Stationnaires à la Jech
Salut à tous,
Je suis vraiment à la ramasse, complètement abruti par le confinement, je ne comprends pas même des trucs triviaux.
Bon voilà : je bosse sur un papier où dans les préliminaires on s'intéresse à une généralisation de la notion de stationnarité.
Définition : soient $A$ un ensemble et $\lambda$ un cardinal. Un ensemble $C \subseteq [A]^{<\lambda}$ est dit clos si pour tout $\mu < \lambda$ et pour toute suite $<x_{\alpha}:\alpha<\mu>$, on a $\bigcup \{x_{\alpha}:\alpha < \mu \} \in C$.
Théorème : Soit $C \subseteq [A]^{<\lambda}$. Alors C est clos ssi il est "clos par réunion directe de cardinalité $<\lambda$" (traduction approximative), c'est-à-dire :
Si $D \subseteq C$, $Card(D)<\lambda$ et si $\forall x,y \in D, \exists z \in D, x \subseteq z \wedge y \subseteq z$, alors $\bigcup D \in C$.
Démonstration : de la droite vers la gauche c'est clair.
De la gauche vers la droite, non seulement je ne comprends pas la démonstration mais en plus je ne comprends même pas ce qu'il y a à faire.
Mon impression : si $C$ est clos et si $Card(D)<\lambda$, alors $\bigcup D \in C$, et je ne vois pas à quoi sert l'hypothèse dans la condition de droite.
Voilà où j'en suis, merci de m'aider à sortir du marasme.
P.S. : comment on fait la valeur absolue (pour noter les cardinaux) ?
Je suis vraiment à la ramasse, complètement abruti par le confinement, je ne comprends pas même des trucs triviaux.
Bon voilà : je bosse sur un papier où dans les préliminaires on s'intéresse à une généralisation de la notion de stationnarité.
Définition : soient $A$ un ensemble et $\lambda$ un cardinal. Un ensemble $C \subseteq [A]^{<\lambda}$ est dit clos si pour tout $\mu < \lambda$ et pour toute suite $<x_{\alpha}:\alpha<\mu>$, on a $\bigcup \{x_{\alpha}:\alpha < \mu \} \in C$.
Théorème : Soit $C \subseteq [A]^{<\lambda}$. Alors C est clos ssi il est "clos par réunion directe de cardinalité $<\lambda$" (traduction approximative), c'est-à-dire :
Si $D \subseteq C$, $Card(D)<\lambda$ et si $\forall x,y \in D, \exists z \in D, x \subseteq z \wedge y \subseteq z$, alors $\bigcup D \in C$.
Démonstration : de la droite vers la gauche c'est clair.
De la gauche vers la droite, non seulement je ne comprends pas la démonstration mais en plus je ne comprends même pas ce qu'il y a à faire.
Mon impression : si $C$ est clos et si $Card(D)<\lambda$, alors $\bigcup D \in C$, et je ne vois pas à quoi sert l'hypothèse dans la condition de droite.
Voilà où j'en suis, merci de m'aider à sortir du marasme.
P.S. : comment on fait la valeur absolue (pour noter les cardinaux) ?
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Réponses
Par exemple tu as oublié de dire que les $x_{\alpha}$ sont tous dans $C$. Ou peut-être que tu as oublié "$\lambda$ régulier"?
Je ne connais pas le mot "directe", mais tu as l'air de le définir, donc ok. Et je pense que tu as voulu dire "de la droite vers la gauche, ce n'est pas clair"?
Si c'est juste ça le problème c'est la seule détection "de fond" que je vois dans ta demande.
Definition : $C$ is closed in $[A]^{<\lambda}$ if for any increasing union $(x_{\alpha}: \alpha < \mu)$, $\mu < \lambda$ of elements of $C$ we have $\bigcup \{x_{\alpha}:\alpha < \mu \} \in C$.
Theorem : $C \subseteq [A]^{< \lambda}$ is closed iff it is closed under directed unions of cardinality $< \lambda$, i.e. :
If $D \subseteq C, Card(D)< \lambda \wedge \forall x,y \in D, \exists z \in D, x,y \subseteq z$, then $\bigcup D \in C$.
