Origine des axiomes

Pour les maths, les gens s'y sont pris essentiellement par essais/erreurs (voir la crise des fondements) et ont mis des axiomes qui leur paraissaient vrais.

@TakeoJordan : je me place à un niveau nettement plus élémentaire que Christophe.
Jusqu'à une certaine époque (fin du 19ème début du 20ème), on a fait das maths "à l'arrache" en se basant sur ce qu'on pensait être "la logique des choses".
Puis, quand on s'est aperçus que ces tâtillonnements menaient à des contradictions, on a décidé d'axiomatiser, la logique d'abord, les maths ensuite.
Les axiomes ont 2 objectifs :
1) "Coller" le plus près possible à ce qu'on "pense" être la réalité, un peu comme F = m gamma en mécanique.
2) Eviter (si possible) les contradictions.
Et depuis Gödel on ne sait pas si on a atteint ou non notre objectif.

Par exemple l'existence d'un ensemble contenant 0 et stable par successeur ne contenant pourtant que des nombres < à 10^(10^10) est obligée d'être postulée fausse avec des axiomes qui aussi élégants et cachotiers soient ils se révèlent facilement (et automatiquement depuis Godel) supposer ce dogme qu'on prétend ensuite prouver.

Un autre exemple assez récent est la définition complètement ridicule et fautive de IP et la preuve cachotiere de PSPACE inclus dans IP (lire iiiiiiiii pé) donnant l'illusion d'un progrès aux scientifiques de la trempe de foys qui croient que le hasard est simulable en conditions déterministes

(c'est un de nos marronniers amical, foys trop fort en maths sait renvoyer le problème dans une description mathématique de l'aléa des conditions initiales de sorte qu'il oublié psychologiquement qu'il l'a supposé une fois qu'il l'a placardise dans un lointain passé :-D )

De mon téléphone

Qui est "IP" ?

foys a écrit:

pourquoi la difficulté de produire une suite de 1000000bits non équilibrée

Effectivement tu as beaucoup de choses à faire, et tant mieux, en ce 31/12/2019. Car tu as oublié d'invoquer une procédure de tirage au sort (le programme "write 1000000 fois le nombre 1" n'est pas classifiable dans ce qu'on pourrait qualifier de "difficile")

Mais je suis d'accord avec toi pour ne pas ré-évoquer ces jours-ci ce marronnier. Et si si je lis à peu près tes msg, sauf que sur ce thème, je "connais d'avance" tes preuves simplifiées des LGN, que tu as le génie de débarrasser généralement de leurs pellicules snobes, trop souvent laissées par des ouvrages, mais après, évidemment, quand tu fais divers usages très techniques, même si ultrasûrs de coefficients binomiaux, je survole souvent.

Je rappelle juste que le paradigme probabiliste utilise des valeurs de vérité non dans {vrai; faux} et compte (ie fait du comptage). L'exemple, parmi les plus célèbres est le fait qu'en tirant au sort une suite de 0 et de 1, par simple comptage, on obtient que la proba que la suite obtenue a un plus petit programme qui la produit à peine plus court qu'elle alors que pas un être humain ne sait aujourd'hui revendiquer la fabrication algorithmique d'une telle suite (exercice trivial, s'il pouvait il génèreraitun petit programme qui la produit, alors que la proba qu'il n'en existe pas est proche de 1)

Il n'y a pas que dans le fini que la condition "ai-je utilisé le vrai hasard ou l'ai-je simulé" devient à mettre en paravanet inévitable de conclusions linguistiques, même l'infini (parfois bien plus spectaculairement) l'impose:

- chapitre 9 de ma thèse (qui établit une possibilité cliniquement réelle de savoir si on dispose d'unvrai hasard ou d'un hasard simulé, sans différence de lois, mais moyennant un sacrifice)
- Banach-Tarski: qui "prouve" à un univers pensant qu'il rate des réels
- Exemple précédent, avec suite infinie tirée au sort (proba1 de ne pas être récursive)
etc

Pour revenir dans le fini, IP est l'ensemble des ensemble d'entiers où il existe un détecteur de mensonges qui travaille en temps polynomial qui discrimine. On peut prouver que n'importe quel ensemble PSPACE est dans IP.

Exemple (mais c'est démontré pour n'importe quel jeu de même complexité): je complète le jeu d'échecs en la règle que si au bout de 1000 coups les blancs n'ont pas gagné, alors on arrête et les déclare perdant, cela évite les matchs nuls. Supposons qu'à jeu, il existe une stratégie gagnante pour les noirs.

