Axiome de détermination
Je suis agacé par moi-même et la vieillesse qui fait perdre la mémoire. J'ai toujours tenu pour acquis, car toujours pensé l'avoir appris en détour de conversations que $ZF+CD+AD$ n'est pas compatible avec l'axiome:
Toute famille indicée par les nombres réels possède une fonction choix (deuxième forme ci-dessous)
Et bien je m'aperçois que je n'en suis plus si sûr. Or, j'ai vaguement l'impression que c'était trivial et que je ne réinterrogeais jamais cette question. Ce matin, plus rien ne me saute aux yeux (ça va peut-être revenir).
Attention, je ne parle pas de :
$$ \forall G\subset \R^2\exists f\in \R^\R\forall (x,y)\in \R^2 : [(x,y)\in G\to (x,f(x)) \in G]$$
qui est "bien connu" comme parié consistant, mais bel et bien de:
$$ \forall E \forall G\subset \R\times E\exists f\in E^\R\forall (x,y)\in \R\times E : [(x,y)\in G\to (x,f(x)) \in G]$$
qui à ma connaissance n'est pas connu comme l'étant.
Pöur le coup, pour les éventuels amateurs d'initiation à la TDE version "AD", ça vous fait un exo.
Toute famille indicée par les nombres réels possède une fonction choix (deuxième forme ci-dessous)
Et bien je m'aperçois que je n'en suis plus si sûr. Or, j'ai vaguement l'impression que c'était trivial et que je ne réinterrogeais jamais cette question. Ce matin, plus rien ne me saute aux yeux (ça va peut-être revenir).
Attention, je ne parle pas de :
$$ \forall G\subset \R^2\exists f\in \R^\R\forall (x,y)\in \R^2 : [(x,y)\in G\to (x,f(x)) \in G]$$
qui est "bien connu" comme parié consistant, mais bel et bien de:
$$ \forall E \forall G\subset \R\times E\exists f\in E^\R\forall (x,y)\in \R\times E : [(x,y)\in G\to (x,f(x)) \in G]$$
qui à ma connaissance n'est pas connu comme l'étant.
Pöur le coup, pour les éventuels amateurs d'initiation à la TDE version "AD", ça vous fait un exo.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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T'es sûr que c'est inconsistant ? Je sais que si tu mets $P(\R)$ au lieu de $\R$, c'est le cas (ça te donne un ultrafiltre sur $\N$ si tu t'autorises ces fonctions de choix); mais je n'avais jamais vu l'énoncé avec $\R$.
Bon après, j'ai pas vu grand chose ... -
Bin, il me semble que j'ai casé ça dans ma mémoire et ne l'ai jamais ré-évoqué (c'est mon tort). Si c'était ouvert, je crois qu'il ne ferait aucun doute que Solovay, Woodin, Steel, Shelah, Martin, Jensen, Laver, Magidor, Neeman, Gowers, etc, sans parler de bien d'autres autorités du domaine (bon en tout, il y en une petite cinquantaine, j'avoue) se "tueraient" à en prouver la consistance, non? Et auraient fait grand bruit, parce qu'ils ont réussi?
Quand Mattar passera sur le forum, je pense qu'il saura ce genre de choses. J'ai du mal à m'imaginer que si ce n'était pas prouvé contradictoire, ça reste un "axiome si discret". Pourquoi se fatiguer à n'admettre que $AD(\R)$ (voire que $AD$), sinon?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
CD, c'est pour axiome du choix dénombrable ?
Parce que wikipedia dit que l'axiome de détermination implique l'axiome du choix dénombrable. -
@gai requin: Non, CD c'est pour l'axiome du choix dépendant, qui est plus fort que le dénombrable et plus faible que AC.
Je crois que AD n'implique pas CD mais, sous certaines hypothèses de forte cardinalité, ZF + AD + CD est consistant.
@Christophe : si je comprends bien, ton énoncé est un théorème d'uniformisation pour tous les graphes dont l'axe des abscisses est $\R$ et dont l'axe des ordonnées est n'importe quoi, c'est ça ? -
Merci Martial.
Et vous notez comment l'axiome du choix dénombrable ? -
@Christophe : dans mes notes (qui viennent du Cantor's Attic, aujourd'hui scratché), je lis :
$AD_{\R}$ est équivalent (au-dessus de ZF) a AD + l'axiome d'uniformisation (qui est faux dans $L(\R)$.
Mais cela ne va guère t'aider, car à mon avis l'axiome d'uniformisation dont il est question ici doit plutôt être le 1er énoncé que tu cites. -
@Martial, oui tu as parfaitement compris et le théorème que tu évoques, célèbre, et connu de tous les set theorists a été annoncé par Woodin, or, il est hélas tellement fort, qu'il ne publie quasiment plus jamais rien depuis des décennies, et les gens ralaient parce qu'il annonçait ce genre de truc à la manière d'un fascicule et que c'était frustrant.
Je ne sais pas ce qu'il en est en 2020 concernant l'archivation "scientifique" (ie certitudes formelles à ne pas perdre) des théorèmes annoncés par Woodin. Mais en tout cas, oui, tu as bien compris que ce n'est pas ma question.
Il y a un énorme livre (genre "publication intégrale de mes brouillons à moi HWoodin") qui parfois détaille un peu mais reste très difficile à vérifier.
Comme tu dis "axe des ordonnées n'importe quoi". Ca résume bien :-D
Pardon pour la disparition du "A" (en fait, j'ai toujours noté CD au lieu de ACD, je ne savais).
@GR: je crois qu'on note ACden l'axiome du choix dénombrable.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Le gros livre de Woodin dont tu parles c'est bien "The axiom of determinacy, Forcing Axioms, and the Non Stationary Ideal", c'est ça ?
Tu l'as ? -
Non, je ne l'ai pas, je l'ai feuilleté quelques heures au cours de ma vie en ralant parce que c'était trop dur. Tu l'as toi?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@Christophe : réponse dans ta boîte mail (la vraie, pas celle qui est cassée).
-
MERCI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(je t'ai aussi remercié dans "Syracuse")Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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