Je te recopie la démonstration dans le prochain post, ça va être un peu plus long vue ma dextérité en latex.
Bon bah clairement droite implique gauche est évident (une union croissante est dirigée); et pour gauche implique droit il y a quelque chose à dire : puisque toute famille dirigée n'est pas forcément croissante.
Il faut donc faire quelque chose comme trouver une sous-famille croissante cofinale, ce qui est facile par Zorn ou par construction transfinie ( mais dans les deux cas il faut utiliser l'hypothèse au moment de la construction)
@Max : je commence à y voir un peu plus clair, au moins maintenant je sais dans quel sens il faut travailler.
@Christophe et Max : je vous recopie la preuve, et vous me dîtes si vous y comprenez quelque chose.
Proof : Any increasing union is directed, son we need only check the implication from left to right.
Suppose $C$is closed and $D \subseteq C$ is as in the theorem. We verify tha $\bigcup D \in C$ by induction on $Card(D)$.
If $D$ is finite, then $D$ has a maximal element, so this is trivial.
If $D$ is countable then, using the directedness of $D$, it is easy to find an increasing sequence $(x_n : n< \omega)$ of elements of $D$ such that $\forall y \in D, \exists n, y \subseteq x_n$. Then $\bigcup \{x_n :: n< \omega \}= \bigcup D \in C$.
$$|A|$$
Merci
$|A|$
$|x|$
La partie que tu affiches est évidente, est-ce que tu as vraiment envie d'être "encore pluss spoilé qu'avec déjà le bouquin???
Tous les machins de stationnarité (et clubbisme) de ce genre s'acquiert souvent en allongeant sur son lit, fermant les yeux et imaginant "l'échelle qui monte". Après la rédaction est assez ingrate. Mais est-ce vraiment utile "d'avoir la correction ici"?
Je voulais la mettre parce que je n'y comprenais rien et que j'espérais qu'en l'ayant sous les yeux vous pourriez m'aider à décrypter le truc. Mais grâce à ton aide et à celle de Max je vais peut-être y arriver tout seul.
Par ailleurs j'ai un gros défaut par rapport à toi ; quand je m'allonge sur mon lit et que j'imagine une échelle qui monte, soit je m'endors dans les 5 minutes, soit je n'y arrive pas et je retourne traînailler dans l'appartement. Bizarrement je n'arrive pas à visualiser un stationnaire les yeux fermés.
Bon, je vais essayer d'y arriver tout seul et si je coince je vous fais signe.
Si ça intéresse quelqu'un je peux quand même mettre la fin de la preuve. T'inquiète, Christophe, je n'ai pas peur d'être spoilé pour une raison simple : jusqu'à maintenant je n'ai rien inventé en math, à part un truc merdeux sur les sous-ensembles flous dans ma jeunesse, qui n'a jamais servi à personne, et le problème ouvert dont tu as fait la question 1082 (ou 1081 je ne sais plus). En gros tout ce que j'écris a été pompé quelque part, soit dans un cours de fac soit dans un livre. En gros je fais de la compilation de données en arrangeant un peu les choses à ma sauce, et en donnant de temps en temps mes convictions philosophiques. Donc si quelqu'un me pompe dessus il aura en fait pompé sur quelqu'un d'autre, puisque la relation de pompage est transitive, lol.
Tu remarques que dans le cas $Card(D) = \aleph_0$, il fait exactement ce que j'avais dit : prendre une suite cofinale. Quand $D$ est dénombrable, c'est facile; quand $D$ n'est pas dénombrable, il faut travailler un peu plus, et le truc c'est que pour bien trouver ta suite cofinale il va falloir utiliser l'hypothèse etc.
Donc il y a du dédoublement d'hypothèses, donc c'est pas entièrement trivial.
Rassure-toi, moi aussi, avec mon apnée du sommeil la nuit, je dors souvent comme un gros pépère le jour si je m'allonge, je parlais il y a 30ans quand je cherchais par exemple à construire (ou 20 ans) une famille de omega1 stationnaire disjoints
Bon dans ton cas de toute façon, c'est un exo trivial dont je vois TRES EXACTEMENT l'erreur que tu fais ou peux faire (j'en parle souvent sur le forum, et je reprochais souvent à FdP de ne pas tenir compte de ça, je te dis ça comme indice). Si Jech n'avait pas mis de preuve, tu aurais peut-être trouvé plus vite.
