Comprendre la logique des mathématiques

Poirot · June 2020

@SERGE_S : Si $f$ est une fonction définie sur un ensemble $E$, "$\forall x \in E, f(x)$" ne veut rien dire.

@OShine : Relis l'énoncé. Il y a un implicite dans ce que sont les $f$ et $x$ attendus, peux-tu deviner la nature de ces objets ? Une fois que tu auras fait ça, tu auras fait le plus dur.

Dom · June 2020

En effet je ne disais rien volontairement mais ça y est, la mèche a été vendue...

C’est dommage d’avoir posé la question en laissant l’implicite sur ce que sont $f$ et $x$.

Poirot · June 2020

Je suis parfaitement d'accord avec Dom, il ne devrait pas y avoir d'implicite dans la question, et le message de SERGE_S (en plus de contenir quelque chose qui n'a pas de sens) en dit trop.

FLEURISTIN · June 2020

J'ai donné l'exercice 38 à mes élèves de Première Spé (en première question d'une liste enchaînant des questions de plus en plus dures histoire de bien noyer le poisson :-D).
Sur les 17, 17 ont répondu comme Oshine (avant que ce dernier s'aperçoive de son erreur).

Georges Abitbol · June 2020

@Poirot : Je pense que SERGE voulait dire que $f(x) = 5$ ce n'est pas la même chose que $\forall x \in E,\quad f(x) = 5$.
@Poirot et Dom : Quel implicite ?

Thierry Poma · June 2020

Bonjour,

Exercice 5: donne un exemple de couple $(f,\,x)$ tel que $f'(x) = 2\,x$ et $f(x) = 8\,x + 3\,x^2$

@OShine : pour quelqu'un qui envisage de passer son CAPES avec, à son actif, de grosses difficultés, je ne pense pas que tu puisses perdre du temps sur ce test psychotechnique. Que pourrait bien être la nature de $f$ ? Celle de $x$ ? Ne pas se fier à ce qui paraît d'emblée aux yeux. Après, tu fais ce que tu veux...

Cordialement,

Thierry

Poirot · June 2020

@Georges Abitbol : La nature de $f$ et de $x$ sont implicites. Sinon je peux répondre que je prends $f=1$, $x = \{\pi, \{2, 3\}, -42\}$ et je déclare que $2x$ désigne ce que je veux ($f$ par exemple), $8x+3x^2$ désigne ce que je veux et enfin je définis $f'(x) = 2x$ et $f(x) = 8x+3x^2$.

Rescassol · June 2020

Bonjour,

Pourquoi ne pas prendre simplement $f:t\mapsto 8t+3t^2$ et $x=-2$ ?

Cordialement,

Rescassol

Foys · June 2020

@Thierry poma et Rescassol: $f:= t\mapsto 0 et x:=0$ conviennent aussi.

Thierry Poma · June 2020

@Foys : Je te remercie beaucoup, mais je le sais.

Poirot · June 2020

@Rescassol : pourquoi donnes-tu la réponse ? Je te rappelle que ce fil est là pour qu'OShine surmonte ses problèmes de langage mathématique.

Chaurien · June 2020

Mais ça n'a pas le moindre intérêt.

Dom · June 2020

Sans aller jusque là disons que j’aime bien qu’on présente les lettres et notamment ici il faut ajouter que $f$ est dérivable par exemple, en $x$, spécifiquement...

Quand il s’agit d’un énoncé pour « reformer » quelqu’un, il pourrait être un peu plus « carré ».
Par contre, comme je le disais, s’il contient une coquille, ça c’est autre chose.

Au passage, quelqu’un qui se forme est en droit (devoir ?) de réclamer les statuts des lettres.

