Conclusion sur le tout d'un ensemble

Andropie
Andropie
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Je n'ai pas beaucoup de connaissances en logique puisque je n'en suis qu'au début de mes études en mathématiques, mais je m'intéressais à la chose suivante.

Soit A un ensemble quelconque non vide. Soit x dans A. Si j'arrive à démontrer quelque chose sur x, (par exemple à partir des propriétés de l'ensemble A), et que je note P(x) la propriété démontrée sur x, j'en déduis donc que pour tout x dans A, alors P(x).

Je suis donc passé de "Soit x dans A, ... [travail sur x], alors P(x)." à "Donc, pour tout x dans A, on a P(x)". Cette conclusion est très logique puisque l'on a prix un x quelconque dans A et que l'on en est arrivé à conclure P(x), sans condition supplémentaire sur x. Cette conclusion que je fais sur le tout est-elle donc axiomatique ?

Merci !

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Que veut dire "Soit x dans A" ?
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonjour,

    Très bonne question, mais, à mon avis, pour passer du ponctuel $ P(x) $, au global $ P(X) $, il y'a du fil à retordre. Et à mon humble avis ( à revoir ), il y'a de faibles chances que cela ait lieu. Parce que $ P(x) $ est négligeable devant $ P(X) $. Donc, tu dois inclure des notions de probabilités à cette vision que tu adoptes.
    Par contre, on peut passer dans certains cas du local au global. C'est à dire, si $ U $ est un ouvert de $ X $, et $ x \in U $, alors, on peut passer du local $ P(U) $ au global $ P(X) $ à certaines conditions topologiques près. Parce que, on peut rapprocher le cardinal de $ U $ au cardinal de $ X $ à dénombrabilité près, c'est à dire, à quelques quantification par des nombres ordonnés de $ \mathbb{N} $ près, c'est à dire, par les ordinaux. Voir théorie des ensembles.
    Pour la notion du passage du local au global, voir, par exemple, le théorème de prolongement analytique en Analyse complexe. Ce prolongement du local au global est l'idée de base en théorie des faisceaux très utilisée en géométrie algébrique moderne aussi.
    Tu as posé une bonne question.
  • gerard0
    gerard0
    Andropie,

    tu peux laisser de côté les délires de Pablo, qui mélange tout et fait intervenir dans des questions élémentaires les notations qu'il a rencontrées en lisant (sans comprendre) des articles de recherche. Déjà, tu vois, il écrit $P(X)$ qui n'a aucun sens dans ta question. Qu'il n'a pas comprise, donc.

    Cordialement
  • Poirot
    Poirot
    @Andropie : ne prends pas la peine de lire le message de Pablo qui ne comprend même pas ce qu'il écrit.

    Pour ta question, ton raisonnement peut s'expliquer par une règle de déduction de la plupart des systèmes logiques, qui grossièrement dit que si tu peux prouver $A(x)$ avec $x$ une variable libre dans la formule $A$, alors tu en déduis $\forall x, A(x)$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Cette conclusion que je fais sur le tout est-elle donc axiomatique ?
    Je ne comprends pas bien le sens de cette question.

    Tu ne suppose rien sur $x$, à part le fait d'être un élément de $A$, et tu fais alors pour démontrer $P(x)$ un raisonnement qui peut s'appliquer à n'importe quel élément de $A$.
    Normal donc de pouvoir en déduire $\forall x\in A\ P(x)$.

    Une petite remarque qui va peut-être te troubler : supposer $A$ non vide est une précaution inutile.

    PS. Je viens de voir le message de Poirot. Il omet de préciser que la règle de déduction ne s'applique qu'à la condition que $x$ ne figure pas comme variable libre dans les hypothèses sous lesquelles on démontre son $A(x)$, c.-à-d. que les hypothèses ne disent rien sur $x$.
  • Poirot
    Poirot
    @GBZM : c'est pour ça que j'ai dit "grossièrement".
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @Poirot : ça me semble une omission regrettable ; d'autant plus que je ne vois pas l'intérêt de préciser "avec $x$ une variable libre dans la formule $A$". La précision cruciale est, je le répète, "avec $x$ pas variable libre dans les hypothèses".
  • Andropie
    Andropie
    Merci pour vos réponses !

    @GaBuZoMeu c'est justement ce "Normal donc de pouvoir en déduire pour tout x appartenant à A, P(x)" sur lequel je réfléchissais. C'est très logique de conclure ainsi, mais ce que je voulais savoir c'était si ce raisonnement immédiat constituait alors une règle posée comme un axiome dans la théorie des ensembles ou en logique.
  • raoul.S
    raoul.S
    Antropie a écrit:
    je voulais savoir c'était si ce raisonnement immédiat constituait alors une règle posée comme un axiome dans la théorie des ensembles ou en logique.

    C'est une règle de déduction en logique. On l'appelle simplement "introduction du quantificateur universel".
  • Andropie
    Andropie
    C’est noté @raoul.S, merci !
  • Martial
    Martial
    "C'est une règle de déduction en logique. On l'appelle simplement "introduction du quantificateur universel"."

    Moi je l'appelle "règle de généralisation", mais ça revient au même.
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