Système de Zermelo

Martial · December 2019

Bonsoir à tous,
Je me pose une question d'ordre mathématico-philosophico-historique.
Dans son système axiomatique proposé en 1908, Zermelo énonce une liste d'axiomes qui correspond en gros à ce que nous appelons de nos jours la théorie ZC (ZFC sans le schéma de remplacement).
Au premier abord cette théorie semble tenir la route, sauf que Fraenkel a été obligé de la compléter en 1926 pour permettre la construction d'ordinaux et de cardinaux "intéressants".
Problème : dans l'énoncé du schéma de compréhension Zermelo utilise le terme de "proposition" qu'il ne définit pas. Dans un premier temps j'ai eu tendance à dire que du coup la théorie est inconsistante puisqu'elle ne permet pas d'échapper au paradoxe de Berry.
Or il se trouve que dans tous les textes "sérieux" la théorie de Zermelo est appréciée à sa juste valeur. J'en ai déduit naïvement que Zermelo considérait implicitement le mot "proposition" comme un raccourci pour "formule du calcul des prédicats du 1er ordre".
Deuxième problème : si mes infos sont bonnes le calcul des prédicats a été mis au point par Hilbert et Ackermann en 1928...
Mézalor, à quel saint se vouer ?
Quelqu'un a-t-il une explication ?
Merci d'avance
Martial

xax · December 2019

Zermelo utilise le terme "definite eigenschaft" qui se traduit par "propriété définie" ou "propriété certaine", et non par "proposition", et son système se skolémise bien. Donc Zermelo a été formalisé directement dans le cadre du calcul des prédicats du premier ordre ultérieurement et complété par Fraenkel (ZF(C)) puis enrichi par Bernays (NBG).

Si tu es intéressé par l'histoire détaillée, Fraenkel et Bernays ont écrit un livre "axiomatic set theory" avec une importante contextualisation historique.

Martial · December 2019

Merci, xax.
Il faut que je vois cela.
J'ai donc raconté des conneries dans mon Chap 10, il va falloir que je rectifie.

xax · December 2019

Je t'en prie c'est moi qui te remercie, ce sont des choses que j'avais vues il y a 30 ans déjà à l'université avec un cours d'introduction décent - pas du tout comme les trucs de taupins - mais je n'ai jamais plus eu le temps d'y revenir alors que c'est passionnant et fondamental.

Martial · December 2019

@xax ; dans la version précédente je disais que le système de Zermelo est contradictoire puisque, ne définissant pas la notion de "formule propositionnelle", il ne permet pas d'échapper au paradoxe de Berry.
Voilà comment j'ai rectifié :

Enfin, on pourrait penser que l'axiome de compréhension est insatisfaisant dans la mesure où on ne sait pas bien ce qu'est une formule propositionnelle. Si tel était le cas, le système originel de Zermelo serait inconsistant, puisqu'il ne permettrait pas de contourner le paradoxe de Berry. En fait il n'en est rien. Dans le texte original, l'expression en allemand pour "formule propositionnelle" est "definierte Eigenschaft" (propriété définie), donc il semblerait bien que Zermelo ait travaillé dans une version simplifiée du calcul des prédicats du premier ordre, qui était naissant à l'époque et qui a été complété par Hilbert et Ackermann en 1928.

Ça te paraît tenir la route ?

xax · December 2019

Je pense que ce doit être correct, mais je n'ai pas d'autre compétence qu'une petite culture générale universitaire - que je comptais approfondir en commençant ton bouquin si je trouve le temps :-) Donc je t'ai envoyé la biblio sur le mail que tu indiques sur ton site, ça devrait faire ton bonheur.

Martial · December 2019

@xax : bien reçu, merci

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