Formalisme linguistique stérile ou nécessaire
[size=medium]Je me trouve souvent face à un méli-mélo : énoncé = proposition = assertion = affirmation(rare mais déjà vu).
Certains cours de mathématique dans leurs premières lignes vont définir les termes qui structurent tout texte mathématique (proposition, axiome, théorème etc...) et je constate fréquemment qu'après la définition de "proposition" on déclare que ce terme est synonyme des trois restants. Suivra un emploi alterné de ces termes ...:-S:-X
Si les synonymes enrichissent, colorent les langages "naturels" :
J'ai bien peur d'être, en voulant trop bien faire, tombé par soucis du détail dans les abîmes du langage :-(. La peine qu'ont causé ces mots est-elle vaine?
Certains cours de mathématique dans leurs premières lignes vont définir les termes qui structurent tout texte mathématique (proposition, axiome, théorème etc...) et je constate fréquemment qu'après la définition de "proposition" on déclare que ce terme est synonyme des trois restants. Suivra un emploi alterné de ces termes ...:-S:-X
Quelles différences y a-t-il entre eux?
Si les synonymes enrichissent, colorent les langages "naturels" :
n'est-ce pas en mathématique une perte de précision qui pourrait freiner, flouer la puissance d'un raisonnement?
J'ai bien peur d'être, en voulant trop bien faire, tombé par soucis du détail dans les abîmes du langage :-(. La peine qu'ont causé ces mots est-elle vaine?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour un logicien, les "trucs" reliés par un connecteur logique ("et", "ou", "non", "implique") sont des "propositions", la théorie qui s'en charge s'appelle le calcul des propositions (en gros c'est la logique la plus fondamentale). Toujours pour un logicien, un résultat prouvé dans une théorie (donc un résultat prouvé à partir des axiomes de ladite théorie) s'appelle un "théorème".
Dans un cours de maths, on va hiérarchiser un peu le niveau des résultats selon leur importance, mais ça ne change absolument pas leur nature : ce sont des résultats démontrés au sein d'une théorie axiomatique, donc ce sont des théorèmes au sens du logicien. Après, en plus, chacun y va à sa sauce, moi j'aime bien faire comme ça :
"propriété" si c'est un théorème n'ayant aucune hypothèse spécifique sur les objets qui le concernent, et si la démonstration est rapide et peu technique. Par exemple : si $A \subset B$ et $B \subset C$, alors $A \subset C$, c'est vrai quels que soient $A$, $B$ et $C$ et ça se démontre en deux lignes, donc pour moi c'est une "propriété" de l'inclusion qu'on peut mettre pile après la définition de $\subset$ dans un cours.
"théorème" si c'est un résultat théorique important, technique, surtout quand il porte un nom particulier ("théorème des fermés emboîtés" par exemple)
"proposition" si c'est un résultat important, technique, mais qui ne porte pas de nom particulier (par exemple : le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel)
"lemme" si c'est un résultat technique qui ne sert que ponctuellement dans une démonstration, et qu'on a mis à l'extérieur de la démonstration dans laquelle il sert pour ne pas en perturber le fil... à noter que certains théorèmes importants portent le nom de lemme (le lemme de Zorn, par exemple).
"corollaire" si c'est une conséquence directe d'un autre résultat.
Ça c'est ma sauce à moi, les autres feront autrement. Le vocabulaire n'est pas important, d'où la façon de faire des logiciens. Il n'y a que trois choses "dans l'absolu" : des axiomes, des théorèmes et des conjectures.
1. Les énoncés sont les phrases du langage mathématique.
Puis ça (à la suite) :
2. Les propositions, toutes les phrases p au sujet desquelles on peut poser la question : « p est-elle vraie ?»
C'est pas top car au final en mathématiques SI:
[large]([/large] toutes "les phrases" sont des emboîtements structurés de propositions [large](?)[/large][large])[/large] $\Rightarrow$ " énoncé = proposition " [large]?[/large]
Morale: la phrase 1 servirait à rien sauf si en mathématiques il existe un ensemble de "phrases" (plus général) qui inclu celui formé par les propositions...
Morale : dodo ! (:P)
@Cantor-Bernstein : je n'ai rien compris à ton dernier post, sauf le "dodo !", qui m'a semblé une sage décision, lol.
Les propositions, toutes les phrases p suites de symboles au sujet desquelles on peut poser la question : « p est-elle vraie ?»
qui fait appel à l'extérieur
Dans la vraie science, l'impératif absolu est que la gestion des suites de signes ne fasse appel à rien qui dépende de "sens" ou autre notion pédagogiste. On ne fait que de la grammaire (ie de la syntaxe) sauf avant de livrer aux archives ce qu'on a produit.
Le mieux est de considérer que toute suite de signes a une valeur (voire de militer pour, étant donné les délires ésotériques en train de prendre de l'ampleur actuellement pour de basses raisons de vengeance (typage, paradigme catégorique, HoTT, etc) et qu'on la cherche.
L'avantage c'est qu'on connait maintenant bien presque toutes lesdites valeurs, via LC et TDE (en fait LC==TDE). En général, une phrase est le nom d'un truc qui une fois calculé (éventuellement avec un oracle) va atterrir dans un ensemble à deux valeurs (qu'on a muni d'une structure**) qu'on considère bien distinctes (ie $\{K; KJ\}$ pour leLC ; $P(\emptyset)$ pour laTDE classique).
