Le paradoxe de la faucheuse

Le paradoxe dit "forall x (P(x) => Q)" où P(y) signifie "y est une famille de faucheuses satisfaisant les hypothèses de l'énoncé" et Q un énoncé apparemment faux ne mentionnant pas x.

Pour prouver Q, il faut prouver qu'il existe au moins un tel z tel que P(z).

Dit autrement : $F$ est une partie de $\R$ (l'ensemble des faucheuses).
$V$ est un intervalle de $\R$ (la période de vie).
On suppose que $\sup V\in F$, $\inf V<\inf F$ et que $\forall x\in F$, $V\cap ]x,+\infty[=\emptyset$.

Alors ces conditions sont impossibles à remplir si $F=\{8+2^{-n}\mid n\in\N^*\}$.

Cyrano a écrit:

Pas mal de philosophes se servent de ce petit paradoxe pour remettre en cause l'existence d'un infini réel ou, plus modestement, pour défendre l'idée du finitisme causal.

Il y a un éloignement grandissant entre les disciplines et un déficit de formation dans les concepts de base de la logique/informatique théorique (qui frappe jusqu'aux profs de maths non logiciens: voyez les vagues d'insultes déclenchées par la mention de définition d'une fonction ou le simple rappel de ce que l'existence de suites définies par récurrence se prouve comme n'importe quelle affirmation mathématique traitée comme une certitude).

"Définie par récurrence" est l'idée clé ici. La relation $xRy$ ssi $y\geq x$ est mal fondée sur $\N$ et donc on ne pourra pas s'en servir pour définir le comportement des faucheuses par induction (ou on pourrait avec un artifice (*) mais il ne serait défini que sur une partie de $\N$, l'ensemble vide en l'espèce).

[size=x-small](*) je ferai un post détaillé quand j'en aurai le temps je pense. On peut récupérer la fonction bizarre de christophe c à valeurs dans les boréliens au passage.[/size]

:-D Ah mince je n'ai pas reçu le Corto-diplôme, faudra que je redouble et repasse l'examen l'an prochain :-D

Je pense qu'on la trouve facilement en tapant sur google "thèse de" + HAL

Etant sur un PC, je rappelle les autres versions (vu que je suis essentiellement "l'inventeur officiel" de ces trucs il y a 40 ans), car le fait de mettre le mot faucheuse ne me parait pas très cool.

V1/ Le chauffage économique: toute fonction continue sitrctement décroissante sur les intervalles $J$ tels que $f[J] \subset [25, +\infty[$ et strictement croissante sur les $J$ tels que $f[J] \subset ]-\infty, 25[$ a son image directe entièrement incluse dans $ [25, +\infty[$. Autrement dit un chauffage qui ne met pas "un temps non nul" à se déclencher quand il fait froid n'a jamais besoin de démarrer, la pièce se chauffe toute seule de peur de déclencher le chauffage)

V2/ La mémoire infinie n'existe pas. Chaque jour $n$,le gardien qui se souvient de son passé éternel met un tampon rouge s'il y a une infinité de $p\in \Z$ tel que $p<n$ le jour $p$ il se souvient avoir mis le tampon vert, et vert sinon. Théorème "évident": il n'existe pas de suite de rouge, vert ayant cette propriété, le gardien du temps est obligé de se tromper une infinité de fois

V3/ voir ma thèse chap 9 ou le fil "celui-ci il vous plaira" (lien à l'edit). Deux utilités, où celle sur le passé infini est assez dérisoire à côté de celle qui donne un moyen de distinguer si un tirage "réellement aléatoire" a été fait APRES constat des résultats. C'est passer sur l'existence pour tout $E$ de $\phi$ telle que pour toute suite $u$ à termes dans $E$, il existe un entier $n$ tel que pour tout entier $p>n: \phi(q\mapsto u(p+1+q)) = u(p)$ (versoin violemment qu'avec le $\neq$ utilisé pour les faucheuses, mais using AC pour le non dénombrables)

V4/ Ce n'est pas vraiment une de plus, c'est juste pour signaler que c'est comme ça, par exemple, que je prouve que la relation d'ordre $(A>B) := \exists f$ continue $:\forall x\in E^\N : B(f(x)) = (\exists n: A(p\mapsto (2^n(2p+1)))$ est bien fondée, et donc démontre que l'alternance de quantificateurs ne sera JAMAIS réduite dans les sciences.

