Axiome de Martin et pseudo-intersection

Bonjour,
Il manque évidemment dans la question l'hypothèse que $F$ est de cardinal $\leq \kappa$.

Quitte à remplacer $F$ par l'ensemble des intersections finies d'éléments de $F$ (cela ne change pas le cardinal), on peut supposer $F$ stable par intersection finie.

On considère l'ensemble partiellement ordonné dont les éléments sont les couples $(s,X)$ où $s$ est une partie finie de $\omega$ et $X$ un élément de $F$, et l'ordre est donné par $(s',X') \leq (s,X)$ si $s \subseteq s'\subseteq s \cup X$ et $X' \subseteq X$. Moralement, $s$ est une approximation de la pseudo-intersection qu'on cherche à construire et $X$ est l'intersection des éléments de $F$ dont on ne veut plus s'occuper. Ainsi, une condition est plus forte qu'une autre si on a ajouté des points à l'approximation (d'où $s \subseteq s'$), mais en contrôlant leur provenance (d'où $s'\subseteq s \cup X$), et on a ajouté des éléments à l'intersection (d'où $X' \subseteq X$).

Ce poset vérifie la condition d'antichaîne dénombrable car deux conditions partageant la même première coordonnée sont compatibles et il n'y a qu'un nombre dénombrable de première coordonnée possible.

Pour $n \in \omega$, l'ensemble $D_n = \{(s,X): \exists m \in s, m \geq n\}$ est dense. Pour $A \in F$, l'ensemble $E_A = \{(s,X): X \subseteq A\}$ est dense.

Si $G$ est un filtre qui intersecte tous ces ensembles denses, alors l'union des premières coordonnées des éléments de $G$ est la pseudo-intersection cherchée.

On trouve cette démonstration par exemple dans Consequences of Martin's axiom de D.H. Fremlin.

@Martial, pour tous ces genres de questions sur l'axiome de Martin [small](sauf erreur de ma part, Martin HAIT qu'on le prénomme Donald, il veut à toute force être "Tony Martin", je peux me tromper, mais il l'avais répété plusieurs fois lors de différents verres/cafés, et à l'époque Trump était un inconnue[/small]), il te suffit de y'imaginer comment tu ferais pour construire ton truc si ton ensemble de conditions était dénombrable.

Par exemple, ici, si $F=\{A_1,A_2, \dots\}$, tu prends un élément $u_1$ dans $A_1$, puis un élément $u_2$ dans $A_1\cap A_2$, etc, etc. Les termes de ta suite forment la quasi-intersection des $A_n$.

L'axiome de Martin te donne ça sans parler d'indices. Dans chaque cas, tu le "reconstruis", mais en t'inspirant de cette construction.

De mon téléphone j'ai oublié de répondre à la question que tu poses à Mattar. Soit $X$ dans $F$.

Ton générique $G$ contient un $(s,Y) $ tel que $Y$ inclus dans $X$.

Alors les éléments de la réunion générique que tu évoques qui ne sont pas dans $X$ sont ceux de $s$.

Soit en effet, $(s_2,Z)$ dans $G$. N'oublie pas que $G$ filtre. Il existe donc $(s_3,V)$ qui minore aussi bien $(s,Y)$ que $(s_3,V)$, ce qui fait que $s_2\subset s_3$ et $s_3\setminus s \subset V\subset Y\subset X$.

J'ai mis au propre mon post téléphonique.

Je te redigerai ça du lycée tout à l'heure.

soit $G$ un générique

(1) intersectant tous les denses concernés par ton énoncé.
(2) qui est filtrant, je te rappelle

soit $R$ la réunion de ses premières composantes.

soit $X\in F$. Il existe d'après (1), un $(s,Y)$ tel que $Y\subset X$.
Soit $a\in R$. Soit $(s_2,Z)\in G$ tel que $a\in s_2$.