Poirot · June 2020

@gebrane : J'ai bien sûr compris l'énoncé comme toi, malheureusement ce que tu soulignes est implicite dans l'énoncé. Et on sait résoudre l'exercice, tu devrais cacher ta réponse en blanc pour laisser OShine y réfléchir.

gebrane · June 2020

Bonjour
Contrairement à Poirot, j'ai compris la question :

donner un couple (f,x) comme donner une fonction f et un réel que je note de préférence par $x_0$ au lieu de x tel que en ce point $x_0$ , la fonction vérifie $f'(x_0) = 2\,x_0$ et $f(x_0) = 8\,x_0 + 3\,x_0^2$

Une solution triviale et de prendre f la fonction nulle et $x_0=0$ et si on veut un $x_0$ non nul on peut prendre la fonction f définie par $f(x)=2x_0 x+8\,x_0 + \,x_0^2$

Laissons cc trancher, c'est lui qui a posé la question :-D

edit je retire le blanc de mon message puisque Oshine a donné une réponse. Mais @AD en principe mon message devait être avant celui de Poirot. sinon les visiteur ne vont rien rien comprendre du message de Poirot qui m'est destiné)

OShine · June 2020

Je pense avoir l'idée.

Je prends le couple $(x \mapsto x^2,0)$ on a bien $f'(0)=2 \times 0 =0$ et $f(0)=0=8 \times 0 + 3 \times 0^2$

Dom · June 2020

Es-tu sûr que dans ce cas, $f’(x)=2x$ ?
N’a-t-on pas plutôt $f’(x)=0$ ?

OShine · June 2020

Bon, j'avoue je n'ai pas trop compris.

JLT · June 2020

@Dom : je ne vois pas ce que tu reproches à la réponse de OShine (à part peut-être l'utilisation de $x$ comme variable muette, il aurait mieux valu écrire $f=(t\mapsto t^2)$).

Thierry Poma · June 2020

@OShine : selon toi, $(f,\,x)=\left(\R\ni{t\mapsto{t^2}},\,0\right)$ est solution du problème posé. Est-ce la seule ?

gebrane · June 2020

Une bonne question est de demander à Oshine un exemple avec un x non nul

Foys · June 2020

NB: L'exo 5 demandait une solution et non pas toutes les solutions possibles (par solution je veux dire un couple qui satisfait les contraintes de l'énoncé).

Dom · June 2020

Dommage encore...
Je « titille » pédagogiquement (et d’ailleurs on voit que ça marche et qu’il n’est pas convaincu).
Je n’ai pas ajouté « ne dites rien, les autres ». J’aurais dû...

gebrane · June 2020

Foys
bah c'est de rendre l'exercice 5 non "trivial" (aux yeux d'Oshine) avec une demande d'un x non nul

Thierry Poma · June 2020

@OShine : sais-tu trouver une fonction $f$ définie sur $\R$ telle que la fonction pointée $(f,\,\pi)$ soit solution du problème ?

gebrane · June 2020

Thierry POMA (tu)

Blueberry · June 2020

@OShine
En tout cas il y du progrès: sur l'exercice avec le couple $(f,x)$, c'est résolu, réponse démontrée!

christophe c · June 2020

Oshine a écrit:

Bon, j'avoue je n'ai pas trop compris.

Bats-toi!! Reprends ta réponse est défends-la ou signale, dans ta réponse, pourquoi tu en doutes. La chose peut t'être facilitée par le fait que les intervenants ont confirmé.

Mais DEFENDS LA** ou PAS (ie précise où il y a une vraie impasse pour toi). Que tu n'aies pas compris est un témoignage, une forme de "pleure". Ca suscite des réactions et on dirait même que tu es passé maitre dans l'art de les susciter par des petits mots réflexes comme ça.

Pourtant tu travailles bien depuis hier soir, tu es dans le fil, on avance même s'il y a des embardées car justement c'est poru qu'elles ne se produisent plus après.

(Et pardon, j'avais des occupations)

** moi je saurais défendre TA REPONSE jusqu'au KO par exemple.

Dom · June 2020

C’est vrai BlueBerry même s’il a pris des gants (il évoque une idée).
Et vue ma question, et sa réponse, ça laisse planer le doute.

Par contre une réponse avant est d’un propre !
On ne devine même pas que c’est OShine.

Je suis d’accord pour l’encourager.
Il se passe des choses !!!

