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Relation d'équivalence, bijection

Envoyé par BA 
BA
Relation d'équivalence, bijection
il y a trois mois
$\renewcommand{\R}{\mathbb R}$Bonjour à tous
Je bloque completement sur cet exercice.

Soit la relation d’équivalence $\mathcal R$ de $\R$ dans $\R$ par : \[
x \mathcal{R} y \iff x - y \in \color{red}{\mathbb{Z}}
\] Question. Prouvez que l’ensemble quotient $E/\mathcal{R}$ est en bijection avec l’ensemble $\mathbb{U}$ de tous les nombres complexes de module 1.

J'ai plusieurs questions.
1. Tout d'abord je n'arrive par à écrire $\mathcal{R}$ sous forme $f_{\mathcal R}$ (forme de fonction) ?
2. Comment une relation d'équivalence d'ensembles réels peut être une bijection avec des complexes ?
3. Quelle piste pour répondre à la question ?
Merci !

[En $\LaTeX$, les expressions mathématiques sont encadrées par des $\$$. AD]
[Correction en rouge conformément à [www.les-mathematiques.net] AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relation d'equivalence - prouver une bijectio
il y a trois mois
Ta relation, c'est pas plutôt $x - y \in \mathbb{Z}$ (et pas $x- y \in \mathbb{R}$) ?
Re: Relation d'equivalence - prouver une bijectio
il y a trois mois
avatar
BA: ce n'est pas la relation d'équivalence, qui est un seul objet, qui est en bijection avec $\mathbb{U}$ mais c'est l'ensemble de ses classes d'équivalence. qui est en bijection avec $\mathbb{U}$

Avec la relation d'équivalence définie par $x$ équivalent à $y$ si et seulement si $x - y \in \mathbb{R}$ il n'y a qu'une seule classe d'équivalence puisque la différence de deux réels est toujours un réel. smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Fin de partie.
BA
Re: Relation d'equivalence - prouver une bijectio
il y a trois mois
Chat-maths écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------
Ah oui effectivement, merci

[Correction faite dans le message initial. AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relation d'equivalence - prouver une bijectio
il y a trois mois
avatar
Des indications, si je vois bien ce dont il s'agit:

1) Comment peut-on représenter un nombre complexe de module $1$?
2) La représentation ci-dessus suggère de considérer une application de $x$ réel vers l'ensemble des nombres complexes de module $1$ (qu'on peut expliciter donc)
a)Montrer que cette application est surjective.
b)Montrer que l'image réciproque d'un nombre de module $1$ est une des classes d'équivalence de la relation d'équivalence donnée dans l'énoncé.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
BA
Re: Relation d'equivalence - prouver une bijectio
il y a trois mois
Merci Fin de Partie!
Re: Relation d'équivalence, bijection
il y a trois mois
Bonjour
Je suis apparemment en train de faire le même exercice et je bloque.

Tout d'abord je tiens à confirmer que la relation $\mathcal{R}$ est définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par :
$\left\{~x \mathcal{R} y \iff x - y \in \mathbb{Z}~\right\}$

Voilà ce que j'ai déjà trouvé.
La relation $\mathcal{R}$ associe les réels qui ont la même partie décimale.
La classe d'équivalence est : $\dot{x} = \left\{~y \in E \mid \exists k \in \mathbb{Z},\ x - y = k ~\right\}$
et ok, l'espace-quotient $E/\mathcal{R}$ est l'ensemble de toutes les classes $\dot{x}$.
$\mathbb{U} = \left\{~z \in \mathbb{C} \mid |z|=1~\right\}$
c'est-à-dire : $\mathbb{U} = \left\{~z \in \mathbb{C}\mid a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R},\ z = a + ib \ \text{ et } \ a^{2} + b^{2} = 1~\right\}$
ok, j'arrive à voir qu'avec $k=1$, on peut obtenir un truc comme : $x - y = x^{2} + y^{2}$.
Donc sûrement une application dont il faudra montrer la bijectivité.
Je n'arrive pas à construire cet objet clairement.

En plus, en prenant $k=1$, j'ai l'impression de prendre un sous-ensemble de l'espace-quotient $E/\mathcal{R}$ alors qu'il faudrait que l'application mette dans $\mathbb{U}$ tous les éléments de l'espace-quotient ?
Bref, c'est un peu confus.

Pourriez-vous m'éclairer un peu, bien sûr je souhaite trouver la solution moi-même.
Merci beaucoup.
P.S.: D'ailleurs c'est quoi l'ensemble $E$ ? $E=\mathbb{R}$ ???



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Relation d'équivalence, bijection
il y a trois mois
Bonjour.

Pourquoi ce E dans la définition de la classe d'équivalence $\dot x$ ? $x$ est un réel, la relation est définie sur $\mathbb R$, donc les classes d'équivalence sont des sous-ensembles de $\mathbb R$. Pas de E ici.

Par contre, tu peux trouver un sous-ensemble très simple regroupant des représentants de toutes les classes d'équivalence, donc en bijection naturelle avec $\mathbb R/\mathcal{R}$. Tu l'as presque explicité dans ton message.

Cordialement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par gerard0.
Re: Relation d'équivalence, bijection
il y a trois mois
Bonjour Gérard
Merci pour ta réponse. En effet, le $E$ de notre énoncé est un peu bizarre, Je considère $E=\mathbb{R}$.
Voici un petit schéma (pièce-jointe) qui montre ce que je crois comprendre. Dois-je donc trouver la fonction $f$ (bijective) du schéma ?
Cordialement

P.S. J'ai bien l'impression que c'est une histoire d' "enroulement" de $\mathbb{R}$ sur le cercle trigonométrique ...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - representation.pdf (110.8 KB)
Re: Relation d'équivalence, bijection
il y a trois mois
Oui, mais, je le répète, c'est presque évident si tu prends un représentant "canonique" dans chaque classe. Quant à $\mathbb U$, tu le connais et il a une paramétrisation évidente, qui donnera immédiatement le résultat. Cela s'écrit d'ailleurs de façon assez simple.
Au besoin, fais des dessins, mais plus adaptés (En général, on représente $\mathbb R$ par une droite, et $\mathbb U$ a une forme bien connue dans le plan complexe).

Cordialement.
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