Axiome de Martin

On peut prendre par exemple pour $P$ l'ensemble des fonctions partielles de $\omega$ dans $\{0,1\}$ de domaine fini, ordonné par l'inclusion. $P$ vérifie la condition d’anti-chaîne dénombrable car $P$ est dénombrable. Pour $f : \omega \rightarrow \{0,1\}$ totale, on note $D_f = \{ g \in P \mid g \nsubseteq f\}$ et pour $n \in \omega$, on note $E_n = \{ g \in P \mid n \in \mathrm{dom}(g)\}$. Les $D_f$ et $E_n$ sont denses dans $P$ et il n'y a pas de filtre $G$ qui intersecte tous les $D_f$ et $E_n$.

Doté de l'inclusion.

L'ensemble des denses a la puissance du continu. Un générique intersecte alors tous les denses et je te laisse voir que ça n'existe pas en considérant le complémentaire d'un tel générique.

De mon téléphone

De manière un peu plus générale, si tout élément de $P$ a deux extensions incompatibles (ce qui est le cas de tous les posets intéressants pour le forcing), alors il n'y a pas de filtre qui intersecte toutes les parties denses, car le complémentaire d'un filtre dans un tel poset est dense. Si, de plus, $P$ est dénombrable, alors $P$ vérifie la condition d'anti-chaîne dénombrable et il y a (au plus) $2^{\aleph_0}$ parties denses. Cela donne une pléthore d'exemples.

PS : bonne année à toi aussi christophe, et à toutes et tous les autres :-) En effet, on ne me voit pas souvent, même si je lis souvent ce qu'il se passe par ici, mais je n'ai pas forcément grand chose de pertinent à raconter.

Du peu que j'ai lu de lui en plus, Mattar semble un des 50 meilleurs experts du monde en théorie des ensembles (j'ai une idée à peu près réaliste du nombre de gens dans le monde pouvant renvoyer rapidement une référence de théorie des ensembles sur certaines questions :-D ). A côté de lui, je suis un pur amateur!