Calcul quantique

serge burckel · January 2020

Ne connaissant pas grand-chose au calcul quantique, je me pose des questions dans mon coin dont celle-ci.

Est-il vrai que les calculs quantiques sont restreints à des applications linéaires ?

Si la réponse à cette question est OUI, alors je pose une question plus "classique".

Pour tout $n$, il me semble (c'est encore à vérifier et à prouver) qu'il existe une application affine
$F:\{0,1\}^n\mapsto\{0,1\}^n$ et un vecteur $X_0$ de $\{0,1\}^n$ tels que les images successives définies par
$$X_1=F(X_0),X_2=F(X_1),\dots$$
listent "quasiment" tous les vecteurs possibles.

Pour $n=1$, on liste les 2 vecteurs avec $F(a)=(a+1)$.
Pour $n=2$, on liste les 4 vecteurs avec $F(a,b)=(b,1+a)$ qui donne successivement :

$$(0,0)\mapsto (0,1)\mapsto (1,1)\mapsto (1,0)\mapsto (0,0)$$

Pour $n>2$, je pense que l'on peut lister $2^n-1$ vecteurs (c'est à dire qu'il en manque un seul).

Pour $n=3$, on a par exemple : $$F(a,b,c)=(1+a+b+c,a,a+b)$$

qui donne : $(0, 0, 0)\mapsto(1, 0, 0)\mapsto(0, 1, 1)\mapsto(1, 0, 1)\mapsto(1, 1, 1)\mapsto(0, 1, 0)\mapsto(0, 0, 1)\mapsto(0, 0, 0)$

Et il manque $(1,1,0)$ dans la liste qui est le vecteur solution de $F(X)=X$ (point fixe).

Remarque : j'ai vérifié ce truc pour $n=1,2,3,...16,17,18,19,20,21$

La moralité est qu'il existerait alors une matrice $M$ qui permet de réaliser cette transformée $F$ et que l'on peut modifier pour également effectuer d'autres opérations linéaires (ou affines) durant le calcul en ajoutant quelques dimensions supplémentaires. Par ailleurs, l'exponentiation matricielle comme $M^{2^n}$ se calcule non pas par $2^n$ produits matriciels mais $n$ suffisent. Pour le vecteur "manquant" dans les $2^n-1$ vecteurs parcourus, il peut être considéré à part.

Bref, modulo la preuve de ce que j'avance, la question qui en résulte est celle-ci : et si on pouvait faire du quantique avec du classique ?
Je dis sûrement (encore) une bêtise... c'est juste une idée qui m'est venue hier soir.

Et si c'est con, au moins la question de l'existence de ces $F$ peut être "amusante"... non ?

nicolas.patrois · January 2020

Il y a une série d’articles sur le calcul quantique dans les derniers numéros de GLMF (GNU Linux Magazine France), l’auteur est Éric Filiol.

christophe c · January 2020

Non pas linéaire au sens où tu sembles l'entendre selon quoi on n'aurait que le + (ie le xor). Tu as tout. Par contre pour les avoir tu as besoin de plusieurs bits (qubits). Car par contre ce sont des isométries donc bijectives etc.

christophe c · January 2020

@NP: de retour chez moi, je vais pour cliquer et finalement ton lien mène vers des articles payant :-D

@Serge, je pense qu'en googlant avec les mots "Algorithme de Deutsch", "théorème de Grover", "Théorème de Shor" tu devrais tomber sur des pages qui exposent les détails et reprennent tout à la base.

De toute façon, aucun exposé n'est correct, lil faut croiser plusieurs docs, et même après c'est peu clair. Tout dépend ce qu'on veut.

Un des plus simples est peut-être de googler "téléportation quantique" où là, tu vois ce qu'il se passe car l'astuce est extrêmement courte.

Dans les 3 d'avant, le plus simple est Deutsch (en une seule lecture d'un $f(x)$, pour $f$ boite noire-fonction de $2\to 2$, il dit si elle est constante ou non. C'est relativement emblématique du reste, qui n'ajoute ensuite que de la technique.

YvesM · January 2020

Bonjour,

La théorie quantique n’est pas nécessairement linéaire.

