Un doute sur un résultat mesure Lebesgue

christophe c · January 2020

Ma mémoire me joue peut-être des tours.

J'étais persuadé qu'on peut prouver dans ZF+CD l'énoncé suivant:

$$AELM\iff NPND$$

avec

AELM:="toute partie de IR est Lebesgue mesurable"

NPND:="il n'y a pas d'injection de $\omega_1$ dans IR

Or, la seule chose que je viens de retrouver par google est le théorème, prouvé par Shelah et dont la preuve a été améliorée par Raisonier du fait que AELD => NPND

Pourtant, j'ai vaguement l'impression d'avoir entendu que la réciproque est vraie aussi??????? Me gourre-je??????

Si quelqu'un pouvait me soulager... Merci d'avance!

Mattar · January 2020

Il semblerait que ce soit faux : dans ce papier est construit un modèle qui vérifie, sauf erreur de ma part, ZF + choix dépendant + il existe une partie de $\mathbb{R}$ non-Lebesgue-mesurable + toute partie de $\mathbb{R}$ non-dénombrable admet un sous-ensemble parfait. Cette dernière propriété implique que $\omega_1$ ne s'injecte pas dans $\mathbb{R}$.

Si je résume ce que je comprends de la construction : on part d'un modèle de Solovay, qui vérifie donc ZF + choix dépendant + tout est Lebesgue-mesurable et a la propriété de l'ensemble parfait. On force avec $([\omega]^\omega, \subseteq^*)$ pour ajouter un ultrafiltre sélectif, ça nous donne un ensemble non-Lebesgue-mesurable. Vérifier que la propriété de l'ensemble parfait est encore satisfaite dans l'extension est le corollaire 5.3, ça n'a pas l'air simple. Il ne parle pas du tout de la conservation de l'axiome du choix dépendant, mais CD est conservé par forcing $\sigma$-clos (voir ici par exemple).

Il y a sans doute plus simple.