Blueberry · June 2020

@Dom
Mais je ne comprends pas ta remarque

"Es-tu sûr que dans ce cas, f'(x)=2x
N’a-t-on pas plutôt f'(x)=0?

gebrane · June 2020

Dom excuse moi mais tu as répété la même chose deux fois

Je « titille » pédagogiquement (et d’ailleurs on voit que ça marche et qu’il n’est pas convaincu).

Et vue ma question, et sa réponse, ça laisse planer le doute

Oshine t'a répondu
Bon, j'avoue je n'ai pas trop compris .

Moi aussi j'aurais répondre de la sorte, le j'avoue je n'ai pas trop compris est en relation avec ce que tu n'as pas compris toi Dom dans sa solution et non pas une preuve qu'il se doute de sa réponse

Oshine te donne le couple $(x \mapsto x^2,0)$ , on veut quoi de plus, celui qui doute qu'il fasse la vérification

En dehors de cette critique je t'aime bien :-D

edit grillé par Blueberry

Poirot · June 2020

J'ajoute également mes encouragements à OShine. Ça a peut-être l'air de rien, mais tu fais un travail important de déconstruction de ce que tu crois savoir et de comment tu analyses les énoncés.

OShine · June 2020

Pour répondre à Thierry.

On cherche $f$ telle que $f'(\pi)=2 \pi$ et $f(\pi)=8 \pi + 2 \pi^2$.
Introduisons : $$\begin{array}{cccl}
f :& \R& \longrightarrow &\R \\
& x& \longmapsto & x^2 + 8 \pi + \pi ^2
\end{array}
$$ $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=2x$ donc $f'(\pi)=2 \pi$ et $f(\pi)= \pi^2+ 8 \pi + \pi^2 = 8 \pi+ 2 \pi^2 $

Conclusion.
Le couple $(x \mapsto x^2 + 8 \pi + \pi ^2, \pi)$ vérifie bien les hypothèses voulues.

gebrane · June 2020

Oshine lit bien l’énoncé, on veut $f(\pi)=8 \pi + 3 \pi^2$
En tout cas , c'est bien

Thierry Poma · June 2020

@OShine : même s'il y a une petite bourde, c'est beau. En fait,\[(f,\,x)=(\R\ni{t\mapsto{t^2+8\,\pi+2\,\pi^2}},\,\pi)\]est une solution du problème posé. En voici une autre\[(g,\,x)=(\R\ni{t\mapsto{\pi\,\sin\,(2\,t)+8\,\pi+3\,\pi^2}},\,\pi)\]

Dom · June 2020

Alors c’est moi qui au mal compris finalement :

Cela dit, j’ai mis ceci : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2003520,2021508#msg-2021508

Ça contient deux questions fermées ([oui, non] pour chacune).
Ainsi, je ne vois pas pourquoi ce n’est pas compréhensible.
Mon objectif « es-tu sûr ? » sert à faire douter. Mais je le répète : « qu’est-ce que tu veux de plus ? » n’est pas une réponse à mes deux questions qui sont très simples.

Mais bon, comme ça n’a pas fonctionné, laissons tomber.

Mea Culpa.

Blueberry · June 2020

Mais non mais évidemment qu'on comprend tes questions et qu'on peut y répondre par oui ou non mais je ne comprenais pas le rapport avec la réponse d'Oshine et où tu voulais en venir.

OShine · June 2020

Thierry ok je n'avais pas pensé au sinus.

Dom · June 2020

Oui, je voulais voir si en disant "es-tu sûr que dans ce cas $2x=0$" allait troubler ou pas.
N'en parlons plus les gars (:P)

Thierry Poma · June 2020

@OShine : tu as fait un beau travail. Je t'ai rouvert, depuis hier, ton fil sur la combinatoire.

christophe c · June 2020

Bravo pour la solution avec $\pi$ (malgré l'étourderie). Sur le plan potentiel, il n'y a vraiment aucun problème (si j'en juge par le temps qu'il m'a fallu pour lé vérifier :-D )

Tu sembles entrer dans LA SINCERITE qui est INDISPENSABLE à la démarche scientifique.