Et bien on dispose d'un algo, qui tourne en temps (et donc espace) court (par exemple un pc de bureau tout bête le fait très bien), mais procède à des tirages au sort, qui démasque (avec proba $>0.9$) toute personne qui prétendrait connaitre une stratégie gagnante pour les blancs. Et qui d'autre part, ce même algorithme, si on admet maintenant que les blancs ont une SG, et bien on sait le convaincre (avec proba 1, donc sûre), en utilisant ladite, qu'elle existe.

Autrement dit IP est l'ensemble des ensembles pour lesquels, avec aléatoire assymétrique autorisé, il existe un algo polynomial qui, pour toute entrée, démasque tous les menteurs avec forte proba et croit à tous les honnêtes avec forte proba.

Sauf que dans cette définition, on définit mathématiquement les adversaires (dont on cherche à savoir s'ils mentent ou disent vrai) comme devant être des fonctoins (déterministes donc). C'est le comble du ridicule, scientifiquement.

La preuve est triviale***, sauf sa partie calculatoire qui consiste à remplacer par des éléments d'un corps fini assez grand les réels pour pouvoir avoir des implémentations fiables.

*** :-D en fait si on s'autorise tous les nombres réels comme des données natives, on a même beaucoup mieux: les probas valent 1 (et non pas des nombres proches de 1). En effet, pris au hasard, des réels ont 100% de chances d'être algébriquement indépendant, donc permettent d'écrire les polynômes sans le dire.

Je schématise la preuve: prenons un jeu avec des 0 et des 1 (être PSPACE = être un jeu de ce type, arbitrable en temps P). Il est "évident" (Cook-argument) qu'il revient à se demander si

$$ \prod_x \sum_y \dots P(x,y,\dots) = 0 $$

où $\prod_x f(x)$ veut juste dire $f(0)\times f(1)$ et $\sum_x f(x) := f(0) $ et $f(1)$ en définissant $a$ et $b:=a+b-ab$

Tu as donc une suite de polynômes $P_i$ à $i$ indéterminées qui termine sur le polynôme qui arbitre qui a gagné.

Les exigences étant pour tout $i : P_i(w) = P_{i+1}(w,0) \times P_{i+1}(w,1)$ (par exemple, pour "et" ce serait pareil), le dernier étant l'arbitre, le premier, étant le résultat (donc un élément de $F_2$) sans variable.

Ca explose évidemment exponentiellement. Mais

1/ On quotiente tjs par $X^2=X$ à chaque étape (ce ne sont pas exactement des polynômes, mais des écritures dans le corps libre de Boole). Ca ne change rien à l'explosiion, mais chaque variable est traitée affinement

2/ Si tu remplaces par des réels aléatoires, ça devient polynomial, alors que ça ne change rien non plus, puisque ces réels tirés, ne sont rien d'autres que les indéterminées (opératoirement), ce qui fait que ton dialogue avec le menteur est trivialement sécurisé en temps polynomial.

Pour obtenir la "vraie" preuve, tu prends un gros entier premier $p$ (des découvertes récentes ont attesté que ça se fait en temps polynomial) et travaille dans $F_p$.

Quand ces trucs là ont été publiés, il y a à peine 30ans je crois, il y a eu un engouement comme si une révolution venait de se passer. Les gens ont juste oublié que c'est un truisme, ils ont ressenti une émotion du style:

La phrase est de moi, mais elle traduit psychologiquement le ressenti probable de scientifiques hélas un peu trop classiques et qui n'ont pas du tout compris qu'évoquer des stratégies est une DOCTRINE erronée sans symétrie (par exemple IP ne peut pas marcher si on propose à Dieu de faire des choix quantiques). Là, ils demandent à une fonction d'affronter un générateur aléatoire et crient EUREKA parce qu'elle perd :-D

christophe c: les probas des maths n'étudient pas ($T$ étant une partie de $\N$ mettons) des éléments de $\R^T$ (que l'on qualifierait d' "aléatoires") mais des parties de $\R^{T}$ (avec une mesure sur $\R^T$ servant à qualifier d'invraisemblable telle ou telle partie:rappelons que l'adjectif "invraisemblable", tout comme "rare", qualifie un couple d'ensembles imbriqués contenant le sujet de la phrase et non pas le sujet lui-même).

En invoquant ces possibles fonctions $f$ à valeurs dans $\{0,1\}$ telles que $f(u)=0$ pour toute "suite aléatoire", j'ai l'impression que tu t'efforces de démolir l'épouvantail que tu as toi-même construit.

l'adjectif "aléatoire" appliqué à une suite est carrément hors maths (sauf dans l'industrie des générateurs aléatoires où la définition proposée est assumée arbitraire à 100%).