Je te mets en blanc mais sincèrement retiens-toi, l'émotion que tu ressentiras quand tu vas t'apercevoir de ton truc sera plus profitable
Tu oublies que L'HYPOTHESE EST FAITE QUE C EST OK pour le passage qui te gène et donc qu'il n'y a rien à faire (ie au 1er ordinal qui coince, l'hypothèse te dit que ça ne coince pas). C'est un grand classique, cet oubli.
(PS: je n'ai pas lu si tu avais mis copie du Jech, mais comme ton msg suit le mien, j'ai supposé que non, sans relire avant. Je ne sais pas de quel correction parle Max, à moins qu'il ne possède le livre auquel cas, c'est un chanceux, ces livres sont précieux et chers :-D )
Je ne pense pas que Max possède ce livre (il confirmera ou pas), mais quand il parle de correction je suppose qu'il fait allusion aux cas triviaux que j'ai postés ci-dessus (cas fini et dénombrable) et que, contrairement à moi, il voit très bien comment généraliser aux étages supérieurs.
Tu as raison ça ne doit pas être difficile, mais il faut d'abord que j'aille m'aérer le cerveau.
P.S. : Normalement tu devrais trouver un beau cadeau dans ta boîte mail.
D'ailleurs, dans l'article le théorème suivant (dû à Jech) est la pure généralisation à ce contexte du théorème de Fodor.
Mais tu as sans doute raison, j'aurais probablement eu moins de mal à faire l'exo tout seul qu'à essayer de comprendre la preuve du bouquin.
Bon, je sors, il faut que je profite de mon heure et de mon kilomètre.
Sur ce qu'a lu max, en fait c'est encore plus trivial, la partie pas écrite. Encore une fois, on ne lit pas les hypothèses à chaque fois et on cherche à les prouver et ça peut même durer des heures.
Le cas dénombrable est "in some sense" plus dur puisque tu peux le prouver SANS l'hypothèse et ton cerveau peut donc s'y attarder.
Mais les autres cas sont juste dûs à ... rien du tout sinon au fait qu'on les a supposés. Une fois que tu as construit jusqu'à $D_i, i<a$, tu ne pourras STRICTEMENT RIEN FAIRE pour en prouver que la réunion est encore ok (parce qu'une supposée qualité des filtrations et un subtil argument de vedette des vestiaires marcherait, contrairement au cas dénombrable). Elle est ok, parce que l'énoncé le suppose (j'en parle souvent sur le forum en termes de polarités, qui est le seul truc simple que la logique ait découvert). Les hypothèses sont en polarité négative, faut les attaquer pour gagner. Bcp de gens perdent un temps fou à les défendre puis s'apercevoir que ça ne sert à rien.
Demain j'essaierai de rédiger ma preuve (qui, si elle est juste, est beaucoup plus claire que le papier) et vous (toi et Max) me direz si ça tient la route.
Pour le cas dénombrable je ne vois pas comment tu le fais sans utiliser l'hypothèse.
Supposons que $|D|= \mu$, avec $\omega < \mu < \lambda$.
On va construire une suite $(D_{\alpha} : \alpha < cf(\mu)) $ telle que $\bigcup\limits_{\alpha < cf(\mu)} D_{\alpha}=D$.
1) On pose $D_0= \{x_0 \}$
2) On pose $D_1= \{x_0,...,x_{\beta }\}$, où $\beta$ est le plus petit ordinal tel que $x_0,x_1 \subseteq x_{\beta}$.
3) Si $D_{\alpha}$ est construit, par hypothèse de récurrence $D_{\alpha} \in D$, et on pose $D_{\alpha +1}= \{x_0,...,x_{\gamma} \}$, où $\gamma$ est le plus petit ordinal tel que $D_{\alpha},x_ {\alpha +1} \subseteq x_{\gamma}$.
4) Si $\theta$ est limite et si $D_{\alpha}$ est construit pour tout $\alpha < \theta$, on pose $D_{\theta}= \bigcup \limits_{\alpha < \theta} D_{\alpha}$.