On ne peut pas faire une théorie quantique avec du classique.

serge burckel · January 2020

Merci pour vos remarques et vos conseils de lecture.

Je vais voir ça....mais avant, je vais voir cette fonction "quasi" génératrice de tous les vecteurs....je trouve ça marrant et plus accessible.

nicolas.patrois · January 2020

christophe c a écrit:

@NP: de retour chez moi, je vais pour cliquer et finalement ton lien mène vers des articles payant :-D

En effet, l’auteur a été rémunéré pour ces articles. Au mieux, ils seront libérés dans six mois environ.
Sinon, tu peux prendre contact avec l’auteur (pas pour avoir les articles gratos :-D) ou avec le canard (pour acheter les numéros en papier).

christophe c · January 2020

Merci NP. Nan, mais ça ne presse pas, si certains lecteurs m'indiquent que ça vaut le détour, alors je verrai.

De toute façon, à l'heure qu'il est, la décohérence rend difficile (il y en a même qui parlent de censure naturelle comme loi-nature) l'implémentation réelle. Et de mon côté je suis plus passionné d'infini et de fondement que de magie quantique à l'oeuvre, l'algorithme de Grover (pas de Shor!!) voire de Deutsch me suffit, tant qu'il n'y a pas d'évolution "par nature"...

christophe c · January 2020

Je rappelle que la magie à l'oeuvre dans l'informatique quantique est due au fait que certains chemins "sont parcourus au conditionnel en temps nul", ce qui permet d'explorer tout un labyrinthe en avec un nombre d'opérations qui est prouvable mathématiquement très très inférieur au nombre minimal obligatoire.

Cette magie "industrialisée" en informatique quantique est connue et maintenant bien regardée en face dans ses atomes premiers irréductibles. Et bien plus facile à étudier à travers eux, qu'à travers un mécano complexe qui les exploite au max.

Georges Abitbol · January 2020

YvesM : Tu as quelque chose de plus précis en tête quand tu dis que la théorie quantique n'est pas nécessairement linéaire ?

YvesM · January 2020

Bonjour,

De tête :
- en théorie quantique des champs, les opérateurs d’interactions peuvent mener à des non linéarités,
- quantification des champs classiques non linéaires,
- termes d’interaction propre (l’électron dans son propre champs),
- dans les systèmes complexes, on remplace les équations de Schroedinger linéaires multi-particules par une équation non linéaire pour une seule particle (physique des solides),
- modélisation de la friction au niveau microscopique ou moléculaire par un terme non linéaire dans l’équation de Schroedinger (chimie quantique),
- optique quantique non linéaire... (la théorie quantique est linéaire, l’optique non linéaire),
- équation de Schroedinger non linéaire pour modéliser des condensats de Bose... ou des ondes surfaciques... ou des systèmes quantiques plongés dans des topologies à la con (atomes forcés par des lasers sur une ligne),
- des auteurs essaient de définir une théorie quantique non linéaire qui n’est plus basée sur la linéarité des opérateurs... mais ces théories sont en rodage.

Ça doit donner une bonne idée.

serge burckel · January 2020

La physique quantique n'est pas linéaire....c'est clair car le monde n'est pas linéaire au grand dam des modélisateurs.

Mais ici je pose une question concernant l'informatique quantique et les ordinateurs quantiques.

Je pose cette question en me souvenant d'une série de conférences au CIRM dont une qui visait à montrer qu'une information comme un message transmis par Alice pour Bob pouvait être transmise avec seulement 3 qubits.

Au bout d'une demi heure je ne comprenais plus rien. Il restait encore 2h30 d'exposé où apparaissaient des matrices compliquées qui m'ont conduit à rêvasser plutôt qu'à me concentrer pour suivre...si bien qu'à la fin de l'exposé (à mon réveil ;-)), je me suis lancé pour proposer une idée qui m'était venue : si on suppose comme dans l'exposé qu'Alice et Bob ont un référentiel de temps commun, alors ils peuvent partager l'information avec 2 bits classiques :

a) le message est codé par un nombre N
b) Alice envoie un bit et enclenche un chronomètre
c) elle attend N unités de temps
d) elle envoie un deuxième bit

de son côté, Bob peut lire N en utilisant aussi un chronomètre et décoder ce nombre pour obtenir le message.