Foys a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1913330,1913416#msg-1913416

Tu peux citer les fils en question si tu les as mémorisés stp ? Merci.

[Inutile de reproduire un message présent sur le forum. Un lien suffit. D]

Merci Christophe oui je veux faire les calculs moi même mais je suis surtout intéressé par "Les probas pratiques sont entièrement affaires d'ordres de grandeur (le vrai message des probas mathématiques n'est intelligible que dans le langage de l'analyse non standard dont le mot "difficulté" fait partie).",
mais je n'ai pas vu le message de Foys plus loin avec l'exemple.

Mais aussi de ton message: "le hasard est simulable en conditions déterministes"

merci pour ces explications, j'ai aussi ta thèse que je dois imprimer car impossible de comprendre sinon.

Bonne année à toi aussi Christophe.


Edit: pour éviter d'envoyer un nouveau message, merci Foys et bonne année.

De mon téléphone: j'ai parcouru la page1 du lien et vu que remarque est intervenu. Or ça date d'il y a 2ans dit le forum. Ça me fait chier de l'avoir loupé j'ai l'impression qu'il est parti depuis bcp plus longtemps et il nous manque!!

@smith: quelques rappels sur la machinerie scientifique sont peut-être éclairants:

1/ maths veut dire "recherche de certitudes formelles absolues"
2/ maths veut dire "recherche de "bonnes" certitudes"

et il est important de bien comprendre la différence de statut grammaticalo-logique entre foi et certitude. La foi permet aux uns et aux autres de prendre des décisions (ou autre) en l'absence de certitudes. On "ne croit pas" aux certitudes, pas plus qu'on ne les nie", elles sont des étiquetages de circuits pour nous rappeler surtout la présence des circuits découverts.

3/ La différence entre (1) et (2) tient à la façon dont sont choisies certaines hypothèses. Autrement dit, il n'y a pas de différence, la physique est une branche des maths, celle qui revient au labo de maths après des excursions "en Montagne" (où Montagne veut dire "petit tour dans le monde métariel") avec des hypothèses (souvent appelés axiomes àattaquer) dans sa besace. Exemple: un axiome qui parle de gravité (continuellement attaqué par les déductions des physiciens) a l'air de résister depuis très longtemps aux attaques. (Rappel: attaquer A, c'est prouver des A=>B's, et parfois pour ces B, les tester matériellement)

4/ Si on ne s'occupe pas d'optimisation de Stockage des théorèmes, la notion de preuve ou d'affirmation sont la même. Il n'y a pas besoin de "différencier" l'objet preuve de l'objet phrase (pas plus d'ailleurs que n'importe quel objet mathématique. Une preuve est juste un énoncé de la forma $H_1\to (H_2\to \dots \to (H_n\to P))\dots )$, et il est considéré comme une preuve du théorème $P$ dans telle ou telle théorie par tel ou tel manuel quand TOUS les $H_i$ sont considérés comme des axiomes de ladite théorie.

5/ Une présentation à peu près équivalente est la suivante: une preuve est une suite de phrase de la forme :

$$P_1;P_2;\dots $$

où pour chaque $n$, il existe $A,B, Q$ tel qu'on passe de $P_n$ à $Q$ en remplaçant UNE occurrence de $A$ par $B$ dans $P_n$ et où $P_{n+1} = ((A = \to Q)$

6/ On ne peut pas faire mieux, ni rêver meilleure présentation. On peut l'affiner, c'est tout, mais je t'épargne ça. En fait la polarité logique permet de choisir entre $A\to B$ et $B\to A$ plutôt que supposer brutalement $A=B$, car il n'est JAMAIS NECESSAIRE de supposer les deux (ie $A\to B$, ainsi que $B\to A$, comme le fait $A=B$)

7/ Quand, pour une raison de constat formel (voir matériel), on estime qu'une des hypothèse est ou bien l'évidence absolue $X\to X$ (autrement dit $X\to Y$ avec conviction ou constat que $X=Y$), on la retire ou la met en blanc ou petit caractères. Idem si on considère que c'est un axiome, mais avec la même restriction de vérification "des pointeurs"

8/ Tu n'as donc pas de phénomènes tel que généralement fantasmé par certains matheux ou scientifiques, qui voudrait qu'il existe des théorèmes "difficiles" ou "limite" en termes de tension avec je ne sais quoi. Un théorème est TOUJOURS une version DEGRADEE d'évidence "décevante", au sens où il SUFFIT de le généraliser BETEMENT (mais de manière inspiré) pour tomber sur une évidence formelle vide.

