Cadeau pour Martial (et Georges)

Tu parles du fil sur le forcing de Martial?

Bin, c'est un peu le miracle du forcing, que de représenter par une algèbre de Boole sans atomes ce qui est en fait un produit extérieur à l'univers. C'est "une métaphore exacte".

Disons que ça marche comme si on volait en altitude et que les points de la droite soient imperceptible et qu'on ait affaire qu'aux ouvert non vides, eux visibles d'avion.

Le lien avec la TQ est "évident", mais superficiel quant à l'opérabilité dans la mesure où là, la logique est brutalement classique et même pire que ça "profondément additive", dans le sens que si l'ultrafiltre générique contient une disjoinction aussi grosse que tu veux alors il contient un de ses items.

J'en ai plusieurs fois parlé, sans parler de forcing, en algèbre où je nomme "superpremiers" les idéaux $P$ tels que pour toute intersction et produits fini di'déaux, si $P$ la contient alors il contient un de ses items.

Ce sont des idéaux rares et "bien solides". Par exemple, au seins de l'anneau de Boole $P(E)$, ce sont les ultrafiltres PRINCIPAUX (c'est à dire ceux qui habituellement ... n'intéressent personne)

Ca permet de généraliser ce qu'est "un vrai élément réel" au sein d'un anneau (en voyant les ultrafiltres généraux comme de "possibles" faux éléments).

Opératoirement la TQ se comporte différemment. Le lien, discret, se voit au niveau "théorie des jeux" où la non détermination est systématiquement provoquée par une "évanescence" irrémédiable de la définition du jeu.

"Le produit de tout les", ça me dit rien dans le fil Syracuse :-S Mais si tu me mets un lien...

Ah ouiiiiiiiiiiiiiiiiii

Bin, en d'autres mots, tu peux très bien définir des jeux en UTILISANT une fonction choix mais ne tester que ceux qui NE DEPENDANT PAS d'elle. Et bien eux, ils sont déterminés (ou partent en hauteur, c'est à dire "sont déterminés" à leur manière).

Mais c'est surtout dans "la technique" que ça se voit, je détaillerai, mais là, j'ai les yeux éclatés par avoir passé trop de temps sur le PC.

Je te donne une, j'ai été un peu confus sur la fin. Si l'opération Match était symétrique, on aurait $Match(d,d)$ de la forme $(u,u)$. C'est ç que je voulais dire.

Autrement dit, la détermination FORCE sans espoir de retour la négation de $\forall a,b: Match(a,b=Match(b,a)$.

J'ai pu créer des versions commutatives, mais dans ce cas, il devient exclus qu'on récupère un couple, avec chacun un part du match qui constitue son espace libre.

De plus la réactivité*** n'est pas forcément évidente à conserver.

*** Propriété que j'appelle ainsi = $\forall a,a',b,b',:p $ si $p=Match(a,b) = Match(a',b')$ alors toutes les autres égalités valent, ie

$$ Match(a,b') = Match(a',b) = p$$

qui est caractéristique des jeux à information parfaite.

Je formalise et démontre les choses. N'oublie pas qu'initialement mon but était de te parler d'indéterminisme qui pourrait s'étendre jusqu'au monde platonicien, préjugé d'une fixité absolue.

Soit $E$ un ensemble. Soit $Match$ une application de $E^2$ dans $P$.

La structure est dite:

1/ G-déterminée quand pour toute partie $A$ dans $P$, il existe $a\in E$ tel que :

$(\forall x\in E: Match(a,x)\in A)$ ou $(\forall x\in E: Match(x,a)\notin A)$

2/ réactive quand pour tous $a,b,u,v: q:=Match (a,b)=Match(u,v)$ implique les 3 autres autres égalités avec $q$ (voir post précédent

3/ déterminée quand $\forall f,g: E\to E$, il existe $x,y$ tels que $Match(x,f(x) = Match(g(y),y) = Match(x,y)$

En présence de l'axiome du choix, tu as :

$$(Reactive\wedge Gdetermination) \iff determination$$

4/ Hélas en présence de l'axiome du choix, j'ai pu prouver que $card(E)>card(P)$ sauf cas triviaux d'une part, et que $[card(E)]^+ \geq card(2^{card(P)})$.

ce qui est rigolo est que je crois que c'est un des rares exemples de théorème de la forme $a^+\geq 2^b$. J4ai un peu fait l'effort jadis de renfocer en $a\geq 2^b$, mais sans succès.

