Super-magma

Pourquoi appeler ça un magma alors que c'est un semi-groupe ? (je rappelle que magma c'est juste une loi ne vérifiant aucun axiome particulier)

Sinon, la réponse est oui pour des raisons idiotes (si je ne fais pas d'erreur encore plus idiote): je prends $E$ discret (comme ça tout est continu) infini, partitionné en $A\sqcup B$ avec $a\in A,b\in B$ et je définis $xy = a $ si $x\in A, b$ si $x\in B$.

Alors pour tout $x$, $n\mapsto x^n$ est stationnaire à partir du rang $2$ donc converge bien sûr.

De plus $(xy)z= a$ si $x\in A, b$ si $x\in B$ et donc $(xy)z = x(yz)$.

Finalement, car $a\neq b$, on a $ab = a \neq b = ba$

Bon. Mon $E$ n'est pas compact (j'avais oublié cette partie de ton énoncé :-D). Qu'à cela ne tienne, je change un peu ce $E$ pour le rendre compact et garder la continuité : je prends un espace topologique $A$ compact quelconque, avec $a\in A$, pareil pour $B$, et je prends $E=A\sqcup B$ toujours. $E$ est compact comme union de deux compacts.

Maintenant il me faut vérifier que mon $f$ est continu : soit $U\subset E$ ouvert. Si $a,b\in U, f^{-1}(U) = E\times E$ est clairement ouvert, si $a\in U, b\notin U, f^{-1}(U) = A\times E$ qui est aussi ouvert en tant que produit d'ouverts; de même si $a\notin U, b\in U$ et si $a,b\notin U, f^{-1}(U) = \emptyset$, qui est aussi ouvert.

Donc c'est bien continu.

Si tu rajoutes "connexe", il me semble que la difficulté augmente (mais j'y ai pas réfléchi)

(Poirot : attention, peut-être que Christophe entend "compact" au sens français, donc en particulier séparé)

@Poirot : c'est quoi un ensemble infini grossier ?

On peut considérer $E=[-1,1]$ munie de la loi $x \circ y=|xy|$ si $x\geq 0$, et $x\circ y=- |xy|$ si $x<0$.
Il est bien compact connexe, associatif et non commutatif, mais n'a pas d'élément neutre.
Toute suite $a^n$ tend vers $0, 1$ ou $-1$.
Est-ce que $\circ$ est continue ?
La loi semble continue car si on prend deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ convergeant vers $x$ et $y$ respectivement, alors $x_n \circ y_n$ converge vers $x \circ y$.

@Maxtimax: est-ce que ton ensemble possède un élément neutre ? Je ne sais pas si c'est demandé.
Remarque: tu peux toujours en rajouter un, alors que dans mon exemple, je ne peux pas.

On peut se ramener à des mots ayant une seule occurrence de $x$.

Soit $E$ un ensemble qui vérifie la propriété que tu as énoncée dans le message ci-dessus, soit $w_1, w_2, w_3$ des éléments de $E$, on considère le mot $w_1xw_2xw_3$ qui a deux occurrences de $x$, alors il faut qu'il existe $g(w_1,w_2,w_3 )\in E$ tel que, pour tout $x$ de $w_1xw_2xw_3=g(w_1,w_2,w_3)x^2$.

Mais, si la propriété est vérifiée seulement pour des mots avec une seule occurrence de $x$, alors pour tout $w_1,w_2$, il existe $g(w_1,w_2)$ tel que, pour tout $x$, $w_1xw_2=g(w_1,w_2)x$.
Soit $m_1=g(w_1,w_2)$, $m_2=w_3$, alors, il existe $g(m_1,m_2)$ tel que $m_1ym_2=g(m_1,m_2)y$.
On choisit $y=x^2$.
Alors $w_1xw_2xw_3=g(w_1,w_2)x^2w_3=g(g(w_1,w_2),w_3)x^2$.
Donc on peut poser $g(w_1,w_2,w_3)=g(g(w_1,w_2),w_3)$.

De même, pour $n>3$ occurrences de $x$.

On peut se ramener à $E$ est un semi-groupe tel que, il existe $g$ de $E$ dans $E$ telle que pour tout $x,y \in E$, $xy=g(y)x$. Si $E$ a un élément neutre $e$, en choisissant $x=e$, on $g(y)=y$, donc, pour tout $x,y$, $xy=yx$, donc $E$ est commutatif.