Bref, plutôt qu'utiliser le mot paradoxe, il me semble préférable d'en tirer des THEOREMES. A chaque paradoxe correspond souvent un raisonnement formel sous-jacent qui est profitable par les théorèmes qu'il prouve.

Quelque chose m'intrigue. En appelant $V(t)$ le prédicat "je suis vivant à l'instant $t$", une vie "normale" (pour simplifier je néglige la naissance) est caractérisée par un événement : ma mort à l'instant $m$, et donc, $V(t)$ est vrai pour $t < m$ et faux pour $t\geqslant m$. Par exemple, avec deux faucheuses, la seconde me tue à 8h15, et donc $V(t)$ est vrai pour $t < 8h15$ et faux pour $t \geqslant 8h15$. Mais avec une infinité de faucheuses, on a $V(t)$ vrai pour $t \leqslant 8h$ et faux pour $t > 8h$, autrement dit, il n'y a plus d'instant $m$ de ma mort. Comment pourrait-on parler de sa cause ?

Par ailleurs, je ne comprends rien à cette histoire de récurrence mal fondée. Selon moi, la situation se décrit simplement par les deux hypothèses
1) on a $V(t)$ pour $t \leqslant 8h$
2) pour tout entier $n > 0$ et pour tout $t \geqslant 8 + 1/2^n$, on a $\neg V(t)$, et l'on en déduit $ \neg V(t)$ pour $t > 8h$.

Ce n'est pas l'hôtel de Hilbert ? :-D

@Poirot: l'hôtel dont tu parles a été détruit par un incendie. Une enquête est en cours, un concurrent aurait été aperçu avec une boîte d'allumettes.

Il paraît qu'on est un peu trop à l'étroit dans l'hôtel de Fermat, la direction se plaint de marges insuffisantes...

christophe c a écrit:

de ce genre oblige à orienter l'espace (ou créer d'autres assymétries peu acceptables).

Bref, même à un niveau très basique, nos conceptions du réel rencontrent déjà plein de problèmes de contractions. Et ce juste pour poser deux glaçons (ou diamants abstraits) l'un contre l'autre.

C'est juste parce que tu insistes pour dire qu'un solide est modélisable par une partie de $\R^3$.
Si on choisit de modéliser les solides par des trajectoires d'éléments de $L/\sim$ où $L$ est l'ensemble des parties mesurables de $\R^3$ (au sens de Borel ou Lebesgue, peu importe; et $\sim :=$ la différence symétrique des deux parties est de mesure nulle) sous l'action du groupe des isométries de $\R^3$; tous ces problèmes sont résolus. En fait de paradoxe,j'ai l'impression qu'il y a plutôt une attaque d'axiomes plus ou moins implicites rajoutés par tes soins ;-).

A titre d'info, la relativité restreinte rend impossible l'existence de solides (elle invalide l'existence d'une partie de $\R^4$ qui est vue dans tous les référentiels comme l'union de deux courbes $t\mapsto f(t),g(t)$ avec $t \mapsto \|f(t) - g(t) \|$ constante).

@GA: je viens seulement de voir ton post et je ne me rappelle pas cette histoire de "pas détrompé" ?

@Cyrano, ce qui est dur c'est de formaliser le concept de "causalité". En maths rien n'est la cause mécanique de rien (il n'y a pas une "interaction" qui relie la primalité de 17 au fait que sqrt 2 est irrationnel même si former et prouver une implication est possible).
Ici comme l'a souligné christophe c il y a une dépendance problématique entre l'état mort/vivant du sujet à un certain instant et un nombre dénombrable d'états de même nature dans le passé.