Et s'ils ne sont pas synchronisés, ils peuvent utiliser un 3 ème bit pour définir l'unité de temps commune.

L'intervenant avait trouvé cela intéressant et on avait continué à en discuter ensuite.

C'est exposé ici : https://arxiv.org/abs/0711.0356

serge burckel · January 2020

Au sujet de la question "énigmatique" de départ : lister $2^n-1$ vecteurs différents de $(0,1)^n$ par une transformation affine sur $\Z/2\Z$.

Pour une éventuelle récurrence de $n$ à $n+1$, je sais juste multiplier par deux et obtenir $2^{n+1}-2$ à partir d'une application pour $n$ si elle est cyclique.

Comme le nombre de vecteurs obtenus est impair, si on ajoute une $n+1$-ème composante et que l'on définit $$

G(a_1,a_2,\ldots,a_n,a_{n+1})=(a_1',a_2',\ldots,a_n',a_{n+1}'),
$$ avec $(a_1',a_2',\ldots,a_n')=F(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ et $a_{n+1}'=a_{n+1}+1$, la dernière composante change à chaque itération et on doublera le nombre de vecteurs différents. Un cycle $X,...,X$ deviendra $(X,0),....,(X,1),....(X,0)$.

Exemple : Pour $n=3$ et $\ F(a,b,c)=(1+a+b+c,a,a+b)$
on avait successivement : $$

(0, 0, 0),(1, 0, 0),(0, 1, 1),(1, 0, 1),(1, 1, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1),(0,0,0),...

$$ Alors $$G(a,b,c,d)=(1+a+b+c,a,a+b,d+1)$$ donnera :

$(0, 0, 0,0),(1, 0, 0,1),(0, 1, 1,0),(1, 0, 1,1),(1, 1, 1,0),(0, 1, 0,1),(0, 0, 1,0),$
$(0,0,0,1),(1, 0, 0,0),(0, 1, 1,1),(1, 0, 1,0),(1, 1, 1,1),(0, 1, 0,0),(0, 0, 1,1),(0,0,0,0),...$
avec $14$ vecteurs différents. Mais il en manque un pour qu'il n'en manque qu'un.

Cela peut rappeler les codes de Gray (qui modifient une seule composante après l'autre).

Je ne sais toujours pas si ce "truc" est vrai ou non. Juste vérifié jusqu'à $n=21$...pour $n=22$, ça rame !

marco · January 2020

Bonjour,

On peut considérer le corps $K=\mathbb{F}_{2^n}$, et une base $B$ de $K$ sur $\mathbb{F}_2$. Le groupe multiplicatif des éléments non nuls de $K$ est un groupe cyclique de cardinal $2^n-1$, donc, on choisit $a$ un générateur de ce groupe $\mathbb{F}_{2^n}^*$. On écrit, dans la base $B$, la matrice $A$ de la multiplication par $a$.
On écrit, dans la base $B$, le vecteur $V$ correspondant à $1_K$.
Alors la transformation linéaire $Y \mapsto AY$ appliqué à $V$ de manière itérée donnera $2^n -1$ vecteurs différents.

Patrick123 · January 2020

serge burckel a écrit:

> je me suis lancé pour
> proposer une idée qui m'était venue : si on
> suppose comme dans l'exposé qu'Alice et Bob ont
> un référentiel de temps commun, alors ils
> peuvent partager l'information avec 2 bits
> classiques :
>
> a) le message est codé par un nombre N
> b) Alice envoie un bit et enclenche un
> chronomètre
> c) elle attend N unités de temps
> d) elle envoie un deuxième bit
>
> de son côté, Bob peut lire N en utilisant aussi
> un chronomètre et décoder ce nombre pour obtenir
> le message.

:-)

C'est bien trouvé ! C'est essentiellement une bonne blague d'une certaine façon, parce qu'on triche dans ton exemple. Il va évidemment marcher, mais la proposition que Alice envoie seulement 2 bits est simplement fausse. Elle envoie 2 PULSES, mais son signal contient beaucoup plus que 2 bits d'information selon Shannon.