Comme $\theta < cf(\mu)$, on a encore $|D_{\theta}| < \mu$.
Comme la suite $(D_{\alpha} : \alpha < cf(\mu))$ est de longueur $cf(\mu)$, on a $\bigcup \limits_{\alpha < cf(\mu)} D_{\alpha}=D$.
Enfin, par l'hypothèse de récurrence on a bien $\bigcup D \in C$.
Ça tient la route, ou pas ?
Merci d'avance
A la fin, c'est pas l'hypothèse de récurrence qui intervient, c'est l'hypothèse, tout simplement ! (tes $D_\alpha$ sont croissants par construction)
Oui c'est vrai, tu as raison.
Par contre, où est-ce que j'ai écrit $cf(\mu)< \mu$ ?
Mais si tu ne l'utilises pas effectivement tu ne le dis nulle part
En TDE, les constructions alambiquées c'est toujours un peu risqué car même quand on a fini, la petitesse des indices etc peut faire qu'on n'a pas de certitude suffisante qu'il n'y a pas une petit erreur cachée.
Je te dis ce qu'il se passe. Mais ça pourra constituer pour toi une quasi-preuve formelle. Je ne crois pas que ton but soit de t'arrêter à ce passage de Jech de toute façon:
1/ Tu as un ensemble $D$ "directed". Déjà première chose: essaie de voir à quoi sert d'avoir directed et pourquoi sans cette hypothèse l'énoncé serait faux.
2/ Ensuite proscrire les constructions le plus possible. Ne pas dire "Soit D directed, on va construire ceci cela"
3/ Prendre le plus petit cardinal possible $b$ d'un directed pour lequel ce serait faux. La TDE fait un usage industriel de ces "classements ordinaux". En présence de AC, elle voit tout ensemble comme un ensemble d'ordinal.
4/ Tu as donc l'image directe d'une famille $i<b\mapsto M_i$ "directed", dont la réunion n'est pas dans $C$.
5/ La stabilité par réunion oblige à ce qu'il y ait un $c<b$ tel que la réunion des $M_i,i<c$ n'est pas dans $C$
6/ C'est donc que l'image directe de la famille en question [i<c\mapsto M_i] n'est pas directed ou que $b$ est un cardinal qui a un ordinal qui le précède.
7/ Maintenant j'insiste bien que si tu faisais une construction tu devrais te retaper une preuve d'un truc que tu sais par coeur, et tu ne pourrais plus dire que l'énoncé est trivial. Il n'est trivial QUE PARCE que je pèse à 0.001 certaines connaissances que tu as. Ici présent il s'agit du fait que pour tout cardinal infini $u$, tu as $u^2=u$, mais ça pourrait être autre chose.
8/ Je peux t'assurer que même un TDiste expert mettra plus de temps à retrouver une preuve (même s'il ne peinera pas) de $a\geq a^2$ qu'à faire un forcing subtil. Le passé a été parfois très riche sans qu'on en ait conscience.
9/ La fin consiste à voir qu'il y a une contradiction avec $c$ tels que $c^2$ semblent trop gros, mais je ne continue pas, je pense qu'on a largement atteint le stade où ça entre dans ton intimité.
10/ Certes des constructions alambiquées peuvent court-circuiter (légèrement et esbrouffement seulement) ce mécanisme, mais pourquoi les faire. Ces sujets ne sont pas du tout constructibles, et même faits pour violemment ne pas l'être.
Je reprends à partir de "Enfin, par l'hypothèse de récurrence".
Enfin, par l'hypothèse de récurrence, chaque $\bigcup D_{\alpha} \in C$ et, comme la suite $(\bigcup D_{\alpha} : \alpha < cf(\mu))$ est croissante, du fait que $C$ est clos on a bien $$\bigcup D = \bigcup \{\bigcup D_{\alpha} : \alpha < cf(\mu) \} \in C$$.
J'espère que maintenant c'est bon.
Ce qui m'a foutu dedans dès le départ c'est que l'auteur appelait $\lambda$ ce que moi j'appelle $\mu$, en d'autres termes il confondait allègrement une variable avec une constante, et ce genre de truc, moi, ça me perturbe.