9/ Et tout ceci est "auto-prouvé" en quelque sorte par le théorème dit de complétude de Godel.

10/ Voilà, il me semblait utile de préciser ces points (je peux prouver ce que je dis, ce sont des théorèmes de maths). Par exemple le point (4), bien trop méconnu, requier t uniquement es axiomes suivants et aucun autre:

a/ $(A\to \to (X\to A)\to (X\to $

b/ $(A\to \to (B\to X)\to (A\to X)$

10/ Un point trop souvent méconnu aussi est que le modus ponens est une règle FAUTIVE: la bonne règle est:
De $A$ et $B\to C$ déduire $(A\to \to C$, qui donne l'illusion du MP quand $A=B$ et quand "on se permet" de retirer le $(A\to A) \to C$ qui se trouve devant pour obtenir $C$. Mais à l'époque où on délègue à des machines fonctionnant à 3 fois 10^9 hertz, ce n'est plus envisageable. L'opération qu'il faut effectuer pour vérifier que deux pointeurs désignent la même formule est la plus délicate et dépasse de loin en complexité toute les autres, puisque bien évidemment il n'est absolument pas envisageable de "supposer" que la classe est bien fondée.

11/ Voilà, je crois ce qui avait initié + ou - les longues discussions passées, mais je ne suis même pas sûr, qu'à l'époque, j'avais renseigné tout ce présent préambule avant de me lancer dans la polémique. Et j'avais probablement tort (même si je n'ignore pas que foys "ne peut que" savoir à peu près tout ça, au moins dans une vue aérienne (mais pas forcément les autres interlocuteurs)

12/ Le comptage donne des existences totalement virutelles et très laborieuses à exploiter. Il permet de prouver Brouwer*** en quelques lignes, ou, à peu près de la même façon, donne "gratuitement en apparence" une inclusion "à première vue incroyable" pour certains informaticiens $( PSPACE \subset IP)$**, etc. Pour des raison "plates et banales", on sait avec le comptage qu'il existe plus que majoritairement* des suites finies de 0 et de un non calculables rapidement, mais aucune théorie math n'est capable d'en produire au delà d'un nombre fini, même à coups de preuves jusqu'à la fin des temps.

** voir plus haut dans ce fil je crois

*** Soit $f: E\to E$ sans point fixe ayant des propriétés ressemblant assez à la continuité et on suppose qu'on est dans un environnement où on peut parler de volumes. On partitionne $E$ en 2 parties $(X,Y)$ d'à peu près même volume (coup de hache). On a donc Entrée dans X = Sorties de Y. On peut donc sélectionner parmi X,Y une de deux tel que son bilan vaut $\geq 1$ (on divise par le volume, c'est un bilan volumique) et on obtient $A_1$ (on pose $A_0:=E$. On continue ainsi jusqu'à une partie $A_n$ avec $n$ assez grand de sorte que son bilan (volumique) est $\geq 1$ ce qui donne une contradiction par continuité de $f$ ($A_n$ ressemble à un point, donc bilan entrées-sorties proches de $0$).

christophe c a écrit:

quand on lance 1000 fois une pièce en apparence équilibrée et en voyant qu'elle est tombée au moins une fois sur pile.

Je prétends en outre que le fait que ça n'arrive jamais est dû à la TQ (plus précisément au fait que la Nature n'est pas déterministe).

Si on remplace "1000" par autre chose ça devient faux (10 faces/10 lancers: une chance sur 1000 environ. Les joueurs de poker en ligne ont déjà tous vu pire). Est-ce que "1000" est spécial et mentionné dans une éventuelle "TQ-preuve" de ça?
Ce message montre qu'on ne parlait pas de la même chose. Aucune théorie ne prédit l'impossibilité d'un échec dans cette tentative finitiste ($n$ lancers de pièces avec $n\in \N$). Cette impossibilité est démentie expérimentalement. Par contre les simples maths classiques de lycée comme moi prédisent sa rareté en la reliant aux valeurs particulières de $n$.

Je pense que si si on parle de la même chose, mais que par contre, dans "notre apparente" opposition, la cause est due à ton attachement aux nombres (qui comme chacun sait, existe beaucoup moins chez moi, et pour des raisons d'ailleurs tout à fait subjectives et médicales). Les nombres comme n'importe quoi d'autre figurent en hypothèse avant de figurer en conclusion de moult hypothèses.

J'ai très bien compris que tu veux me convaincre qu'en conditions déterministes, le peu probable entraine QUAND MEME le peu fréquent en l'absence "d'épaisseur" (multimondique) de la Nature

Des gens presque aussi brillants que toi (par exemple Roger Penrose, dont on connait la générosité et les gros livres) deviennent eux aussi tout à fait dogmatiques voir irités quand on leur contredit des choses qu'ils ressentent comme "tombant sous le sens".

