Collaboratif axiomes enfantins
Pour des raisons à la fois administratives et personnelles, je vais devoir définir formellement une liste d'axiomes "enfantins". Pour ça, j'ai besoin de vérifier quelques aspects de manière non solitaire. Ce fil sera consacré à ça. Je vais numéroter les questions et les mettre en italique.
1/ Comment prouvez-vous à des méchants sceptiques la transitivité de la relation de parallélisme de droites dans le plan?
Pour ma part, la manière la plus simple que je trouve est particulièrement tordue, puisque j'ai recours à une "projectivisation", à savoir que je prouve la transitivité de "se couper sur l'horizon". Je cherche plus simple, sans recours à "l'horizon".
1/ Comment prouvez-vous à des méchants sceptiques la transitivité de la relation de parallélisme de droites dans le plan?
Pour ma part, la manière la plus simple que je trouve est particulièrement tordue, puisque j'ai recours à une "projectivisation", à savoir que je prouve la transitivité de "se couper sur l'horizon". Je cherche plus simple, sans recours à "l'horizon".
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Qu’est-ce que le parallélisme ? (Est-ce la négation de « il existe un unique point appartenant aux deux droites » ?)
Autre question : on est où ?
En algèbre linéaire c’est assez simple avec la colinéarité.
Et vu la démonstration, je doute que l'on puisse éviter l'axiome des parallèles.
[Activation du lien. AD]
(*) On se place dans une théorie du premier ordre avec deux sortes $P$ et $D$, et un symbole de prédicat à deux arguments $I:P\times D \to énoncé$ ("incidence"), ainsi que les axiomes suivants:
1°) pour tous $a,b$ de sorte $P$, il existe $d$ unique de sorte $D$ tel que $I(a,d)$ et $I(b,d)$
2°) pour tous $e,f$ de sorte $D$, il existe $p$ unique de sorte $P$ tel que $I(p,e)$ et $I(p,f)$ .
Une telle structure s'appelle un "plan projectif". Les objets de sorte $P$ (resp $D$) s'appellent les "points" (resp "droites")
Soient $x,y,z$ des droites. La phrase "$x$,$y$ et $z$ sont concourantes" abrège "il existe $p:P$ tel que $I(p,x)$ et $I(p,y)$ et $I(p,z)$". On dira aussi que "$x$ et $y$ sont $z$-parallèles"
On a donc:
Pour tout $i:D$ et tous $x,y,z:P$, si $x$ et $y$ sont $i$-parallèles et $y$ et $z$ sont $i$-parallèles, alors $x$ et $z$ sont $i$-parallèles.
Simplement parce que $x$ et $z$ passent par l'unique point d'intersection entre $y$ et $i$ (cf 1°).
(**) En pratique $P$ serait la réunion du plan "usuel" et de l'ensemble $i$ des droites quotienté par ... la relation de parallélisme (et $D:=$ réunion de $\{i\}$ et des droites habituelles).
@foys : si si il est quand même au moins un peu sensible puisque en rapport avec "ce qu'on voit" (à condition de couper un demi plan et de mettre l'horizon à l'horizontal disons. Bon certes ce n'est pas terrible mais ça me semble probant).
De toute facon on suppose toujours ce qu'on prouve :-D par définition des maths mais j'ai compris ton argument de critique de boucle.
On a envie de parler d’euclidien alors qu’on s’en passe grandement dans le supérieur.
Sais-tu ce que tu cherches Christophe ?
Est-ce pour convaincre un CM1 sans l’ensorceler ?
L’idée des rails (bon, qu’il y ait des virages ou pas) me semble une piste.
Mais est-ce un raisonnement ou un ensorcellement ?
Le train A roule sur les rails 1 et 2.
Le train B roule sur les rails 2 et 3. (Le train B est éventuellement plus ou moins large que le train A).
On attache les trains A et B côte à côte pour former le train C.
C’est cette idée que j’essaye de repenser sans les trains.
