Artin Schreier

Merci pour avoir corrigé les fautes!

Comme chaque fois que je téléphone à Anatole, j'obtiens un plan de solution en peu de temps, ce qui a été le cas aujourd'hui, alors qu'initialement, il ne connaissait pas le théorème.

Je reproduis le plan avant de l'oublier et invite les gens qui ont envie à descendre en résolution (au sens "haute ou basse" résolution).

0/ Hypothèses : $K$ est un sous-corps de $L$ et $L$ est algébriquement clos et $a^2+1=0$ et $a\in K$ et pas de sous-corps entre $K$ et $L$. Conclusion: prouver que $K=L$. (il n'y a pas de perte de généralité / l'énoncé ci-dessus, quelques secondes au niveau L3 suffisent à le voir)

1/ Pour une raison qui m'a quelque peu échappée (dyscalculie) on peut supposer que la caractéristique est nulle sans qu'il n'y ait perte de généralité.

2/ On se sert d'admis "galoisiens" (hélas) en disant que si $x\in L\setminus K$ alors il existe un morphisme de corps de $L$, $f$ laissant $K$ invariant et tel que $f(x)\neq x$. Je ne me rappelle pas si c'est un WLOG ou une déduction, mais peu importe pour ce plan.

3/ Le galoisisme entraine (cyclicité du groupe des morphismes laissant $K$ invariant) qu'il y a $a\in K$ et $n\in \N$ et $x\in L\setminus K$ tels que $x^n=a$.

4/ Soit $y$ tel que $y^n=x$. Le produit de tous les conjugués** de $y$ est dans $K$, et si on suppose que $K$ contient toute racine de l'unité, on obtient que $x\in K$.

5/ Si on ne suppose pas que $K$ contient toutes les racines de l'unité, via le plus petit $p$ tel qu'il existe $x$ pas dans $K$ tel que $x^p = 1$ et via quelques calculs tordus, on s'en sort "essentiellement" de la même façon.

Ce plan est très grossier et nécessite d'être détaillé. Si ça intéresse des gens, en fonction des blocages, j'appelle Anatole et fait monter ensuite la résolution.

Aux intervenants qui trouvent tout ça très connu et facile, merci si vous le voulez bien de situer vos interventions dans le plan précédent pour ne pas trop risquer de charger la mule en calculs. Ce n'est pas une obligation, si vous estimez le plan critiquable, n'hésitez pas.

Pour l'heure, je ne trouve pas trop de quoi extraire un message philosophique sur $\sqrt{non}$ avec ce plan, mais ce n'est qu'un début.

Un grand merci à GBZM pour ces articles et je répondrai plus tard à ptolémée et GA.

Merci pour ces pièces supplémentaires. Je posterai plus longuement de mon PC demain.