Le typage permet d'y mettre une toute petite proportion directement en forçant (par exemple via un logiciel) les gens à ne pas faire autre chose qu'une phrase ayant à coup sûr ce statut, mais celles-ci sont généralement triviales.
** je ne recommande pas le $(\times, +)$ de $F_2$, mais plutôt $\to$ qui permet d'exhiber en permanence les polarités.
Bon, de toute façon, via l'opération $x\mapsto (x=vrai)$ par exemple, tu transformes tout objet en phrase, donc c'est un non problème.
[*] sens ? Et pour quelle(s) raison(s) le sens n'y a pas sa place ?
Pour les utilisateurs des maths et pas mal de mathématiciens, ce point de vue est quasi incompréhensible, la question du sens est fondamentale, même si les significations évoluent au fur et à mesure de l'utilisation des concepts. la multiplication des mots, comme dans toute langue vivante est un moyen de donner du sens (voir la première réponse).
Cordialement.
Prenons une théorie axiomatique de la physique. Dans ma théorie, c'est un axiome que le Big Bang ait eu lieu, et j'ai encore plein d'autres axiomes (donc choses que je suppose vraies... ce qui signifie que tout théorème de ma théorie de la physique n'est vrai que si tous mes axiomes sont "absolument" vrais). Dans ma théorie, j'arrive à démontrer qu'il y a eu, à un moment, des objets dans l'univers qui ont eu une masse négative (j'ai vraiment déjà entendu ça).
Avec mon cerveau humain, je me dis, c'est impossible qu'il y ait eu des trucs avec une masse négative, ça n'a aucun sens, et pourtant, dans ma théorie, ça en a un. Ça pourrait dire deux choses : soit ma théorie comporte des incohérences par rapport au monde réel (donc certains des axiomes sont "absolument" faux), soit je suis biaisé par ma vision non-abstraite de l'univers. Ce qui ne change pas, c'est que dans ma théorie, "il y a eu des objets avec une masse négative" EST un théorème, que mon cerveau arrive à y donner un sens ou non.
Il faut cependant continuer à distinguer la vérité absolue et les théories. Quand on faut de la logique, on fait des déductions, hypothèses $\implies$ conclusions, on ne peut pas construire de théorie à partir de rien, donc il faut toujours des axiomes au départ. L'ennui, c'est qu'on ne saura jamais vraiment si nos axiomes sont absolument vrais, seulement qu'on n'a pas encore trouvé d'incohérence si on suppose qu'ils sont vrais.
veut dire, entre autres choses, que tout $V_\alpha$ qui est un modèle de « Socrate est mortel » est aussi un modèle de « Platon est un bipède sans plumes ». Et donc Socrate s'est suicidé pour éviter à Platon de devenir un tripède avec des écailles.
On peut même dire tout ce qui est sensé est illogique, seul l'insensé mérite le doux nom de logique. C'est un point de vue comme un autre.
A part cela, mon usage personnel du mot "Théorème" est "Proposition médaillée pour services rendus". Pas plus de 10% de l'effectif des Propositions.
Cordialement, Pierre.
Si les gens se servent de leurs ressentis et leurs intuitions pendant qu'ils cherchent à produire des choses intéressantes et je suis le premier à le faire , cela n'a strictement rien à voir avec la règle de grammaire qui préside au format textuel UNE FOIS LA CHOSE DÉCOUVERTE.
Les discours comme ceux de Gérard (enfin lui est un peu prudent) ont conduit à la disparition bien connu de l'enseignement des maths dans les écoles collèges et lycées et contraignent maintenant très fortement les cycles 1 des facs à ne plus en faire non plus.
Les gens confondent souvent tout. On ne vit pas sur une île déserte et quand on anone "sens sens sens" tous les jours dans les propagandes pedagogistes il ne faut pas s'attendre à autre chose que des catastrophe car du sens il y en a partout et donc à renvoyer vers lui on renvoie vers un bain de bruit et c'est tout.
Certains matheux middle zone so t très ingrats en ce sens qu'ils refusent d'enseigner ce qui leur permet à eux d'extraire du bruit les items de nature mathématique au sens typique (estimant que c'est au non matheux de devenir matheux par l'opération du saint esprit). On est sur de la reproduction de castes: " je n'enseigne qu'à ceux qui sont déjà matheux.
Bien évidemment que cette position est catastrophique. La grammaire en tant que cause finale PRECEDE l'invitation à la méditation inspirante. Ce n'est pas comme si on avait dans un vide silencieux où le mot sens n'est présent que sur le duo apprenti coach.
D'autre part fixer le sens des objets généraux (i.e. les spécifier) affaiblit les énoncés mathématiques.
"Pour tout groupe abélien $G$ et tous $a,b,c\in G$, $a+b-c = a-c +b$" a une portée plus générale que l'énoncé plus "porteur de sens" suivant : "si on me donne 25 euros et que j'en gagne encore 20 puis que j'en perd 10, c'est comme si on me donnait 25 euros, que j'en perdais 10 et que j'en récupérais 20" (est-ce encore vrai avec des dollars ? Pertinence du caractère pécuniaire de la chose ?).