Effectivement, pour que Bob puisse reconnaître le signal après N tics d'horloge, et pas après N-1 ou N+1, il faut que la bande passante du signal soit suffisamment large pour qu'on puisse reconnaître un pulse de largeur 1 tic. Pour fixer les idées, s'il y a un tic par seconde possible, il faut que la bande passante soit au moins 2 Hz pour pouvoir déterminer le tic en question. Si on utilise un canal avec une bande passante plus faible, la "patate" qui arrivera chez Bob sera bien plus large qu'un seul clic, et il ne saura pas si c'est N-1 ou N+1. En plus, il faut un rapport signal/bruit suffisant pour reconnaître la présence d'un pulse au-dessus du bruit.

Le théorème de Shannon-Hartley https://en.wikipedia.org/wiki/Shannon–Hartley_theorem nous indique qu'un tel canal permettra la transmission d'un bit par seconde, essentiellement. Alors le codage par "un seul pulse" qui a besoin de N secondes pour transmettre l'entier naturel N, est un codage peu efficace, car on aurait pu envoyer (on A envoyé mais de façon maladroite) N bits, et donc $2^N$ possibilités, au lieu de N.

Et il faut réellement envoyer N bits, N-1 "sans pulse" et le N-ième avec un pulse, car Bob ne sait pas si le pulse arrivera après le 2ième, le 3ième etc... tic. Il doit donc pouvoir recevoir un "non-pulse" et en être sûr.

serge burckel · January 2020

Merci Marco avec un potentiel BRAVO. Je vais réfléchir à ta proposition....pourrais-tu rendre explicite ta construction par exemple pour $n=3$ ?

Patrick123. En effet, il y a d'autres paramètres que je n'ai pas exposés dans cette petite remarque. Le reste est dans un brevet et le concept a été réalisé avec le département d'électronique de Nancy. C'est efficace et on peut travailler à la vitesse horloge (ordre MHz). Une remarque : on reconnait un signal correspondant à un bit et on attend son front descendant.

marco · January 2020

Pour $n=3$, $\mathbb{F}_8$ est isomorphe à $\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)$. Soit $x$ la classe de $X$ dans ce quotient. Alors, on vérifie que $x$ est un générateur de $\mathbb{F}_8^*$, car les puissances de $x$ sont successivement $1,x,x^2,x^3=x+1,x^4=x^2+x,x^5=x^2+x+1, x^6=x^2+1,x^7=1$.

(Mais, en général, je ne sais pas comment trouver un générateur du groupe cyclique $\mathbb{F}_{2^n}^*$. On sait cependant que le groupe $\mathbb{F}_{2^n}^*$ est cyclique, donc il existe un générateur.)

En suite, on choisit la base $B=(1,x,x^2)$.
Dans cette base, la matrice de la multiplication par $x$ est $A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Et le vecteur $V$ correspondant à $1_{\mathbb{F}_8}$ est $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

En appliquant $A$ successivement, on trouve $A^kV=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$ pour $k=0, \ldots, 6$

serge burckel · January 2020

Bravo Marco ! C'est beau.

serge burckel · January 2020

Marco

Je pense que ce genre de "truc" pourrait être utile en algorithmique. En effet, cela fait un pont de possibilités entre le "quantique", les applications linéaires et le calcul polynomial. Je précise :

a) La matrice $A$ est une représentation de taille $n^2$ de quasiment tous les $2^n$ vecteurs (à un près).

b) Comme je le disais, en "décorant" correctement la matrice $A$ avec d'autres composantes, on peut obtenir une matrice $M$ pour calculer des fonctions sur ces vecteurs par une simple exponentiation $M^{2^n}$. Cela se fait en $log_2(2^n)=n$ produits matriciels. Certes, les fonctions que l'on peut traiter sont simples mais on peut très bien faire des approximations linéaires par ce biais.

c) On peut également compter jusqu'à $2^n-1$ assez "simplement" dans l'ordre des vecteurs défini par $A$.

d) De plus, cela pourrait aussi rentrer dans le champs d'applications de la théorie des codes.