On peut peut-être considérer un nombre restreint de lettres donc $e_{-2}, e_{-1}, e_1,e_2$, on construit alors l'ensemble $E$ de la même façon que ci dessus en considérant que tous les mots de trois ou plus lettres sont égaux, et en quotientant par $e_ie_j=e_{-j}e_i$, pour tout $i,j\in \{-2,-1,1,2\}$.
$E$ muni de la topologie discrète est alors compact. On considère $F=[-1/2,1/2] \times E$ muni de la loi $(\lambda , u)\circ (\mu, v)=(\lambda \mu, uv)$.
$F$ est encore compact. La loi est continue. Toute suite $(\lambda,u)^n$ converge vers $(0, u^3)$. On a bien aussi la condition $xy=g(y)x$ en posant $g(\lambda,e_{a_1}\dots e_{a_n})=(\lambda, e_{-a_1}\dots e_{-a_n})$.
$F$ est non commutatif et infini.
Car $(1/2,e_1) \circ (1/2, e_2) \neq (1/2,e_2) \circ (1/2, e_1)$.
Il y a peut-être des erreurs.

En résumé, on définit l'ensemble $E=\{e_{-2},e_{-1}, e_1,e_2, e_1e_1, e_2e_2, e_1e_2,e_2e_1, e_1e_1e_1\}$, que l'on munit de l'opération $\times$ définie par:
1) $e_1 \times e_1=e_{-1}\times e_1=e_1\times e_{-1}=e_{-1}\times e_{-1}=e_1e_1$
2) $e_2\times e_2=e_{-2}\times e_2=e_2\times e_{-2}=e_{-2}\times e_{-2}=e_2e_2$
3) $e_1 \times e_2=e_{-2}\times e_1=e_2\times e_{-1}=e_{-1}\times e_{-2}=e_1e_2$
4) $e_2 \times e_1=e_{-1}\times e_2=e_1\times e_{-2}=e_{-2}\times e_{-1}=e_2e_1$
(c'est-à-dire $e_i\times e_j=e_{-j} \times e_i$ pour tout $i,j \in \{-2,-1,1,2\}$)
5) pour tout $i,j \in \{1,2\}$ et $k \in \{-2,-1,1,2 \}$, $e_ie_j \times e_k= e_k\times e_ie_j=e_1e _1 e_1$
6) pour tout $i,j,k,l \in\{1,2\}$, $e_ie_j \times e_k e_l=e_1e_1e_1$
7) pour tout $i,j \in\{1,2\}$, $e_ie_j \times e_1e_1e_1=e_1e_1e_1 \times e_ie_j=e_1e_1e_1$
8) $e_1e_1e_1\times e_1e_1e_1=e_1e_1e_1$
9) pour tout $i \in \{-2,-1,1,2 \}$, $e_i \times e_1e_1e_1=e_1e_1e_1 \times e_i= e_1e_1e_1$

Alors $E$ muni de la topologie discrète est compact, et la loi continue.
On définit $g$ de $E$ dans $E$ par $g(e_i)=e_{-i}$ pour tout $i \in \{-2,-1,1,2\}$, $g(e_ie_j)=e_ie_j$ pour tout $i,j \in \{1,2\}$ (car $e_{-i}\times e_{-j}=e_ie_j$) et $g(e_1e_1e_1)=e_1e_1e_1$.

Alors $g$ vérifie: pour tout $x,y \in E$, $x\times y=g(y) \times x$.

Ensuite, on définit $F=[0,1]\times E$, muni de la loi $\circ$ définie par $(\lambda, u) \circ (\mu,v)=(\lambda \mu, u \times v)$. $F$ est compact, infini, non commutatif (car $(1,e_1) \circ (1,e_2) \neq (1,e_2) \circ (1,e_1)$).
Si on définit $G$ de $F$ dans $F$ par $G(\lambda,u)=(\lambda, g(u))$, alors, pour tout $x,y \in F$, $x\circ y=G(y) \circ x$.

Toute suite $(\lambda,u)^n$ converge vers $(0,e_1e_1e_1)$ ou $(1,e_1e_1e_1)$.