Contradiction non prouvée (généralité,simple)
Bonsoir à tous,
Une léger casse tête sûrement passager. Vous me direz...
Il arrive souvent qu’on essaye de prouver des équivalences en maths.
Par exemple, on a une équation fonctionnelle et on cherche les fonctions (avec un critère - continuité, valeur en $0$...) qui la vérifient.
Voilà mon tracas du soir. Le schéma de la démonstration est toujours le même : analyse-synthèse.
1) soit $f$ qui vérifie l’équation, alors, alors, alors je trouve que $f$ est comme ça (formule du type pour tout $x$, $f(x)=ag(x)+\exp^{bh(x)+c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes et où $g$ et $h$ sont des fonctions bien connues (j’ai mis n’importe quoi, pour décorer mon exemple). On a trouvé une condition nécessaire.
2) on vérifie que les fonctions de ce type fonctionnent. On vérifie que la condition est suffisante.
Et hop c’est bouclé : les fonctions qui vérifient A sont les fonctions du type B.
Ma question :
Comment est-on certain que l’on n’a pas de contradiction dans la partie A ?
J’essaye d’expliquer : je comprends bien qu’on trouve une formule avec des « donc ».
Mais comment est-on sûr que d’autres « donc » n’entraînent pas $0=1$ ou d’autres contradictions ?
D’abord, j’espère que vous comprenez ma question.
Cordialement
Dom
Édit : je viens de trouver un argument du type « bah mon grand c’est justement pour ça qu’on vérifie que ça marche ».
Une léger casse tête sûrement passager. Vous me direz...
Il arrive souvent qu’on essaye de prouver des équivalences en maths.
Par exemple, on a une équation fonctionnelle et on cherche les fonctions (avec un critère - continuité, valeur en $0$...) qui la vérifient.
Voilà mon tracas du soir. Le schéma de la démonstration est toujours le même : analyse-synthèse.
1) soit $f$ qui vérifie l’équation, alors, alors, alors je trouve que $f$ est comme ça (formule du type pour tout $x$, $f(x)=ag(x)+\exp^{bh(x)+c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes et où $g$ et $h$ sont des fonctions bien connues (j’ai mis n’importe quoi, pour décorer mon exemple). On a trouvé une condition nécessaire.
2) on vérifie que les fonctions de ce type fonctionnent. On vérifie que la condition est suffisante.
Et hop c’est bouclé : les fonctions qui vérifient A sont les fonctions du type B.
Ma question :
Comment est-on certain que l’on n’a pas de contradiction dans la partie A ?
J’essaye d’expliquer : je comprends bien qu’on trouve une formule avec des « donc ».
Mais comment est-on sûr que d’autres « donc » n’entraînent pas $0=1$ ou d’autres contradictions ?
D’abord, j’espère que vous comprenez ma question.
Cordialement
Dom
Édit : je viens de trouver un argument du type « bah mon grand c’est justement pour ça qu’on vérifie que ça marche ».
Réponses
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Bonjour,
Dans le A, tu supposes qu’une solution existe. Si c’est le cas, alors les donc successifs ne sont pas contradictoires (sauf à déroger aux règles mathématiques et à écrire des conneries). Si ce n’est pas le cas, alors la fonction appartient à l’ensemble vide et les donc sont peut-être contradictoires (puisque faux implique tout - comme j’ai lu sur ce forum). Mais dans ce dernier cas, lorsque tu vérifies la réciproque, tu trouves que les solutions (supposées) n’en sont pas : pas de contradiction.
Non ? -
Oui ce doit être ça, c’est ça.
A : les contraintes.
B : ce qu’on a déduit des contraintes.
Quand on vérifie, on exécute B => A.
Je tente une approche plus formelle : (je rédige ce message en réfléchissant en même temps)
Puis-je trouver un exemple où :
1) A => (B et 0=1)
2) B => A
Réponse : oui et on aurait alors B => 0=1
Dans mon exemple (équations fonctionnelles) ça entraînerait que les fonctions usuelles (« connues ») n’existent pas. -
Oui, ton dernier message répond bien.
Si tes contraintes sont vérifiées par des solutions explicites ($x\mapsto a g(x) + \exp (bh(x)+c)$ par exemple), alors elles sont aussi peu contradictoires que les maths (comprendre : si elles sont contradictoires, les maths aussi) -
Merci bien pour les réponses.
Allez comprendre, des choses s’invitent dans mon cerveau de temps en temps.
C’est agréable de parvenir parfois à les résoudre seul mais aussi grâce à ce merveilleux forum et vous tous ;-).
Bonne soirée.
Dom -
Bon j'arrive trop tard mais heureusement ni Yves ni max ne t'ont donné la réponse qu'il FALLAIT (je joue au despote gourou en ce moment c'est mon dada92 comme tu sais :-D ) te faire.
La voici: on n'en edt pas sur et on n'a aucunement besoin d'en être sûr. C'edt tout. Bon t'as pas de chance comme tu connais la fin mon début de film n'a plus aucun intérêt.
Mais demain je verrai si je peux convaincre max et Yves de mettre leurs posts en polices blanches pour que d'autres que toi en profitent.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
C’est mon message, sans prétention, qui dit cela, non ?
Avec A et B. -
C'est un corollaire de Gödel cela dit @christophe c: Maxtimax en parle dans son message plus haut.
@Dom: dans les théories de maths usuelles, peu importe le système de démonstration utilisé, si on peut prouver un même énoncé et son contraire on peut tout prouver (par exemple parce que $(\neg A \wedge A) \Rightarrow B$ est toujours vraie en termes de tables de vérité, peu importe les valeurs de vérité de $A$ et de $B$).
Une théorie est dite contradictoire si on peut prouver un même énoncé et son contraire dans cette théorie, et du coup:
une théorie est contradictoire si et seulement si on peut démontrer tous les énoncés avec elle.
Le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel entraîne grosso-modo que pour n'importe quelle théorie assez expressive pour parler d'entiers et d'arithmétique, ou bien la théorie est contradictoire, ou bien elle ne l'est pas mais alors il est impossible de démontrer qu'elle ne l'est pas avec les outils et axiomes de ladite théorie.
Comme les démonstrations sont notre seul moyen d'accès à des certitudes, on voit bien qu'il est impossible de s'assurer que les maths sont non contradictoires et par suite, compte tenu du premier paragraphe du présent message :
il est impossible, étant donné un énoncé de maths quelconque, de s'assurer vraiment que cet énoncé n'est pas prouvable.
Les résultats du type "montrer que X n'est pas prouvable sans l'axiome du choix" dont il y a un exemple récent sur le forum sont d'ailleurs formulés maladroitement. Une bonne formulation est par exemple : "on peut démonter que X est équivalent à l'axiome du choix sous les hypothèses Y", (où Y est une suite d'hypothèses -i.e. une théorie- dans laquelle ne figure pas l'axiome du choix).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bien que les rappels de foys et Max soient vrais, ils ne concernent pas ta question que l'on peut reformuler en
"Dom a l'air de se demander si une faiblesse n'est pas introduite quand on prouve A inclus dans B, si on oublie de s'assurer que A n'est pas vide"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
En fait, je ne sais pas.
Rapidement « je ne crois pas ».
Bien entendu si ça revient au vide alors, oui, c’est le cas.
Mais ai-je bien compris ce dernier message et moi-même suis-je bien compris ?
Avec prétention, mon message A => (B et 0=1) puis B => A me convient et convainc très bien.
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Bonjour!
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