Comme pour l'énoncé de l'énigme, ce ne sont que des idées.
Mais puisque tu as trouvé une solution...tu pourrais creuser cela et le publier si tu veux. Je t'y encourage.

Bien à toi,
serge

serge burckel · January 2020

Au sujet de la petite parenthèse "signal" et pour Patrick123 :

a) dans les faits, un bit signal n'est ni un tic ni un tac ni un toc mais plutôt un bip...juste pour dire que ce biiiiiip est toujours suffisamment long pour être reconnaissable du bruit de fond.

b) pour les horloges, c'est pareil (cf bascules électroniques).

c) pour illustrer en exagérant : Alice doit envoyer le nombre $17$ à Bob. Elle émet un long bip bien fort qui dure une journée, elle attend $17$ ans et des poussières (disons quinze jours de plus) puis elle envoie un second long bip bien fort qui dure une journée.

Où est le problème ?

PS. On suppose qu'Alice et Bob sont jeunes et n'ont que ça à foutre ;-)

Patrick123 · January 2020

serge burckel a écrit:

Une remarque : on reconnait un signal correspondant à un bit et on attend son front descendant.

Ma remarque ne portait pas sur la faisabilité de la chose, elle l'est évidemment, mais sur l'affirmation qu'on peut le faire en se limitant à deux bits d'information. Il y a beaucoup plus que 2 bits d'information qui sont envoyés, même si on se limite à 2 pulses, ou 2 fronts.

Patrick123 · January 2020

YvesM a écrit:

De tête :
- en théorie quantique des champs, les opérateurs d’interactions peuvent mener à des non linéarités,
...

Je suppose que ce qu'on veut dire, c'est que le principe de superposition de deux états quantiques reste linéaire, indépendamment de la non-linéarité des évolutions des grandeurs statistiques des observables.

C.à.d. si un système se trouve en état A, et qu'il évoluera à l'état B, et si ce même système se trouve en état C et qu'il évoluera à l'état D, alors une superposition $c_1 A + c_2 B$ évoluera à l'état $c_1 C + c_2 D$. Quel que soit la dynamique "non-linéaire" qui est à l'origine de cette évolution.

serge burckel · January 2020

Une petite information devenue ridicule suite à l'argument de Marco : la recherche "aléatoire dirigée" pour $n=22$ a aboutit cette nuit....youpi !

Plus sérieusement, ce serait intéressant d'avoir une méthode efficace pour trouver les matrices $A_n$ de Marco.
Peut-on avoir un procédé récursif ? Trouver $A_{n+1}$ à partir de $A_{n}$ ?

YvesM · January 2020

Bonjour,

@Patrick123 : Oui, la plupart des théories préservent la linéarité des opérateurs qui agissent sur les états. Mais depuis 20 ans, des papiers sortent qui essaient d’incorporer des opérateurs non linéaires... ça n’aboutit à rien de miraculeux pour le moment, mais la recherche avance...

Math Coss · January 2020

Implémenter un corps fini via un générateur du groupe multiplicatif, en tabulant l'addition, c'est une méthode standard. Cf. par exemple Théorie des codes de J.-G. Dumas et al. (p. 65), la thèse de Clément Pernet (p. 36) ou l'article « Logarithme de Zech ».

serge burckel · January 2020

Merci Math Cross

L'idée de Marco avec cette approche par "corps finis" montre l'efficacité du travail collaboratif car nous avons des sensibilités différentes avec des connaissances partielles. Pour ma part, je partais dans de la combinatoire pour cette question...c'était mal embarqué.

Pour dire que ce forum est une belle initiative et montre qu'internet permet de former une conscience et une intelligence collectives.

Patrick123 · January 2020

serge burckel a écrit:

> c) pour illustrer en exagérant : Alice doit
> envoyer le nombre $17$ à Bob. Elle émet un long
> bip bien fort qui dure une journée, elle attend
> $17$ ans et des poussières (disons quinze jours
> de plus) puis elle envoie un second long bip bien
> fort qui dure une journée.
>
> Où est le problème ?

