Relation d'équivalence, bijection

BA: ce n'est pas la relation d'équivalence, qui est un seul objet, qui est en bijection avec $\mathbb{U}$ mais c'est l'ensemble de ses classes d'équivalence. qui est en bijection avec $\mathbb{U}$

Avec la relation d'équivalence définie par $x$ équivalent à $y$ si et seulement si $x - y \in \mathbb{R}$ il n'y a qu'une seule classe d'équivalence puisque la différence de deux réels est toujours un réel. B-)-

Des indications, si je vois bien ce dont il s'agit:

1) Comment peut-on représenter un nombre complexe de module $1$?
2) La représentation ci-dessus suggère de considérer une application de $x$ réel vers l'ensemble des nombres complexes de module $1$ (qu'on peut expliciter donc)
a)Montrer que cette application est surjective.
b)Montrer que l'image réciproque d'un nombre de module $1$ est une des classes d'équivalence de la relation d'équivalence donnée dans l'énoncé.

Bonjour
Je suis apparemment en train de faire le même exercice et je bloque.

Tout d'abord je tiens à confirmer que la relation $\mathcal{R}$ est définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par :
$\left\{~x \mathcal{R} y \iff x - y \in \mathbb{Z}~\right\}$

Voilà ce que j'ai déjà trouvé.
La relation $\mathcal{R}$ associe les réels qui ont la même partie décimale.
La classe d'équivalence est : $\dot{x} = \left\{~y \in E \mid \exists k \in \mathbb{Z},\ x - y = k ~\right\}$
et ok, l'espace-quotient $E/\mathcal{R}$ est l'ensemble de toutes les classes $\dot{x}$.
$\mathbb{U} = \left\{~z \in \mathbb{C} \mid |z|=1~\right\}$
c'est-à-dire : $\mathbb{U} = \left\{~z \in \mathbb{C}\mid a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R},\ z = a + ib \ \text{ et } \ a^{2} + b^{2} = 1~\right\}$
ok, j'arrive à voir qu'avec $k=1$, on peut obtenir un truc comme : $x - y = x^{2} + y^{2}$.
Donc sûrement une application dont il faudra montrer la bijectivité.
Je n'arrive pas à construire cet objet clairement.

En plus, en prenant $k=1$, j'ai l'impression de prendre un sous-ensemble de l'espace-quotient $E/\mathcal{R}$ alors qu'il faudrait que l'application mette dans $\mathbb{U}$ tous les éléments de l'espace-quotient ?
Bref, c'est un peu confus.

Pourriez-vous m'éclairer un peu, bien sûr je souhaite trouver la solution moi-même.
Merci beaucoup.
P.S.: D'ailleurs c'est quoi l'ensemble $E$ ? $E=\mathbb{R}$ ???

Bonjour Gérard
Merci pour ta réponse. En effet, le $E$ de notre énoncé est un peu bizarre, Je considère $E=\mathbb{R}$.
Voici un petit schéma (pièce-jointe) qui montre ce que je crois comprendre. Dois-je donc trouver la fonction $f$ (bijective) du schéma ?
Cordialement

P.S. J'ai bien l'impression que c'est une histoire d' "enroulement" de $\mathbb{R}$ sur le cercle trigonométrique ...