Voir https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_plane_(incidence_geometry)
On garde les notations de mon message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1910296,1910466#msg-1910466
deux droites $m,n:D$ sont dites sans point commun si pour tout $x:P$, $\neg \left (I(x,m) \wedge I(x,n) \right )$.
deux droites sont dites parallèles si elles sont égales ou sans point commun.
NB: pour que deux droites $a,b$ soient parallèles, il est nécessaire et suffisant que pour tout $x:D$, $\left [\left (I(x,a) \wedge I(x,b) \right )\Rightarrow a = b\right ]$
Les axiomes du plan affine sont
A1) Pour tous $x,y:P$ tels que $x\neq y$, il existe $d:D$ unique tel que $I(x,d)$ et $I(y,d)$.
A2) Pour toute $d:D$ et tout $x:P$, $\neg I(x,d)$ entraîne l'existence d'une unique $e:D$ tel que $I(x,e)$ et $e$ et $d$ sont sans points communs (existence d'une unique parallèle à une droite passant par un point donné).
A3) $\forall d:D,\exists p, q:P, p\neq q \wedge I(p,d) \wedge I(q,d)$ (toute droite contient au moins 2 points).
A4) $\exists x,y,z:P, \forall d:D, \neg \left ( I(x,d) \wedge I(y,d) \wedge I(z,d)\right)$ (il existe 3 points non alignés).
La transitivité du parallélisme résulte de A2 seul !!
Soit $x$ un point commun à $e$ et $g$. Alors si $I(x,f)$, (définition du parallélisme entre $e$ et $f$) on a $e=f$ et de même $g=f$ d'où $e=g$ et le résultat. Sinon, $e$ et $g$ sont des droites différentes de $f$ et parallèles à celles ci, donc sans points communs avec $f$; et passant par $x$. L'axiome A2 garantit l'unicité d'une droite ayant ces propriétés d'où à nouveau $e=g$ et le résultat.
https://math.stackexchange.com/questions/1857107/transitive-parallel-lines-in-noneuclidean-geometry
En fait, je ne me contrains pas aux systèmes connus, mon objectif étant juste (il n'est pas atteint, ni même assez commencé) étant de quantifier l'intensité de déductif (et souplesse) que l'on peut proposer dès le plus jeune âge, étant entendu (ou supposé) que je sais déjà depuis longtemps comment décrire tout ça à partir d'un âge où on "a le droit" de supposer la langue française parlée.
Je le redis, il "existe au moins une preuve" assez satisfaisante (ceci pour dire, que de mon point subjectif de vue, il n'y en pas zéro), qui consiste à regarder un plan avec un bord qui est une droite rouge appelée horizon et où parallélisme veut juste dire "se couper sur l'horizon".
Maintenant cet aspect a de nombreux défauts, dont le plus grave n'est pas l'insertion ad hoc du projectif, mais surtout [(**):= le fait que le ciel est bigarré, au sens où deux droites peuvent se couper d'un côté, mais aussi de l'autre côté de l'horizon, et que, en dehors des matheux habitués à ce genre d'acrobatie, aucun oeil naif n'est réellement conscient que lorsque l'horizon est dessinée comme celui d'un océan à l'horizontale, deux droites qui se coupent un peu au dessus de lui sont des droites qui se coupent assez près MAIS DERRIERE LUI].
En termes de symboles, pour que j'aimerais faire, la transition projectif --> affine n'est vraiment qu'un "petit défaut"*** à côté de cet inconvénient. Autrement dit, me trouver un truc qui aurait le reste des défauts sauf (**) me ferait déjà un énorme plaisir. Mais ça peut aussi être tout à fait autre chose.
*** Au même titre que la non démontrabilité de l'axiome de Désargues stricto sensu en est un petit, puisqu'il suffit de dire aux gens "imaginez que les 2 triangles ne sont pas coplanaires, mais que vous les regardez d'en haut" pour que Désargues leur apparaisse immédiatement comme évident.
