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Ensemble ordonné fini

Envoyé par topopot 
Ensemble ordonné fini
il y a trois mois
J'ai lu ce théorème dans un cours : tout ensemble ordonné fini $(E,\leq)$ admet un élément minimal.

Ne faut-il pas rajouter l'hypothèse $E\neq\emptyset$ ? Lorsque j'essaie de faire la démonstration, j'utilise cela. De plus, sauf erreur, la définition même d'élément minimal impose la non-vacuité. Toutefois, je ne vois cette précision nulle part, d'où mes doutes.
Re: Ensemble ordonné fini
il y a trois mois
Oui puisque $\emptyset$ est un ensemble ordonné ($\emptyset$ est un ordre sur $\emptyset$).
Re: Ensemble ordonné fini
il y a trois mois
avatar
Bonjour,
Oui, c'est un oubli. C'est une propriété du type "il existe x dans E tel que bla bla" donc il faut au moins que"il existe x dans E" tout court soit vrai.
Re: Ensemble ordonné fini
il y a trois mois
Citation
topopot
De plus, sauf erreur, la définition même d'élément minimal impose la non-vacuité.

Ben si, erreur : "Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné. Pour tout $x \in E$, on dit que $x$ est minimal si, pour tout $y \in E$, $y \leq x \Rightarrow x = y$."
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