Pour que cela marche, il faut que Bob puisse reconnaître, pendant la 17ième année, qu'il y ait un bip, et il faudra qu'il puisse distinguer cela d'un bip qui arrivera la 18ième ou la 19ième année.

Si le canal liant Alice et Bob avait une bande passante inférieure à 1 / 1an, alors le filtre "passe-bas" du canal changerait le bip de Alice en une très, très large patate qui dure plusieurs années, et noyé partiellement dans le bruit. Bob ne pourrait pas savoir si la patate arrive la 17ième, la 18ième ou la 19ième année par exemple.

Donc, il faudra bien que la bande passante du canal soit supérieure à 1/ 1an, c.à.d. qu'un pulse envoyé, ne donnera pas une patate plus large qu'un an.

Mais ça, ça veut dire qu'en 17 ans, Alice a au moins envoyé 17 bits d'information à Bob: 16 "zéros" et un "un". On ne peut pas dire qu'Alice n'envoie "rien" les 16 premières années. Si c'était le cas, Bob ne devait pas écouter pendant 16 ans. Mais alors, Alice ne pouvait pas décider d'envoyer "3" par exemple, car Bob ne serait même pas à l'écoute.

Donc il faut bien qu'Alice envoie "0" la première année, la deuxième année, etc... car Bob ne peut pas savoir qu'Alice ne voudrait pas envoyer "3".

Alice envoie donc bien 17 bits pour coder "17" et le canal a bien une capacité de 17 bits si sa bande passante est supérieure à 17 bits, et qu'un seul pulse sort du bruit une année donnée sans ambiguïté.

serge burckel · January 2020

Patrick123

je comprends ce que tu veux dire...mais tu dois aussi comprendre que nous ne parlons pas de la même chose.
Dans mon cadre, un "bit" c'est juste un signal suffisamment structuré pour être distinguable du bruit de la ligne.
C'est sans importance qu'il soit le code d'un $1$ ou d'un $0$.
Ainsi pour moi, un "non bit" c'est du bruit, du temps.

Mais je comprends ton argument : Bob doit être à l'écoute et cela lui coûte de l'énergie (et du temps).

Alors j'illustre encore cela avec une petite histoire :

Une sonde spatiale est allée aux confins de notre galaxie...elle n'a plus beaucoup d'énergie mais possède une information cruciale : la référence d'une planète actuellement habitée (un code entre 1 et 100). La sonde va juste pouvoir envoyer ce code avec deux signaux forts et en utilisant un tout petit peu d'énergie supplémentaire pour faire tourner un compteur. Sur Terre, nous serons certainement disposés à écouter le temps qu'il faudra.

En écrivant cela, il me revient en mémoire l'avant dernière scène du film "CONTACT" :
ce qui est intéressant ce n'est pas le fait que la caméra n'ait rien enregistré et qu'il n'y ait que du bruit...
ce qui est intéressant c'est qu'il y ait 17 heures de bruit.
(pas très sûr du nombre 17...il faudrait revoir ce bon film).

serge burckel · January 2020

Pour revenir à la question principale et initiale,

on peut se demander si en ajoutant une composante supplémentaire, on ne pourrait pas "simplement" obtenir tous les $2^n$ vecteurs.

Par exemple, pour $n=3$, partant du vecteur $[0,0,0,1]$
et en faisant $$[a,b,c,d]\longrightarrow[b,c,d,b+c]$$ on obtient tous les $8$ vecteurs $[a,b,c]$ possibles.

Pour $n=4$, c'est similaire : on part de $[0,0,0,0,1]$ et on fait $$

[a,b,c,d,e]\longrightarrow[b,c,d,e,b+c].

$$ Pour $n=5$, ce n'est plus tout à fait ça : on part encore de $[0,0,0,0,0,1]$ et on fait $$

$[a,b,c,d,e,f]\longrightarrow[b,c,d,e,f,b+d]

$$ Pour $n=6$, c'est à nouveau $b+c$...bref...encore un mystère.

Une autre question : est-ce généralisable à d'autres corps finis comme $\Z/p\Z$ avec $p$ premier ? La proposition de Marco semble encore pouvoir s'appliquer dans ce cas.

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