Je voudrais un ordinal

Déjà il vaudrait mieux demander un cardinal pour $\alpha$. Enfin tu peux demander ordinal, mais ça change rien.

Ensuite déjà on peut simplifier : $\mathbb R^\alpha = (2^{\aleph_0})^\alpha = 2^\alpha$ (à prendre au sens cardinal, pas ordinal - d'où la clarification que j'essayais de mettre au début) (ah - bien entendu je suppose $\alpha$ infini :-D), donc tu demandes un $\alpha$ tel que $2^\alpha \geq \aleph_{\sup_{\gamma < \alpha}2^\gamma}$

Il suffirait effectivement d'avoir $2^\alpha = \aleph_{2^\alpha}$, mais les théorèmes de point fixe (en tout cas les usuels) ne t'aideront pas ici : $2^{-}$ n'est pas continue.

Prenons $\alpha$ un cardinal fortement limite, c'est-à-dire tel que $\gamma < \alpha \implies 2^\gamma < \alpha$. Dans ce cas notre $\sup$ se simplifie en $\alpha$, et donc on cherche à avoir $2^\alpha \geq \aleph_\alpha$.
Bon bah déjà on peut se rassurer en disant que ta demande est cohérente : je peux supposer que pour tout $n\in \omega, 2^{\aleph_n}=\aleph_{n+1}$ et que $2^{\aleph_\omega}$ est très très grand , plus que $\aleph_{\aleph_\omega}$, et ça me donne un exemple (voir le théorème d'Easton pour savoir pourquoi ces hypothèses sont cohérentes)

Mais je vais essayer mieux : de prouver l'existence d'un $\alpha$ fortement limite qui convient :

Je prends $\alpha_0 :=\omega$; ensuite je prends $\alpha_{n+1}:=\max\{\aleph_{\alpha_n}, 2^{\alpha_n}\}$

Je pose $\alpha = \lim_n \alpha_n$.
Je prétends que $\alpha$ convient.

1- Il est fortement limite. En effet, si $\beta <\alpha$, $\beta < \alpha_n$ pour au moins un $n$, de sorte que $2^\beta \leq 2^{\alpha_n} \leq \alpha_{n+1} < \alpha$.

2- $2^\alpha \geq \aleph_\alpha$. En effet, $\aleph_\alpha = \lim_n \aleph_{\alpha_n}$ donc il suffit de montrer $2^\alpha \geq \aleph_{\alpha_n}$ pour tout $n$. Je pense que ça c'est clair :-D En fait, mieux, on a $\alpha \geq \aleph_\alpha$ et donc $\alpha = \aleph_\alpha$

(note : je ne sais pas si "fortement limite" est nécessaire, je ne pense pas - je l'ai rajouté parce que ça simplifie la question, et donc la recherche d'exemple - et puis un exemple fortement limite, c'est un exemple !)

:-D :-D Cela dénote une passion souvent, et tant mieux. Je confirme le théorème de Shelah, et d'après Boban, c'est long et chiant, mais pas du tout difficile il n'utilise aucun background: il monte il monte jusqu'à s'arrêter à coup de "plus des .. telque"). Du Shelah quoi..