C’est moche ou bien ? (Une légère flemme liée à une haleine fétide due au réveillon).
Axiome enfantin n°1. Lire est important. Celui qui se vante de ne pas avoir lu... et en cause quand même est juste un charlot.
Axiome enfantin n°2. Ecrire est important. Celui qui ne relit pas ce qu'il a écrit... prouve tout juste que son texte ne mérite pas d'être lu. Exemple: "Je clisuerai dur ton lien d'un PC Éric". Pour clisuerer dur, cela clisuere dur (ou clisuere dure, pour n'exclure personne).
Axiome enfantin n°3. Un axiome se prouve en disant "kakeu". C'est la définition d'un axiome.
Axiome enfantin n°4. Un cercle n'est pas une droite, une droite n'est pas un cercle. Se plaindre lorsqu'une droite n'est pas un cercle ne fait pas avancer le chimililiblick, même pour quelqu'un qui a été condamné, pour des raisons à la fois administratives et personnelles, à devoir définir formellement une liste d'axiomes "enfantins".
Exercice: prouver l'axiome 4.
Cordialement, Pierre.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1911608
Principe: 2 figures construites de manière déterministe en suivant le même plan avec même étalon de longueur dans $\R^n$ euclidien sont isométriques.
J'aimerais (c'est ma demande2) en donner une version formelle la plus générale possible, avec le secret espoir, dans un lointain avenir, d'aller jusqu'à obtenir un langage adapté à son énoncé suffisamment abstrait pour que lui et le théorème de Noether ne fasse qu'un.
N’est-ce pas justement une façon de dire « isométriques » ?
Je veux dire, avec les mêmes consignes, on n’aura pas forcément des figures isométriques.
Bah oui.
Sorry mais je ne vois pas autre chose qu’un truc type paraphrase.
Je suis d’accord : quand on construit un triangle avec ses trois longueurs de côtés données, on obtient toujours le même.
Et oui, « tout est pareil à tout endroit ».
Pour un quadrilatère, ça ne marche pas on est un peu plus libre.
Quand deux droites ne se coupent pas ou sont égales, elles sont egales suivant toute coupe
Peut etre un axiome sous cette forme :
Quand deux droites sont secantes il existe une droite qui coupe l'une et pas l autre
3/ Quelqu'un peut-il m'expliquer comment "on calcule rapidement", comme dit dans le lien suivant, truc écrit avec le symbole de Jacobi modulo
LIEN: https://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalité_de_Solovay-Strassen
Il s'agit d'un "vieux test" inventé par Solovay que je voudrais mieux comprendre et éventuellement utiliser comme principe illustrant.
Concernant le parallélisme des droites, je crois que je vais m'en tenir à la version projective. La seule chose qui me gênait étaient celles qui se coupent "au dessus de l'horizon" (représentant une rencontre "derrière l'oeil"), mais on ne peut pas tout avoir.
On sait que Désargues est "physiquement évident" (il suffit de se forcer à ressentir une vue en 3D des triangles), ce qui fait que la dim 3 + axiomes d'incidence à eux seuls l'entrainent.
On sait qu'il est l'expression de l'associativité de la multiplication dans le corps émergent
Pappus est lui essentiellement le théorème de Thalès, avec une commutation qui en fait l'expression de la commutativité de la multiplication dans le corps émergent.
Question: quelqu'un a-t-il entendu parler ou eu l'idée d'une "évidence" ou "croyance" physique exprimable dans l'espace qui à l'instar de Désargue, rendrait Pappus déductible de ladite?
Merci...
avec Desargue ça marche d'envoyer 3 points à l'infini car on voit tout de suite ce qu'il se passe
Avec pas puce je vais le faire tout à l'heure sur GeoGebra. Ce qui me permettra de préciser peut-être un peu mieux ma question
Envoyé de mon téléphone en lui dictant les phrases
:-S Apparemment (en tout cas, mes yeux ne le font pas), le fait de spatialiser et envoyer 3 points à l'infini ne semble rien apporter comme facilitation. Si quelqu'un y arrive? Attention, du fait qu'on a envoyé 3 points à l'infini, on est forcément dans l'espace
Je vous recommande ce MERVEILLEUX SITE !!!!