D'après (2), il existe $(s_3, W)\in G$ tel que $(s_3,W)$ minore $\{ (s,Y) ; (s_2,Z) \} $

Tu as donc $W\subset Y$ et $s_3\setminus s \subset W$ et $s_2 \subset s_3$

Donc $a\in s_3$. De plus si $a\notin s$ alors $a\in W$, donc $a\in X$.

Bien sûr que non. Eux savent répondre à toutes les questions ... des choses fausses !!! Ils te résolvent la conjecture de Riemann, Goldbach, et Fermat dans une même interro de 2H :-D

Tu n'en es pas là*** ;-) . Le jour, d'ailleurs où un élève arrête de faire ça (ce qui a priori, arrêter, devrait être facile) il monte à 18 et n'en descend plus au bout de 2 mois dans le lycée 2020.

*** tu es mathématicien! Plus que beaucoup d'ailleurs puisque tu "oses" demander.

J'en profite pour te signaler l'axiome MartinMaximum, qui en gros dit la même chose que celui de Martin mais pour TOUS les posets (et pas juste les ccc) sauf ceux pour lesquels c'est trivial qu'il ne peut pas y avoir de générique désiré. Par exemple, si tu te limites à $\omega_1$, $MM(\omega_1)$ dit que pour tout poset, sauf cas triviaux, tout ensemble de $\omega_1$ denses est tel qu'un filtre rencontre tous ses éléments.

Eclate-toi si tu veux car ... liberté totale**, plus de ccc à vérifier :-D

(vérifier qu'un poset est ccc n'est pas forcément ce qu'il y a de plus jouissif. J'ai vu un fil où tu demandes pourquoi c'est vrai pour la topologie usuelle de IR, mais comme exo, tu peux t'amuser à prouver que c'est vrai pour la topologie produit sur $\R^J$ qui que soit $J$.

** prix à payer, $MM(\omega_1)$ => $card(\R) = \omega_2$, donc c'est un peu "concon" comme axiome, mais c'est une autre histoire. Remarque: il a été prouvé qu'il est consistant sous réserve que supercompact le soit (enfin supercompact ou autre GC, je ne suis plus trop sûr). Il entraine un truc bien: AD est vrai dans $L(\R)$.

Je ne sais pas s'il existe des axiomes de type**** "de Martin" (entre l'axiome de Martin et le MM), qui n'aurait aucun effet sur la taille du continu MAIS qui entraine que $L(\R)\models AD$. Je poserai demain la question dans "il est facile de".

**** un d'entre eux PFA entraine LUI AUSSI (sauf erreur je me méfie de ma mémoire maintenant) que le continu est omega2

Pour PFA : souvenirs, souvenirs.

Ah ouiiii, un grand merci à vous 2!!!!

Mon avis: de toute façon, le continu, le vrai est plus grand que tout ordinal, mais c'est une autre histoire. En tout, cas tout truc du genre "argument qui se prétend convaincant que continu = cardinal pas trop méchant concret" je le regarderai avec un scepticisme actif jusqu'à débusquer où se trouve une EVENTUELLE arnaque.

@Martial, ce que je voulais dire c'est existe-t-il une classe définissable (par une formule $R(x)$ à une var libre) de posets, entre celle des ccc et celle de PFA (les "propres") par exemple, qui ne limite pas le continu et qui entraine DANS TOUT MODELE DE ZFC que $L(\R) \models AD$. Et sans "grands cardinaux" supplémentaires.

Même si c'est technique, essentiellement le théorème de Martin Steel rend "évident" la détermination dans $L(\R)$ au même titre que les mesurables entrainent la détermination analytique. Evidemment "techniquement", c'est bien plus difficile à digérer mais le principe de réflexion "à la Ramsey et pluss" émanant des GC qui fait que les jeux sont déterminés n'est pas "satisfaisant" (au sens où, à l'instar de la borne de Kunen, c'est "un peu tricher" que de prouver Kunen => Riemann Hypothesis par exemple).

J'essaierai de préciser plus cette idée.