Et pardon pour mon manque de disponibilité ces jours-ci, mais je viens plusieurs fois par jour qd même t'inquiète.

gebrane · June 2020

cc ne t’inquiète , Oshine est entre de bons mains . Peux-tu enrichir ta liste d'exercices ?. Personnellement, j'en profite aussi pour réviser le langage.

gebrane · June 2020

Oshine , si tu veux une question bis de l'exercice 5
Pour toute fonction f dérivable sur $\R$, existe-t-il un réel x vérifiant les conditions de cc

christophe c · June 2020

OShine, je te propose une activité reposante, mais qui va peut-être te faire un peu peiner, mais prends ton temps. Je te rassure, ta solution est parfaitement acceptable pour des matheux 2020.

Mais il y a des imperfections.

Je vais "un tout petit peu" te mettre sur le voie en te faisant deux remarques et je t'invite à prendre ton temps mais à tenter de pondre une solution PARFAITE. C'est parti:

OShine a écrit:

Si $x=1$ on a $a+b=c+d$
Si $x=-1$ on a $-a+b=-c+d$

Je somme les 2 lignes ce qui donne $2b=2d$ et donc
$\boxed{b=d}$

Or $a+b=c+d$ donc $a+b=c+b$ ce qui donne
$\boxed{a=c}$

Donc $\boxed{ab=cd}$

Remarque1: même si $x=59$, tu vois bien que $a+b = c+d$ quand-même. Donc il y a quelque chose de "bizarre" dans ton affirmation (même si je répète, "on a compris")

Remarque2: que veut dire additionner 2 égalités. Un ordinateur correcteur (ce qui arrivera en 2030) prendra ça au pied de la lettre et "pensera":

OShine me parle d'un truc du genre: $(2=5) + (3u=2)$?

Ne te précipite pas, peaufine ta nouvelle solution

OShine · June 2020

Merci.
Gebrane j'ai d'autres exercices à résoudre dans la liste... J'ai pensé aux conditions initiales d'une équation différentielles du premier ordre mais je dis peut être une grosse bêtise.

Christophe
Je remplace le "si $x=$" par "pour $x=$"
Comme $a+b=c+d$ et $b=-c+d+a$ alors $a-c+d+a=c+d$
D'où $2a=2c$ et finalement $a=c$

Je suis habitué à sommer les lignes et les colonnes pour des calculs de déterminants ou pour résoudre des systèmes linéaires.

Dom · June 2020

Éventuellement, tu peux démontrer ton théorème de "sommation des égalités".

OShine · June 2020

Je sèche sur le 2.1.
20 minutes devant ma feuille à bidouiller des inégalités et des équations, je ne vois rien.

JLT · June 2020

Essaye peut-être le 15, il est facile.

Poirot · June 2020

Indication pour le 2.1 : Soit $x \in \mathbb R$. Calcule, avec la définition de la dérivée bien sûr, la dérivée de $f$ en $x$.

OShine · June 2020

Exercice 15 :
Prouver que $f : x \mapsto x^2$ n'est pas une fonction affine.

Calculons différentes valeurs de $f$. On a $f(1)=1$ , $f(2)=4$ et $f(3)=9$

Or $\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}= \dfrac{4-1}{1}=3$ et $\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}= \dfrac{9-4}{1}=5$

Comme $3 \ne 5$ la fonction $x \mapsto x^2$ n'est pas affine.

Exercice 2.1 :

Merci Poirot.

Soit $x \in \R$. Soit $y > x$. Comme $f$ est dérivable sur $\R$, on a : $f'(x)= \lim\limits_{y \rightarrow x} \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}$

Or $\forall (x,y) \in \R^2 \ -(y-x)^2 \leq f(x)-f(y) \leq (y-x)^2$

Pour $x < y$ on a : $-(y-x) \leq \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq y-x$

Par passage à la limite dans les inégalités : $\forall x \in \R \ 0 \leq f'(x) \leq 0$

On en déduit que $f$ est constante sur $\R$. Ainsi il existe $C \in \R$ tel que $\forall x \in \R \ f(x)=C$

Or d'après l'hypothèse $f(104)=3$ on en déduit finalement que $\forall x \in \R \ f(x)=3$

Conclusion : $\boxed{f(2)=33}$

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