5/ C'est donc en l'absence de l'axiome du choix que tu as de réels phénomènes intéressants.

6/ Là on peut avoir $E=P$, carrément. (Comme tu dis, on peut croire qu'il faut un peu coder, mais c'est rien à cette échelle de dire que le coup recommandé par la suite $u$ de $2^\N$ face à la position $x$ de son adversaire (qui est une suite finie de 0 et de 1 par exemple, donc un entier) est $u_n$.

7/ De plus, on a un "espace libre" pour chacun des joueurs en le sens que, $Match$, peut aller carrément de $E^2$ dans ... $E^2$, avec de bonnes propriétés, comme $\forall x\exists b \forall a: Match(a,b$ est de la forme $(z,x)$.

8/ C'est dans ce contexte que je te décrivais les choses. Soit $f$ une fonction censée (enfin $f(x)$ représenter les rêves les plus fou.

9/ Cela permet de comprendre en quoi l'acte de copulation chez les êtres vivants est de manière naturel très proche des opérations Match ici évoquées, plutôt que de la multiplication dans $\R$ par exemple:

10/ détermination entraîne qu'il existe $x,y: Match (x,y)=(f(x),f(y))$. Autrement dit avec un bon mariage l'enfant réalise les rèves de ses parents.

11/ Ce que je t'ai raconté, était plutôt destiné à évoquer les mystères physiques que les sciences naturelles et la reproduction.

12/ Supposons que $\forall x,y, u, v:$ si $Match(x,y)=(u,v)$ alors $Match(y,x) = (v,u)$. C'est une sorte de commutativité ou de symétrie peu importe le nom, c'est une indiscernabilité des sexes.

13/ Il est impossible d'avoir $Match(x,x) = (f(x),f(x))$ quand $f$ est assez "idyllique", du coup, par détermination, si on retires l'hypothèse 12, tu auras bien $\exists x,y: Match (x,y)=(f(x),f(y))$, tu l'auras bien obtenu par un certain $Match(z,z)$ obtenu en choisissant $z\in E$ tel que

$\forall u\in E\exists a\in E: Match(z,u) = (f(u), a)$ et
$\forall v\in E\exists b\in E: Match(v,z) = (b,f(v) )$

avec un même $z$ mais tu auras une brisure de symétrie spontanée. Et globalement, tu retrouves la discernabilité obligatoire entre deux sexes, identifiables dans l'acte de copulation.

14/ Pour les anneaux, c'est LA MEME FONCTION qui est supposée être un polynôme, mais on l'utilise DEUX FOIS.

Pour être précis, tout anneau commutatif tel que la fonction $x\mapsto $ if $x=0$ then $0$ else $1$ est un polynôme est un corps fini

@Georges, de manière peut-être beaucoup plus "raz des paquerettes", toute la science (enfin toute la production d'axoimes forts qu'on ne cherchera pas du tout à justifier, mais dont on attend qu'ils marchent) consiste à attaquer l'égalité (au sens où on a un "axiome naif" qui est contradictoire, à cause que quelque part dedans, est supposé un $a=b$ (ie l'axiome est de la forme $R(a,a)$), on va alors faire les mauvais coucheurs et s'entêter à demander

$$R(a,b)$$

MAIS: on "cherche la bagarre" avec Nature en ne demandant pas $a=b$, mais en demandant $a,b$ indiscernables.

