Surjection de IR sur P(omega1)

Je donne une "preuve" (elle est célèbre, je ne sais à qui elle est due, elle fait quelques lignes, je l'ai retrouvée avec mon "target") de la fausseté de HC (hypothèse du continu), à la suite de http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php?16

mais il me semble plus poli d'ouvrir un fil, pour ne pas polluer l'autre.

1/ On a une surjection canonique $S$ de $\R$ sur $\omega_1$, qui à chaque $x$ associe le premier ordinal non récursif en oracle $x$ (par exemple).

2/ Donc une surjection canonique aussi de $\R$ sur l'ensemble des parties bornées de $\omega_1$, je l'appelle disons $T$. Toute ça, c'est canonique, on ne parle pas d'injections inverses. On peut voir $T$ comme une application de $\R$ dans $P(\omega_1)$ qui met des z"ros partout au delà d'un certain ordinal, ce que je ferai dorénavant.

3/ Soit $A\subset \omega_1$ (disons on bonrée). On joue au jeu suivant: Lea et Bob produisent alternativement une suite de 0/1, et in fine deux réels $x,y$. Gagne qui c'est qui a été le plus exact dans l'approximation de $A$: précisément le premier qui se trompe perd, si égalité Bob perd s'ils ont joué tous deux $0$, sinon Lea perd a premier ordinal erroné.

4/ Formellement: si $min(\{\alpha \mid T(x)(\alpha) \neq A(\alpha\}) \geq min(\{\alpha \mid T(y)(\alpha) \neq A(\alpha\})$, alors Lea est déclarée gagnante, sinon Bob gagne.

5.1/ Tout est canonique, aucun choix nulle part n'a été fait, et pourtant, que ce soit Lea ou Bob qui ait une stratégie infaillible, elle donne imméditament "qui c'est $A$".

5.2/ En effet, disons que Lea gagne infailliblement avec la stratégie $s$. Je déduis progressivement les valeurs de $A(\alpha)$ comme suit: soit $\alpha$ le plus petit ordinal pour lequel je n'ai pas encore de certitude sur la valeur de $A(\alpha)$. J'essaie $0$. Je regarde ce que joue Lea. Si elle joue $0$ aussi, je recommence en jouant $1$ et vu qu'elle est censé gagner, je suis fixé sur $A(\alpha)$.

6/ Ainsi on a une procédure tout bête qui nous dit qui est $A$ en fonction d'une stratégie gagnante, ce qui surjecte $\R$ sur $P(\omega_1)$ (et du même coup sur $\omega_2$, et le même raisonnement, le surjecte sur $P(\omega_2)$, et ainsi de suite.

7/ Evidemment, on pourra toujours répondre que si le jeu n'est pas déterminé, certaines parties sont oubliées. Menfin comme on ne peut a priori construire (et il y a des raisons profondes à ça) que des parties de ce genre déterminées (surtout quand tout est bien canonique) sauf à utiliser un axiome du choix qui se comportera de manière très arbitraire, ça donne tout de même une idée de la différence de nature entre $\omega_1$ et $\R$.