Je remercie Catherine aussi pour une autre référence qu'elle m'a donné qui est très bien, mais très longue à lire.
Et je vous affiche le nec plus ultra avec le petit mot de la fin de l'auteur du site qui décoiffe...
Au moins je sais que c'est ouvert.
Dans toutes les figures que j'ai faites, à part qu'on voit bien que Pappus $\iff$ la commutativité de $\times$, on "ressent" une torsion de quelque chose, sans vraiment arriver à la saisir et c'est ce que j'aimerai bien saisir.
Par exemple, existe-t-il un espace topologique séparé, compact, projectif (de dimension 3, qui satisfait les axiomes de Veblen et rien de plus (donc Desargues est vérifié)), les droites sont fermées, qui soit non commutatif (ie ne vérifie pas Pappus) MAIS tel que chaque droite soit connexe et séparée en 2 composantes connexes quand on lui retire deux points distincts?
Précision : j'évoque le fait que tout corps fini est commutatif, donc que toute structure d'incidence finie de dimension 3 vérifie Pappus dans ses plans.
Comme Pappus => Desargues dans toute structure d'incidence, y compris planaire, il suit que les plans non arguésiens, même finis ne vérifient pas Pappus.
Je vous la laisse deviner.
Indice: tout ensemble qui "mérite d'être une droite" est une droite. Voilà la propriété que doit vérifier un "bon" espace projectif. S'il la vérifie alors Pappus est vrai. Et mieux, ça discrimine certains corps, dont ... $\C$ (et évidemment celui des quaternions, mais pas que: aussi certains corps finis).
Depuis quelques jours que je l'avais sur le bout de la langue... :-D
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Encore une fois, le but d'une citation est de fixer le texte auquel la réponse s’adresse.
[Quand tu passes la souris sur le lien tu obtiens la citation non tronquée ! AD]
Autrement dit, tout théorème plongé dans un galimatias en ressort éclaboussé.
On part des triangles $ABC, A'B'C'$ supposés être non dégénérés et situés dans des plans distincts et sécants. Au besoin on les renumérote de façon à ce que $AB$ coupe le rectiligne du dièdre en $\Omega$ et $A'B'$ coupe ce même rectiligne en $\Omega'$.
Lorsque l'on est en $O=\Omega$, alors $Dc$ n'est autre que $AB$, tandis que $Da$ et $Db$ sont dans $\Omega BC' = \Omega AC' = ABC'$. Etant dans un même plan, ces trois droites sont coplanaires.
Par symétrie de la situation, il en est de même pour $\Omega'$. Et cela se propage pour tout $O$ sur le rectiligne.
Moyennant quoi, nous avons prouvé que le corps des réels est commutatif. Pas de quoi sacrifier 300 bœufs.
Cordialement, Pierre.
Mais mon but n'est pas de prouver ça " juste pour IR"
Expliquer coplanaire et galimatias ? Il y a des dictionnaires pour cela. Quant à "écran petit", Noël c'est bientôt, dans moins d'un an.
J'ai été opéré de la cataracte au mois de mai de l'année dernière, et je peux te dire que pendant les deux derniers mois avant l'opération j'étais obligé de grossir les fichiers tex à 200% (sur un grand écran) pour y voir quelque chose. Je ne pouvais plus lire un livre physique, et quand j'ai montré à mon ophtalmo le grossissement que je mettais sur mon téléphone pour pouvoir lire un Kindle elle a tout de suite compris où était le souci.
Cordialement
Martial
P.S. : "Il y a des dictionnaires pour cela".
C'est quoi, déjà, c'huistiole ?