Je ne suis pas étranger à la psychanalyse, vu le grand malade que je suis et le grand nombre de psys qui m'ont aidé, et en plus de ça, je l'ai observée à l'oeuvre dans les maths pures enseignées (les élèves qui ne s'en sortent pas au prouveur-sceptique car au lieu de juste décrire d'où leur vient leur certitude, ils essaient d'anoner des trucs savants qui ne leur appartient pas, etc), ce qui les conduit très trs loin de la victoire dans l'arbre, fdp qui clame rouge en prétendant dire vert (ce qui est généralement produit par le fait de vouloir s'éloigner de l'axe bleu-jaune, on choisit une direction d'éloignement qui nous amène parfois à l'opposé de ce qu'on voudrait atteindre), Penrose qui nous apprend à son corps défendant qu'il a été heureux dans ce monde au point de "ne pas supporter" l'existence des autres où il aurait peut être attrapé la polio, etc.

Par contre, tu es tellement "fort en maths", que pour le coup je n'arrive pas trop à savoir ce qui t'anime dans cette amusante opposition entre nous, mais en parlant de poker.... j'avoue que tu nous donnes peut-être un indice :-D Jouerais-tu au poker, ou bousicoterais-tu que ça m'étonnerait moins après ton post ci-dessus qu'avant :-D

christophe c a écrit:

Foys a écrit:

les ajouts multimondistes n'en font pas partie

Bien sûr que si si !!!

Les hypothèses sont toutes explicites dans ce genre d'énoncé où on a littéralement "si $L:U \times (\R^n)^2 \times \R \to \R$" vérifie ceci-cela et si $f:I\to \R^n$ est une fonction telle que $t\mapsto \frac{\partial L}{\partial \mathbf x} \left ( f(t), f'(t),t\right )=\frac{d}{d\tau} \left ( \frac{\partial L}{\partial \mathbf y}\left ( f(\tau), f'(\tau),\tau\right ) \right )$, il existe $C\in \R^d$ et une fonction $G$ telle que blabla et $G(f(t))=C$ pour tout $t$.

C'est un théorème non pas de physique mais quasiment de calcul formel (l'invariance de $L$ sous une famille de transformations particulières entraîne l'existence de fonctions constantes lorsqu'évaluées sur $f$ ...) et le fait que les conditions soient satisfaites se constate souvent de visu sur la forme de $L$. Tu ne vas quand même pas confondre "(pour toute translation dans le temps ...) => l'énergie est conservée" avec "il existe des translations dans le temps donc"... (noter où sont les parenthèses).

Noether est de la forme $\left [\forall x A(x) \right ] \to B$.

En plus le "$x$" dans cette formule fait référence non pas à un "monde" mais à une transformation géométrique de l'espace-temps. Comment déduire (même comme intention) le multimonde au fait que $t$ n'a pas d'occurrence libre dans $L$ où bien que $L$ est invariante par rotation? (sauf à assimiler "on est dans $\R^3$" à "il y a plusieurs mondes").

Concernant Noether précisément laisse-moi le temps de digérer le calcul et je te répondrai. Là, je ne peux pas, mais perci de l'avoir ré-imprimé dans ce fil, cette discussion et ce fil sont un excellent prétexte pour faire un effort de ma part. Je ne garantis rien ce soir car je dois sortir cependant.

Foys: dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1699374,1700076#msg-1700076

Où Cyrano avait tout formalisé pour moi, la famille de mondes est très claire et très EXPLICITEMENT utilisée cash est visible c'est celle des g_s. Son hypothèse 2. On ne peut pas faire plus clair.

Bonjour

christophe c a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1913330,1914548#msg-1914548
les historiens-géomètres qui s'atermoient sur l'axiome D'Euclide non prouvable parce qu'ils ont envoyé l'horizon à l'infini et donc ne peuvent plus justifier la transitivité du parallélisme (qui est la transitivité de "se couper sur l'horizon" QUI EST UNE DROITE) et qui l'ont tabouise probablement parce qu'ou bien il mobilisait des demi droites ou bien il fallait admettre de se faire prendre par derrière par les droites se coupant au dessus.

Le cercle horizon n'est pas la droite de l'infini. Quant à "atermoyer de se faire prendre par derrière par des droites se coupant au dessus", quelle intéressante contribution à l'histoire de la géométrie ! On voit bien la recherche de certitudes absolues.
Cordialement, Pierre.