P.S. : Quelqu'un peut m'expliquer comment on fait, dans la dernière ligne de la preuve, pour que la taille des accolades soit adaptée à celle du symbole $\bigcup$ ?
Regarde le code latex de : $$\bigcup D = \bigcup \left\{\bigcup D_{\alpha} \mid \alpha < cf(\mu) \right\} \in C.$$
"Bon tu dois être en train de dormir profondément, mais hier, ma presbytie et l'excès de regarder l'écran blanc m'a quasiment rendu aveugle tellement je voyais flou en fin de journée. (Et le tabac n'y est probablement pas pour rien)."
Tu devrais faire des pauses de temps en temps... bon, si on arrêtait de te poser des questions idiotes ça serait plus facile.
Si je résume ton dernier post ta philosophie est la suivante : comme on n'en a strictement rien à foutre de la façon dont la suite des $D_{\alpha}$ est construite, autant supposer qu'elle n'existe pas, considérer le plus petit cardinal tel que blablabla, et en déduire une contradiction ?
Mais ça revient plus ou moins à faire une récurrence, non ?
Ce que je veux dire, plus précisément : quand tu démontres le principe de récurrence transfinie tu supposes que, sous les hypothèses adéquates, l'ensemble des machins qui vérifient la propriété n'est pas plein, donc son complémentaire n'est pas vide, il a un plus petit élément et paf !, contradiction.
Donc récurrence et RPA (appliqué dans cette situation particulière), c'est un peu kifkif bourricot pareil au même, non ?
Je prends ton exemple actuel: je "me suis trompé" (tu vas voir que non et oui) en te disant que c'était trivial parce que l'habitude me fait identifier $a$ et $a^2$ pour $a$ cardinal infini. Si on y pense en termes de construction, on intègre (et donc ON REDEMONTRE PARTIELLEMENT) ce fait. Dès lors ce n'est pas trivial, car $a=a^2$ ne l'est pas.
Mais sur le fond ça ne change rien, c'est dû à ce qu'on appelle "la confluence du lambda-calcul", c'est à dire le fait que la preuve trivial et la construction vont s'exécuter très vite de la même façon, une fois quelques abréviations remplacées.
Un autre point c'est que en TDE, les auteurs en arrivent très vite à laisser au lecteur les choses, donc si tu veux chaque fois percevoir les constructions (que souvent personne n'a jamais fait), c'est un peu comme si en géométrie algébrique ou en algèbre, tu tentais de percevoir les définitions in extenso et sans aucune abréviation des objets gérés: tu imagines tes matrices d'ordre $\{\emptyset ; \{\emptyset ; \} ; \{\emptyset ; \{\emptyset ; \} ; \} \}$ et la tête du déterminant?
Rien que la notion "en soi" de cardinal est extrêmement profonde, puisqu'il est "quasi-contradictoire" qu'il existe un plus petit ordinal $a$ tel que $Equipotent(a,Truc)$ (qu'il y en est est une chose qu'il y en ait un plus petit ajoute une puissance totalement inédite à la puissance du système, d'ailleurs quasiment jamais utilisée, la plupart des autres spécialités mathématiques pourraient s'écrire en termes algébriques simples où on raisonnerait sur des ensembles au plus dénombrables.
La TDE est la seule spécialité où tu "profites" de cette puissance, mais avec le prix que les livres ont avancé dans l'abstrait bien au delà que toute autre domaine. Et les laissés au lecteur qui finalement ne sont pas bien durs, RESTENT TOUT DE MEME des axiomes et non des "acquis estudiantins" comme on en rencontre ailleurs.
IR se surjecte moralement sur tous les ordinaux et les autres domaines (et ton expérience professionnelle) se sont "habitués inconsciemment" avec cette "gentillesse et forte consistance" des choses étudiées. Du coup, le problème des "constructions c'est qu'elles deviennent vite complètement imbitable. Tu peux d'ailleurs observer que ta preuve évoque une cofinalité, que tu as probablement ressentie comme inévitable dans ta rédaction, alors que la seule chose qui in fine joue c'est que le $c$ que j'ai évoqué a la propriété que le cardinal du stabilisé par prise de majorant de 2 trucs reste $c$ lui-même.