\kappa$ vérifie $\aleph_{\kappa}=\kappa$ (exercice).

@Christophe : Peux-tu donner quelques exemples de "races" de grands cardinaux qui satisfont ta définition ?
Et aussi des exemples de "races" qui ne la satisfont pas ?

Donne juste une liste "brute de décoffrage", je me doute bien que tu n'as pas le temps d'écrire les démos...
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
De mon téléphone: @Martial, à moins d'aller chercher absence d'axiomes du choix et cardinaux singuliers toutes les propriétés principales actuelles vérifient ce critère d'indestructibilite-increatibilite par forcing.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Christophe : OK.
Donc jusqu'à I0 ça roule, sauf pathologies.
C'est ça ?
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
Je ne les ai pas tous vérifié un à un, mais je peux en gros te donner le principe. C'est un principe "d'absoluité".

Dire $\exists xR(x)$
ou dire "il existe $b$ alg de Boole complète telle que $V^b\models \exists xR(x)$

c'est demander le même niveau de consistency-strength, donc en un certain sens, on "s'en fiche un peu" d'affirmer que ça a lieu dans l'univers ou dans un élargissement par forcing de lui.

A priori, un créateur d'axiome aurait même le devoir éthique de s'arranger pour que son axiome soit robuste dans le sens précédent.

Maintenant, clairement, faudrait faire l'exercice pour chacun des axiomes de GC proposé et vérifier. Pour les plus célèbres, c'est évident, mais pour les intermédiaires (ou ceux du haut, qui consistent en un affaiblissement "naif" avec ajout enfantin de handicap de la borne de Kunen) c'est à vérifier à la main.

Pour les plus célèbres (qui expriment tous l'existence d'un $j:V\to M$, avec $M$ "suffisamment proche" de $V$), le passage de $V^b$ à $<<M^{j(b)}>>$ n'est en général pas bien méchant.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Signification de l'hypothèse du continu ?
il y a six semaines
@Christophe : OK.
Ce que je ne comprends pas, si tu as publié cette définition il y a 20/25 ans, c'est pourquoi désormais tous les cours sur les GC ne commencent pas ainsi :
Définition : on appelle HFC ("hypothèse de forte cardinalité") tout bidule de la forme blablabla qui vérifie les conditions 1)2)3)…
Quitte à signaler dans le courant du cours qu'il y a des "trucs" qui ressemblent à des HFC mais qui n'en sont pas.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 139 131, Messages: 1 353 164, Utilisateurs: 25 098.
Notre dernier utilisateur inscrit KIKINETTE.


Ce forum
Discussions: 2 162, Messages: 42 777.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page