Je connais les mots coplanaire etc. Mais je préfère une vraie preuve qui assume ses admis: je ne comprends pas "rectiligne du dièdre, se propager le long de".
Pldx je trouve dommage que tu te ridicules de manière manifedte à parler de choses que tu maîtrises mal et que tu agressés foys gratuitement. Il y a deux autres posts dans même fil j'ai juste mis un lien vers le premier.
Je ne t'ai jamais vu "aider" vraiment de jeunes étudiants ou des débutants sur ce forum. Tu t'es intégré aux experts en géométrie avec tes arguments assistés par ordinateur et ils l'apprécient.
Pourquoi ne pas devenir plus sincère et développer de la générosité ou du moins de la clarté. Veux tu éternellement rester l'intervenant qui casse (sans efficacité) et qui ne fait jamais de maths (faire des maths c'est être convaincant et pas juste impressionner des experts géomètres avec de l'ésotérisme certes correct mais réservé à quelsues camarades et c'est surtout ne pas bluffer en allant se ridiculiser comme tu le fais avec des tournures cassantes approximatives sur une construction de IR que tu maîtrises visiblement superficiellement et mal, ou autres items (flemme de mettre des liens la construction de IR n'edt le seul )
En plus tu te permets de pérorer dogmatiquement ton avis pédagogique sans même avoir une idée de la problématique (comme si un gars comme patrick123 ne devait avoir qu'une idée stéréotypée qui serait celle d'imiter des profs de L1-2 ou cpge. Je rappelle que plein de docs ne sont pas faits pour être compris en première lecture mais pour être possèdes dans une bibliothèque en cas de besoin.
Aucun enseignant ni de lycée ni de prepa ne fait des maths. Ils ne sont qu'un rouage pour former d'autres gens. Ils ne sont pas une référence puisque très contraints par leur exigences pedagogistes et leurs exos stéréotypés souvent plats liés au bachotage des concours.
Se montrer arrogant MAIS SURTOUT dogmatique comme tu le fais sans jamais rien justifier n'edt pas cohérent avec le devoir de prouver.
Et heureusement qu'il n'y a pas besoin de IR pour définir suites de Cauchy (ni de distances), pas plus que de suites pour définir un réel (qui est l'ensemble des rationnels inférieur à lui).
J'attends toujours que tu m'aides en rendant compréhensible ta "preuve de Pappus". C'edt un domaine où tu es compétent, pourquoi ne pas partager?
De mon téléphone. Je lirai et commenterai demain le pdf de P123
CC, tu as aussi une dent contre la géométrie et aussi une dent contre les arguments assistés par ordinateur ?
Si tu n'aimes pas ça, n'en dégoûte pas les autres, ça n'a rien d"ésotérique, comme tout, ça se travaille quand on veut bien.
Et bien sûr, tu sais que je n'ai pas fait de maths en classe, car tu étais là, peut-être ? Quelle prétention !!
Cordialement,
Rescassol
Et bien non j'ai bien écrit pldx. :-S
Ai pitié du vieillard que je suis eventuellement la prochaine fois, et documente mieux tes motivations parce que là je n'ai vraiment rien capté (la seule chose que j'arrive à penser sans certitude est que tu accomplis un acte de solidarité du genre "je soutiens pldx" comme d'autres diraient "je soutiens les grévistes", mais c'est assez alambiqué)
https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/avoir.php
Je n'ai rien lu de ce fil ou presque, mais pldx1 fait référence à ce fil :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1917336,1917414#msg-1917414
Dictionnaire (si j'ai bien compris) :
Le dièdre se réfère aux deux plans $(ABC)$ et $(A'B'C')$.
Le rectiligne du dièdre est l'intersection de ces deux plans.
Dans le fil mentionné, il définit trois droites $D_a$, $D_b$ et $D_c$ dépendant d'un point $O$. Il vérifie que ces droites sont coplanaires pour deux cas particuliers ($O=\Omega$ et $O=\Omega'$) et dit que "ça se propage", c'est-à-dire que c'est vrai pour tout point $O$ appartenant à la droite $(ABC)\cap (A'B'C')$.