Quasiment toutes les théories se sont trivialement construites comme ça.

- ZF (qui n'est rien d'autre qu'avoir remplacé $P(E)\subset E$ par $P(E)\subset F$ et $E,F$ indiscernables (en particulier $E<_{Elem} F))$

- les grands cardinaux (qui remplacent $[V_1\subset V_2$ et $V_1<_{Elem}V_2$ et $ON^{V_1} = ON^{V_2}]$ par $[V_1\subset V_2$ et $ON^{V_1} = ON^{V_2}]$ + des machins)

- l'infini (qui remplace $a+1 = a$ par $1+a==a$)

- La théorie quantique (qui remplace carrément $x\neq y$ par $x\perp y$, pour tous $x,y$)

- La relativité (qui remplace l'égalité de perception de la simultanéité distante par une indiscernabilité)

etc, etc.

A noter que l'indiscernabilité entre $a$ et $b$ est BEAUCOUP MOINS FORTE que celle entre $(a,b)$ et $(b,a)$, et que cette dernière a été bien plus difficile à récupérer (on ne l'a d'ailleurs pas fait pour tout dire, sauf quantiquement, mais au prix de renoncements assez inédits).

C'est au nom de ça que parfois, je suis critique à l'égard de certaines écoles qui voudraient "généraliser" leurs dada à elles à tout le reste, (typiquement qui veulent identifier isomorphe et égal, puisqu'on sait en logique depuis la base de chez base et nuit des temps que c'est la différence entre les deux qui fonde la (réussite de) science)

Avant de me déconnecter, je te montre à quel point cette notion de copulation s'infiltre dans toutes les maths.

Les machines de Turing permettent de calculer tout ce qui est calculable. On pourrait donc se dire qu'il n'est pas évident de générer ce qu'elle fait à l'aide d'ensembles pauvres et d'opérations "pauvres". Bin, c'est une erreur, tu peux marier deux notoins pauvres et faire exploser le compte en banque:

Soit $L$ le langage composé des mots de la forme $u_1u_2...$ où chaque $u_i$ est lui-même très simple, c'est un mot de la forme $x|y$ avec une relation très simple entre $x$ et $y$. Typiquement le fait de passer d'une situation à la suivante dans un ordinateur qui par définition se fait actuellement en $10^{-10}$ secondes sur les ordinateurs de bureau.

La projection est elle-même simple "a priori" ainsi, encore plus que l'intersection.

Et bien ça génère tout ce qui est calculable!

Preuve: un langage récursif étant un projeté d'un calcul réussi, il suffit de prouver qu'on peut maitriser la réussite de calculs. Or $v_1,..,v_n$ est réussi quand il appartient à $A\cap B$ où :

$A := \{x\mid x_1x_2\in OK$ et $x_3x_4\in OK$ et $\dots \}$

$B := \{x\mid x_2x_3\in OK$ et $x_4x_5\in OK$ et $\dots \}$

Autre exemple: choisir un élément dans une partie de $\N$. Et bien autant $\vee; \exists $ ne posent pas de problèmes, autant un simple $et$ (et donc $\forall$) sont inaccessibles. Preuve:

pour avoir $a$ tel que $\exists xR(x,a)$ prendre $(u,v)$ tel que $R(u,v)$ puis jeter $u$
pour avoir $a$ dans $A\cup B$, prendre $x$ dans $A$, vérifier s'il est dans $A$ et si non, prendre $y\in B$

Le premier exemple est assez typique, puisqu'avec une ine intersection tu arrives à INTERCALER. C'est utilisé par exemple pour prouver qu'il n'existe pas de moyen de savoir si une intersection de deux langages algébriques est vide (alors qu'il est trivial de savoir si un LA est vide).

De rien: précision concernant mon derier msg. Les opérations sur les langages évoquées, sont dites régulières. (Reconnaissable par automate qui lit mais n'écrit pas).