Ensemble ordonné fini

topopot
topopot
dans Fondements et Logique
J'ai lu ce théorème dans un cours : tout ensemble ordonné fini $(E,\leq)$ admet un élément minimal.

Ne faut-il pas rajouter l'hypothèse $E\neq\emptyset$ ? Lorsque j'essaie de faire la démonstration, j'utilise cela. De plus, sauf erreur, la définition même d'élément minimal impose la non-vacuité. Toutefois, je ne vois cette précision nulle part, d'où mes doutes.

Réponses

  • Foys
    Foys
    Oui puisque $\emptyset$ est un ensemble ordonné ($\emptyset$ est un ordre sur $\emptyset$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Oui, c'est un oubli. C'est une propriété du type "il existe x dans E tel que bla bla" donc il faut au moins que"il existe x dans E" tout court soit vrai.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    topopot a écrit:
    De plus, sauf erreur, la définition même d'élément minimal impose la non-vacuité.

    Ben si, erreur : "Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné. Pour tout $x \in E$, on dit que $x$ est minimal si, pour tout $y \in E$, $y \leq x \Rightarrow x = y$."
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