Autre chose : Rescassol considère qu'un ordinateur est un outil valable pour faire des maths. On a le droit de préférer les démonstrations synthétiques ou les calculs assez simples pour être effectués à la main, mais on ne peut pas dire que ce ne sont pas des maths.
D'autre part, je ne suis pas d'accord avec la phrase "Aucun enseignant ni de lycée ni de prepa ne fait des maths". Que tout le monde n'en fasse pas, ou bien que l'activité vraiment mathématique (=écrire une démonstration qui ne soit pas quasiment du recopiage d'un corrigé) ne prenne qu'une petite partie du temps de cours, c'est possible, mais "aucun"... surtout en prépa... faut quand même pas exagérer
Attention : il le serine moins qu’avant.
Comme JLT, d’une part, ne généralisons pas.
D’autre part, je crois à un malentendu : des profs du secondaire font des maths.
Mais peut-être que Christophe dit que leurs élèves ne retiennent rien des maths.
C’est toujours cette ambiguïté qui est difficile à lever.
C’est un peu comme (toute proportion gardée) « le prof a terminé le programme ».
On peut boucler le programme en un mois mais qu’est-ce qu’il en reste chez les élèves ?
Est-ce que Christophe dit que « les maths ne sont pas enseignées » parce qu’il n’en reste rien quand il reçoit des élèves de 2nde par exemple ?
Est-ce qu’il balance cette généralité parce qu’il constate que très peu de profs (dans son échantillon) font des maths et que c’est tellement négligeable qu’ils ne comptent pas, statistiquement.
Là où j’ai compris l’un de ses points de vue (C.D.A.L.) c’est que les profs donnent souvent des sujets de récitation de leçon (appliquer Pythagore dans un cas simple, puis dans le cas où une soustraction est nécessaire, par exemple).
Ok. Le prof teste et se rend compte de qui, dans la classe, a appris sa récitation.
Cette partie n’est pas des maths.
Par contre, pour appliquer Pythagore dans un cadre « vraiment maths » il faut tout de même connaître sa récitation, à cet endroit.
Dom
NB : Christophe, j’ai dit « il » au lieu de « tu ». Ce n’est pas méprisant, c’est juste la manière dont je fais suite au message précédent. Bien entendu, ça s’adresse à tout aussi, cordialement.
Pour le fin de ton message je parlais dans un contexte précis évidemment. Pas "en général".
Ce que je voulais essentiellement dire c'est inviter à la modestie des intervenants qui plastronnent avec des airs définitifs qu'il fait faire ci et ça alors qu'ils ne précisent absolument pas leur contexte et les contraintes qui n'ont rien à voir Y COMPRIS EN PREPA en provenance de la pédagogie. Sur un exemple ce n'est pas la pédagogie qui commande qui est IR où une suite de Cauchy par exemple.
Or pldx (et chaurien que je salue au passage) ont tendance à confondre ces deux aspects ce qui amène chaurien à trop se focaliser sur des exos résolus depuis longtemps et "bachotage-concours" en appelant ça "des vraies maths" (ce serait moins gênant pour lui si à côté il s'abstenait d'égratigner régulièrement les gens faisant autre chose allant même jusqu'à rabaisser ceux qui travaillent dans AChoix) et pldx à croire que convaincre ses pairs dans les fils de géométrie suffit à justifier qu'il prenne de haut tout le monde sur le forum et ne fournit jamais d'argument simple à des exos faciles dans les fils d'étudiants.
En ce sens j'ai envoyé une attaque ciblée pour leur rappeler que chercher n'edt juste connaître des solutions fussent elles sur de beaux exercices, mais aussi faire tout un tas de choses "orphelines". Dans aller jusqu'à les inviter forcément à résoudre des problèmes ouverts, mais c'était le ton. Le tout comme aujourd'hui de mon téléphone.